用樣本估計(jì)總體-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第2課時(shí)用樣本估計(jì)總體

［考試要求］i.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求〃個(gè)數(shù)據(jù)的第2百分位

數(shù)2能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.3.掌握分層隨機(jī)抽樣的

樣本方差.

［鏈接教材?夯基固本】落實(shí)主干?激活技能

?梳理?必備知識(shí)

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)

樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)

中位

列,處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最面積相等的部分,分界線與X軸交

數(shù)

中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))點(diǎn)的橫坐標(biāo)

平均每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊空

樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

數(shù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

一般地，一組數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)

對(duì)于數(shù)據(jù)組［a,b),a以下的數(shù)據(jù)比

是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中

百分例為機(jī)％,b以下的數(shù)據(jù)比例為〃％,

至少有2％的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)

位數(shù)若則第P百分位數(shù)為a+(b

值，且至少有(100—p)%的數(shù)據(jù)大

-a)'—

1九一TH

于或等于這個(gè)值

2.計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的步?聚

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù):

第2步，計(jì)算i=fiXp%；

第3步，若z,不是整數(shù)，而大于z,的比鄰整數(shù)為力則第夕百分位數(shù)為第工項(xiàng)數(shù)據(jù);

若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第z?項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.四分位數(shù)

(1)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到

大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

⑵第組百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)；第五百分位數(shù)又稱第三四

分位數(shù)或上四分位數(shù).

4.總體離散程度的估計(jì)

(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是XI,X2,…，X”，用牙表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，稱(久「無白為

ni=i1

這組數(shù)據(jù)的方差，也可以寫成W=2的形式;稱為這組數(shù)據(jù)的

標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

①一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為％,力，…，自，總體平均數(shù)為

Y,則總體方差屋一9.

1=1

②加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有網(wǎng)上W2V)個(gè)，不妨記為H,

12,…，Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為九?=1,2,…，左)，則總體方差為窿=

TV*/「：總體標(biāo)準(zhǔn)差：s=V^.

Ni=l

(3)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為以，芹，…，?，樣本平均數(shù)為小則稱?

='七(兀-為樣本方差，5=行為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

ni=i1

［常用結(jié)論］

平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據(jù)xi,X2,,,,,X”的平均數(shù)為元，那么加xi+a,mxi+a,mx?,+a,,,,,mxn

+a的平均數(shù)是mx+a.

(2)數(shù)據(jù)Xl,X2,,,,,X〃的方差為$2.

①數(shù)據(jù)XI+Q,xi+a,???,的方差也為￡;

②數(shù)據(jù)an,axi,…，ax”的方差為咫記.

€＞激活-基本技能

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”)

⑴平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()

(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()

(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越

高.()

(4)任何一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與中位數(shù)的值是相同的.()

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)V

二、教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版必修第二冊(cè)P206探究改編)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨

勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在如圖兩種分布形態(tài)中，b,C,

d分別對(duì)應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對(duì)應(yīng)關(guān)系是()

abcd

A.。為中位數(shù)，6為平均數(shù)，。為平均數(shù)，d為中位數(shù)

B.a為平均數(shù),b為中位數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)

C.。為中位數(shù)，b為平均數(shù)，。為中位數(shù)，d為平均數(shù)

D.。為平均數(shù)，6為中位數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)

A［在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積和相等，平均數(shù)可以用每個(gè)

小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以小矩形的面積之和近似代替，結(jié)合兩個(gè)頻率分布直

方圖得：a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù).故選A.］

2.(人教A版必修第二冊(cè)P204練習(xí)T2改編)某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品的

質(zhì)量(單位：kg)分別為13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,

15.8,15.4,則所給數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)分別是.

13.7,14.7,15.3［將12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序：13,13.5,13.6,13.8,14,

14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.

由z=12X25%=3,得所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)據(jù)與第4個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)，即坐詈=13.7；

由z=12X50%=6,得所給數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)據(jù)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)，即竺產(chǎn)=14.7;

由z=12X75%=9,得所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)據(jù)和第10個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)，即15.2廣.4=］53］

3.(人教A版必修第二冊(cè)P215練習(xí)T2改編)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,

若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20,得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平

均數(shù)是,方差是.

