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文檔簡介
歷屆真題專題【年高考試題】一、選擇題:1.(年高考全國新課標(biāo)卷理科7)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),為C的實(shí)軸長的2倍,則C的離心率為(A)(B)(C)2(D)3答案:B解析:由題意知,為雙曲線的通徑,所以,,又,故選B.點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì),通過通經(jīng)與長軸的4倍的關(guān)系可以計(jì)算出離心率的關(guān)鍵的值,從而的離心率。4.(年高考浙江卷理科8)已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn),的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn),若恰好將線段三等分,則(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由恰好將線段AB三等分得,由又,故選C5.(年高考安徽卷理科2)雙曲線的實(shí)軸長是(A)2(B)(C)4(D)4【答案】A【命題意圖】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查雙曲線的性質(zhì).屬容易題.【解析】可變形為,則,,.故選C.6.(年高考湖南卷理科5)設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則的值為A.4B.3C.2D.18.(年高考陜西卷理科2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,則拋物線的方程是(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】:設(shè)拋物線方程為,則準(zhǔn)線方程為于是9.(年高考四川卷理科10)在拋物線上取橫坐標(biāo)為,的兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切,則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(B)(C)(D)10.(年高考全國卷理科10)已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,直線與C交于A,B兩點(diǎn).則=(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】:,準(zhǔn)線方程為,由則,由拋物線的定義得由余弦定理得故選D11.(年高考福建卷理科7)設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若曲線r上存在點(diǎn)P滿足=4:3:2,則曲線r的離心率等于 A. B.或2 C.2 D.【答案】A二、填空題:1.(年高考遼寧卷理科13)已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C:(a>0,b>0)上,C的焦距為4,則它的離心率為_____________.3.(年高考江西卷理科14)若橢圓的焦點(diǎn)在軸上,過點(diǎn)(1,)作圓的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓方程是【答案】【解析】因?yàn)橐粭l切線為x=1,且直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),所以橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),即,設(shè)點(diǎn)P(1,),連結(jié)OP,則OP⊥AB,因?yàn)?所以,又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)(1,0),所以直線AB的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)在直線AB上,所以,又因?yàn)?所以,故橢圓方程是.4.(年高考全國新課標(biāo)卷理科14)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為。過的直線交于兩點(diǎn),且的周長為16,那么的方程為。答案:解析:由橢圓的的定義知,,又因?yàn)殡x心率,因此,所求橢圓方程為:;點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡單的幾何性質(zhì)。要注意把握.5.(年高考重慶卷理科15)設(shè)圓位于拋物線與直線所組成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi),則圓的半徑能取到的最大值為解析:。為使圓的半徑取到最大值,顯然圓心應(yīng)該在x軸上且與直線相切,設(shè)圓的半徑為,則圓的方程為,將其與聯(lián)立得:,令,并由,得:6.(年高考四川卷理科14)雙曲線P到左準(zhǔn)線的距離是.答案:16解析:由雙曲線第一定義,|PF1|-|PF2|=±16,因|PF2|=4,故|PF1|=20,(|PF1|=-12舍去),設(shè)P到左準(zhǔn)線的距離是d,由第二定義,得,解得.7.(年高考全國卷理科15)已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A∈C,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),AM為∠F1AF2∠的平分線.則|AF2|=.【答案】6【解析】:,由角平分線的性質(zhì)得又8.(年高考北京卷理科14)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)和F?2(1,0)的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論: ①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn); ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱; ③若點(diǎn)P在曲線C上,則△FPF的面積大于a。其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是?!敬鸢浮竣冖?.(年高考上海卷理科3)設(shè)為常數(shù),若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則。【答案】16三、解答題:1.(年高考山東卷理科22)(本小題滿分14分)已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于P、Q兩不同點(diǎn),且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)證明和均為定值;(Ⅱ)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,求的最大值;(Ⅲ)橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G,使得?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為由題意知m,將其代入,得,其中即 …………(*)又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合(*)式,此時(shí)綜上所述,結(jié)論成立。(II)解法一:(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由(I)知因此(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由(I)知所以所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.