484[設(shè)該組數(shù)據(jù)為Xl,X2,…，Xn,

則新數(shù)據(jù)為陽(yáng)+20,X2+20,…，Xn+20,記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

因?yàn)樵?/+犯+-+。=28,所以元，=XI+2°+X2+20+-+.+20=20+28=48.

nn

因?yàn)閊2—-[(Xl—%)2+(X2-%)2H-----\~(Xn~X)2],

222

所以{[XI+20-(X+20)]+[X2+20-(X+20)]H-----F[x?+20-(x+20)]}

=52=4.]

4.(人教A版必修第二冊(cè)P198練習(xí)Ti改編)為了了解全民對(duì)足球的熱愛程度，組

委會(huì)在某場(chǎng)比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了1000名觀眾進(jìn)行對(duì)足球“喜愛度”的調(diào)查

評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,

95),[95,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.圖中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，若已知

這1000名觀眾評(píng)分的中位數(shù)估計(jì)值為87.5,則m=.

0.02[由題可知,5(^+0.025+0.03)+(87.5-85)X0.05=0.5,解得加=0.02.]

[典例精研?核心考點(diǎn)]重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)

[典例1]⑴某中學(xué)高一年級(jí)10位女生的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)為148,155,157,

159,162,163,164,165,170,172,則數(shù)據(jù)的第50,75百分位數(shù)分別為()

A.162,165B.162.5,164.5

C.162,164.5D.162.5,165

(2)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù))整理

后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)是

.(結(jié)果保留兩位小數(shù))

頻率/組距

0.03：-----------------------

0.02257----------------------------

0.015：-----------------

0.01—

0.005---L----------------------------I__

0.0025無T-十一卜一十一T-H~~?-----?

08090100110120130140150

(1)D(2)124.44[⑴由題意，該數(shù)據(jù)已經(jīng)從小到大排列，10X50%=5,10X75%

=7.5,所以第50百分位數(shù)為空普=162.5,第75百分位數(shù)為165.故選D.

(2)由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01+0.015

+0.015+0.03)X10X100%=70%,分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01

+0.015+0.015+0.03+0.0225)X10X100%=92.5%,

因此，80%分位數(shù)一定位于[120,130)內(nèi).

因?yàn)?20+"0-07°xio=i24.44,

0.925-0.70'

所以此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)約為124.44.]

【教師備選資源】

已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是()

A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3

B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)

C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù)

D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù)

C[因?yàn)?00X75%=75為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第

75百分位數(shù)，是9.3,則C正確，其他選項(xiàng)均不正確，故選C.]

名師點(diǎn)評(píng)

1.計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的一般步驟

第一步〉一按從小到大排列原始數(shù)據(jù)

第二'爰＞---計(jì)算i="Xp%

若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為j,

小、「則第P百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)

第三裳-------

_若，是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第，項(xiàng)與

第G+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

2.頻率分布直方圖中第夕百分位數(shù)的計(jì)算

(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間［a,b).

(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為八%,九%,則第夕百分位數(shù)

為a-\P%—fa%X(b—a).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(2023?山東濱州二模)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組

樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為XI,X2,X3,則XI,X2,X3的大

小關(guān)系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)()

A.X3<X1<X2B.X2<X1<X3

C.Xl<X3<X2D.X\<X2<X3

(2)(2023?河北邯鄲一模)身體質(zhì)量指數(shù)，也就是BMI指數(shù)，簡(jiǎn)稱體質(zhì)指數(shù)，是

國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).某校為了解該校學(xué)生

的身體健康情況，從某班隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到這20名學(xué)生的BMI

指數(shù)分別是15,15.3,15.6,15.9,16.2,16.6,17.5,17.8,18.2,18.7,19.3,

19.5,20.3,21.1,21.5,22.7,22.9,23.1,23.4,23.5,則這組數(shù)據(jù)的第65百

分位數(shù)是.

(1)A(2)20.7［(1)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為等=2.5,即xi=2.5,平均數(shù)

X2=0.2X1.5+0.24X2.5+0.2X3.5+0.16X4.5+0.12X5.5+0.04X6.5+

0.04X7,5=3.54,

顯然第一四分位數(shù)位于［2,3)之間，

則0.2+(%3—2)><0.24=0.25,解得X3心2.208,

所以.故選A.

(2)因?yàn)?0X0.65=13,

所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是竺出=20.7.］

考點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

［典例2］某社區(qū)組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20

人，將他們的得分按照［0,20),［20,40),［40,60),［60,80),［80,100］分組,

繪成頻率分布直方圖(如圖).

?頻率/組距

0.0150-------------

0.0125---------------------

0.0075f---,一

0.0050—

020406080100得分

⑴求X的值；

(2)分別求出抽取的20人中得分落在［0,20)和20,40)內(nèi)的人數(shù)；

(3)估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

［解］(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

(0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)X20=1,

解得x=0.0100.

(2)由頻率分布直方圖能求出：

得分落在［0,20)內(nèi)的人數(shù)為20X0.0050X20=2,

得分落在［20,40)內(nèi)的人數(shù)為20X0.0075X20=3.

(3)所有參賽選手得分的平均數(shù)為：

0.0050X20X10+0.0075X20X30+0.0150X20X50+0.0125X20X70+0.010

0X20X90=56.

設(shè)所有參賽選手得分的中位數(shù)為a,

170

則0.0050X20+0.0075X20+0.0150X(fl-40)=0.5,解得a=(.

所有參賽選手得分的眾數(shù)估計(jì)值為竺羅=50.

名師點(diǎn)評(píng)頻率分布直方圖的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.

(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積

的和.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(1)(2023?山東濟(jì)南二模)某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整

數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8,唯一的眾數(shù)為9,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為()

A.7.6B.7.8

C.8D.8.2

(2)有13位同學(xué)參加學(xué)校組織的才藝表演比賽，已知他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同，

共設(shè)7個(gè)獲獎(jiǎng)名額，某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎(jiǎng)，在這

13名同學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量，它是.(填“眾數(shù)”“中位

數(shù)”或“平均數(shù)”)

(1)B(2)中位數(shù)［(1)依題意這組數(shù)據(jù)一共有5個(gè)數(shù)，中位數(shù)為8,則從小到大

排列8的前面有2個(gè)數(shù)，后面也有2個(gè)數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9,則有兩個(gè)9,其

余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為9,又極差為3,所以最小數(shù)字為6,所以

這組數(shù)據(jù)為6,7,8,9,9,所以平均數(shù)為6+7+；+9+9=73.故選B.

(2)因?yàn)?位獲獎(jiǎng)?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是13名參賽選手中最高的，所以把13個(gè)不同的

分?jǐn)?shù)按從小到大排序，只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎(jiǎng).］

【教師備選資源】

一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為無，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差。=

|%1一元|+|%2一元1+1%3一元1+一元I

n

如圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖：

甲組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖乙組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖

根據(jù)折線圖，可判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差A(yù),。2的大小關(guān)系是()

A.Di<D?B.D\=I)2

C.DI>D2D.無法確定

C［由給定的平均差公式可知：數(shù)據(jù)越集中于平均值附近，平均差越小.甲、乙

兩圖的縱坐標(biāo)表示的為頻率/組距，反映了各組樣本數(shù)據(jù)的疏密程度，甲圖中，

數(shù)據(jù)較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數(shù)據(jù)較為集中的分布在乙圖最高處值的區(qū)

間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較小.故選C.］

口考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)

［典例3］(2023?全國(guó)乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理

效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)

地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸

縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為%w(i=l,2,…，

10),試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)

序號(hào)12345678910

Z

伸縮

545533551522575544541568596548

率方

伸縮

536527543530560533522550576536

率"

記?=第一yi(z,=l,2,…，10),zi,Z2,…，2io的樣本平均數(shù)為N,樣本方差為

(1)求Z,$2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率

是否有顯著提高如果ZN2品，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工

藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高.

［解］(1)由題意，求出的值如表所示，

試驗(yàn)序號(hào)Z12345678910

Zi968-8151119182012

則2=3><(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

^=^X[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19

-ll)2+(18-ll)2+(20-ll)2+(12-ll)2]=61.

(2)因?yàn)?《=2倔1=內(nèi)4,Z=11=V12T>V244,

所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸

縮率有顯著提高.

名師點(diǎn)評(píng)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方

差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.⑴已知數(shù)據(jù)Xl,X2,X3,X4,X5,X6的平均數(shù)是5,方差是9,則好+《+遙+琳+

好+照=()

A.159B.204

C.231D.636

(2)已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2.現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4,此時(shí)這8個(gè)數(shù)

的平均數(shù)為總方差為則()

A.x=4,s2<2B.x=4,s2>2

C.x>4,s2<2D.x>4,s2>2

(1)B(2)A［(1)根據(jù)題意，數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5,X6中，平均數(shù)斤=5,方差

$2=9,

則52=-1(%1+%2+%3+%4+%5+胞)一爐=9,

所以好+靖+超+琢+蛙+就=204,故選B.

(2)因?yàn)槟?個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4,所以這7個(gè)數(shù)的和為4X7=28.因?yàn)榧尤胍粋€(gè)

新數(shù)據(jù)4,所以枳=竽=4.又因?yàn)檫@7個(gè)數(shù)的方差為2,且加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4,

所以這8個(gè)數(shù)的方差52=7*2+；4-4).=2.故選A.］

【教師備選資源】

1.(多選)(2021?新高考n卷)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本XI,X2,…，x“的離散

程度的有()

A.樣本Xl,X2,…，X”的標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本XI,X2,…，X”的中位數(shù)

C.樣本XI,X2,…，X”的極差

D.樣本XI,X2,…，羽的平均數(shù)

AC［中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，

標(biāo)準(zhǔn)差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，

極差是反映最大值與最小值之間的差距，

平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，

故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差.故選AC.]

2.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，高二某班40名學(xué)生成績(jī)的平均分為82,方差為10.2,

則下列四個(gè)數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績(jī)的是（）

A.100B.85

C.65D.55

D匚、2=￡（七-%）=]0.2,〃=40,

n

40

:.｛（修一元）2=10.2X40=408.

i=i

40

若存在x=55,則（x—幻2=（55—82）2=729>408=工ji）2,

i-i

導(dǎo)致方差必然大于10.2,不符合題意.

???55不可能是該班數(shù)學(xué)成績(jī).故選D.]

課時(shí)分層作業(yè)（七十）用樣本估計(jì)總體

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項(xiàng)選擇題

1.下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物（PM2.5）的觀測(cè)值：

396275268225168166176173188

168141157

若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征沒有改變

的是（）

A.極差B.中位數(shù)

C.眾數(shù)D.平均數(shù)

C[根據(jù)題意，若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，即最大

值變?yōu)?96+25=421,極差為最大值與最小值的差，會(huì)發(fā)生改變，加入數(shù)據(jù)前，

中位數(shù)為三；176=]74.5,加入數(shù)據(jù)后，中位數(shù)為176,發(fā)生改變，眾數(shù)為數(shù)據(jù)中

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，不會(huì)改變，平均數(shù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體水平，會(huì)發(fā)生改變.故選

C.]

2.（2023?臨沂一模）某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

件數(shù)7891011

人數(shù)37541

A.8.5B.9

C.9.5D.10

C[抽取的工人總數(shù)為20,20X75%=15,那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小

到大排序的第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9,

10,所以第75百分位數(shù)是等=9.5.

故選C.]

3.（2024?山西大同開學(xué)考試）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,5,6,

m,10,12,13,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的1則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)

O

是（）

A.7.5B.8

C.9D.9.5

C[這組數(shù)據(jù)一共8個(gè)數(shù)，中位數(shù)是學(xué)，極差為13—1=12,所以學(xué)=12X"

228

解得機(jī)=9,又8X60%=4.8,則第60百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)據(jù)9.故選C.]

4.（2024?天津模擬）為落實(shí)黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干

部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試.如圖是

該次考試成績(jī)隨機(jī)抽樣樣本的頻率分布直方圖.則下列關(guān)于這次考試成績(jī)的估計(jì)

錯(cuò)誤的是（）

o707580859095100分?jǐn)?shù)

A.眾數(shù)為82.5

B.中位數(shù)為85

C.平均數(shù)為86

D.有一半以上干部的成績(jī)?cè)?0?90分

C[由頻率分布直方圖知，眾數(shù)為82.5,A正確；

由(0.01+0.03+0.06)X5=0.5,即中位數(shù)為85,B正確；

由(0.01X72.5+0.03X77.5+0.06X82.5+0.05X87.5+0.03X92.5+

0.02X97.5)X5=85.5,C錯(cuò)誤；

由(0.06+0.05)X5=0.55>0.5,則有一半以上干部的成績(jī)?cè)?0?90分之間，D正

確.

故選C.]

5.(2022?全國(guó)甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為

了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份

垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：

正確率/%

100-

95-

90-

85-

80-*講座前

75-?講座后

70-

65-

60/

456

居民編號(hào)

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

B[講座前中位數(shù)為7°%[5%>70%,A錯(cuò)誤；

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,

所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,B正確；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于

講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，C錯(cuò)誤；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,D錯(cuò)誤.

故選B.]

6.（2024?安徽合肥模擬）若一組樣本數(shù)據(jù)xi,也,…，羽的平均數(shù)為10,另一

組樣本數(shù)據(jù)2xi+4,2取+4,…，2x〃+4的方差為8,則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一

組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（）

A.17,54B.17,48

C.15,54D.15,48

n?

A[由題意可知，數(shù)據(jù)Xi,X2,…，均的平均數(shù)為10,貝I二，「，=10%

所以數(shù)據(jù)2xi+4,2改+4,…，2x〃+4的平均數(shù)為

nn

x=一):(2%j+4)=—>:無(+4=2X10+4=24,

t=li=l

nnn

方差為s2=[(2陽(yáng)+4)—(2元+4)f=?_10)2=好一

i=li=li=l

itn

X102=“1[-400=8.所以2父=102〃，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)XI,

X2,?xn,2x1+4,2x2+4,…，2x?+4的平均數(shù)為

nnn

11V1、

XO，+W（2i）=5x_)(z3x+4)

2幾乙z

-i=li=li=l

1

中咨+4）=-(3x10+4)=17,

nn

方差為s—17)2+2(2/+4—17)2

2n乙

-i=li=l

nn

(Xi—86W+458n

i=li=i<

=《(5X102〃一860〃+458〃)=54.故選A.]

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2023?新高考I卷）有一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，X6,其中xi是最小值，■%是

最大值，則（）

A.X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于Xl,X2,…，X6的平均數(shù)

B.X2,X3，X4,%5的中位數(shù)等于Xl，X2,…，％6的中位數(shù)

C.%2,%3,%4,%5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于Xl,%2,…，、6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2,%3,X4,X5的極差不大于XI,XI,…，％6的極差

BD[取Xl=l,X2=X3=X4=X5=2,X6=9,則X2,X3,X4,%5的平均數(shù)等于2,

標(biāo)準(zhǔn)差為0,XI,X2,…，X6的平均數(shù)等于3,標(biāo)準(zhǔn)差為怪=孚，故A,C均不

733

正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將XI,X2,…，X6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位

數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于XI是最小值，X6是最大值，故X2,X3,X4,

X5的中位數(shù)是將X2,X3,X4,X5按從小到大的順序排列后中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均

數(shù)，與XI,X2,…，X6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知X2,X3,

X4,X5的極差不大于XI,X2,…，X6的極差，故D正確.綜上，故選BD.]

8.病毒研究所檢測(cè)甲、乙兩組實(shí)驗(yàn)小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻

率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

B.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)

C.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)

D.乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

BCD[根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，甲組的平均數(shù)大于中位數(shù),

且都小于7,

同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7,

故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，A錯(cuò)誤；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，B正確；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，C正確；

乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，D正確.

故選BCD.]

三、填空題

9.(2023?遼寧葫蘆島二模)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽,

他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)绫?單位：環(huán))：

甲108999

乙1010799

如果甲、乙只有1人能入選，則入選的最佳人選應(yīng)是.

1

甲[甲的平均數(shù)為元甲=/10+8+9+9+9)=9,

乙的平均數(shù)為無乙=310+10+7+9+9)=9,

甲的方差為耳W[(10—9)2+(8—9)2]=|,

乙的方差為S；巧(10—9)2X2+(7—9)2]=/

：元甲=無乙，甲、乙的平均水平相同，

???sjVs；,...甲的成績(jī)穩(wěn)定，故甲入選.]

10.某校組織學(xué)生參與航天知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，某班8位同學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?,6,8,9,

8,7,10,初若去掉m,該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(l<m<10)

的值可以是(寫出一個(gè)滿足條件的m值即可).

7或8或9或10(填上述4個(gè)數(shù)中任意一個(gè)均可)

[7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉切，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,7,8,

8,9,10,則7X0.25=1.75,故第25百分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)即7,所以7,6,8,

9,8,7,10,m,第25百分位數(shù)為7,而8X0.25=2,所以7為第二個(gè)數(shù)與第

三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以機(jī)(IWmWIO)的值可以是7或8或9或10.]

四,解答題

11.(2024?湖南永州模擬)某地旅游主管部門為了更好地為游客服務(wù)，在景區(qū)隨

機(jī)發(fā)放評(píng)分調(diào)查問卷100份，并將問卷評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分成6組：[70,75),[75,80),

[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],繪制如圖所示頻率分布直方圖.

頻率/組距

o6

0.o5

0.O4

0.

0707580859095100分?jǐn)?shù)

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[80,85)的游客為15人，求樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)，并

估計(jì)第75百分位數(shù)；

(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3：2,男游客樣本的平均值為90,方差為

10,女游客樣本的平均值為85,方差為12,由樣本估計(jì)總體，求總體的方差.

[解](1)由頻率分布直方圖，可得分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的頻率為(0.06+0.05+

0.04)X5=0.75,

所以分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的人數(shù)為100X0.75=75,

所以分?jǐn)?shù)小于80分的人數(shù)為100—75—15=10,

由題意可設(shè)第75百分位數(shù)為x,其中x￡[90,95),則1—(0.05X5+0.04X5)+(x

-90)X0.05=0.75,解得x=94,

故樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94.

(2)由已知可得總樣本平均值為-免+/Ly=&X90+--X85=88,

m+nm+n2+32+3

又由§2=扁[s&+(z-%)2]+a[S&+Q—y)2]

2c2-4242A4

22

=^[10+(88-90)]+—[12+(88-85)]=T+T=T，

所以用樣本估計(jì)總體，總體的方差為費(fèi).

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

12.(2024?云南昆明雙基檢測(cè))某濱海城市沙灘風(fēng)景秀麗，夏日美麗的海景和清

涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客.某飲品店通過公開競(jìng)標(biāo)的方式獲得賣現(xiàn)制

飲品的業(yè)務(wù)，為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進(jìn)入沙灘的人數(shù)，做前期的

市場(chǎng)調(diào)查來模擬飲品店開賣之后的利潤(rùn)情況，考慮沙灘承受能力有限，超過1.4

萬人即停止預(yù)約.以下表格是160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)(單位：萬人)的頻數(shù)

分布表.

人數(shù)/

[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]

萬

頻數(shù)/

881624a4832

天

(1)繪制160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖(用陰影表示)，并求出。

的值和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù);

頻率/組距

0

1.05

1.7

10

.255

1

0

1Q

5

o.70

O.255

0020.40.60.81.0L21.4人數(shù)/萬

⑵據(jù)統(tǒng)計(jì)，每10個(gè)進(jìn)入沙灘的游客當(dāng)中平均有1人會(huì)購(gòu)買飲品，x（單位：個(gè)）

為進(jìn)入該沙灘的人數(shù)（X為10的整倍數(shù).如有8006人，則X取8000）.每杯飲

品的售價(jià)為15元，成本為5元，當(dāng)日未出售飲品當(dāng)垃圾處理.若該店每日準(zhǔn)備

1000杯飲品，記y為該店每日的利潤(rùn)（單位：元），求y和X的函數(shù)關(guān)系式；

（3）以頻率估計(jì)概率,求該店在160天的沙灘開放日中利潤(rùn)不低于7000元的概率.

［解］（1）由題意，8+8+16+24+^+48+32=160,解得。=24.

e工8+8+16+24+24.-8+8+16+24+24+48.

因?yàn)橐幻嬉欢?-------荷-----=°8o

所以65%分位數(shù)在區(qū)間［L0,1.2）上，

則65%分位數(shù)為1.0+0.2X*"=l.L

0.8—0.5

畫出頻率分布直方圖如圖所示.

舉頻率/組距