綜合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值為解法二:由(I)得因此D,E,G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn),而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn),與矛盾,所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D,E,G.2.(年高考遼寧卷理科20)(本小題滿分12分) 如圖,已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O,長軸左、右端點(diǎn)M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點(diǎn),與C2交于兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D. (I)設(shè),求與的比值; (II)當(dāng)e變化時(shí),是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由解得.因?yàn)?,又,所以,解?所以當(dāng)時(shí),不存在直線l,使得BO//AN;當(dāng)時(shí),存在直線l使得BO//AN.2.(年高考安徽卷理科21)(本小題滿分13分)設(shè),點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)滿足,經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程?!久}意圖】:本題考查直線和拋物線的方程,平面向量的概念,性質(zhì)與運(yùn)算,動(dòng)點(diǎn)軌跡方程等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問題和解決問題的能力,全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)?!窘馕觥浚河芍猀,M,P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上,故可設(shè),,,則,即=1\*GB3①再設(shè),由,即,解得=2\*GB3②將=1\*GB3①代入=2\*GB3②式,消去得=3\*GB3③又點(diǎn)B在拋物線上,所以,再將=3\*GB3③式代入得,即,即,因?yàn)?,等式兩邊同時(shí)約去得這就是所求的點(diǎn)的軌跡方程?!窘忸}指導(dǎo)】:向量與解析幾何相結(jié)合時(shí),關(guān)鍵是找到表示向量的各點(diǎn)坐標(biāo),然后利用相關(guān)點(diǎn)代入法或根與系數(shù)關(guān)系解決問題,此外解析幾何中的代數(shù)式計(jì)算量都是很大的,計(jì)算時(shí)應(yīng)細(xì)致加耐心。3.(年高考全國新課標(biāo)卷理科20)(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線y=-3上,M點(diǎn)滿足MB//OA,MA?AB=MB?BA,M點(diǎn)的軌跡為曲線C。(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P為C上的動(dòng)點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處得切線,求O點(diǎn)到l距離的最小值。點(diǎn)評(píng):此題考查曲線方程的求法、直線方程、點(diǎn)到直線的距離、用不等式求最值以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等。要把握每一個(gè)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。4.(年高考天津卷理科18)(本小題滿分13分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),分別為橢圓的左右焦點(diǎn).已知△為等腰三角形.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),是直線上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,可得橢圓方程為.直線方程為,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理,得,解得,得方程組的解,,不妨設(shè),,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,.由得,于是,由,即,化簡得,將代入,得,所以,因此,點(diǎn)的軌跡方程是.5.(年高考浙江卷理科21)(本題滿分15分)已知拋物線:,圓:的圓心為點(diǎn)M(Ⅰ)求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離;(Ⅱ)已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓的兩條切線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),若過M,P兩點(diǎn)的直線垂直于AB,求直線的方程【解析】(Ⅰ)由得準(zhǔn)線方程為,由得M,點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,由題意得設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為即①則即設(shè),的斜率為()則是上述方程的兩個(gè)不相等的根,將代入①得由于是方程的根故,所以,,由得解得點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為.6.(年高考江西卷理科20)(本小題滿分13分)是雙曲線E:上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率;(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足,求的值.所以,又A、B兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,所以,又,所以,所以或.7.(年高考湖南卷理科21)(本小題滿分13分)如圖7,橢圓的離心率為,軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.求,的方程;設(shè)與軸的交點(diǎn)為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn),,直線,分別與相交于點(diǎn),.(ⅰ)證明:;(ⅱ)記,的面積分別為,問:是否存在直線,使得?請(qǐng)說明理由.解:由題意知,從而,又,解得,故,的方程分別為,(?。┯深}意知,直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為由得設(shè),,則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是又點(diǎn),所以故即因此由題意知,,解得或又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知,所以故滿足條件的直線存在,且有兩條,其方程分別為和評(píng)析:本大題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,突出解析幾何的基本思想和方法的考查:如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等.8.(年高考廣東卷理科19)設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切.(1)求C的圓心軌跡L的方程.(2)已知點(diǎn)且P為L上動(dòng)點(diǎn),求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)解:設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為,由題設(shè)條件知 化簡得L的方程為(2)解:過M,F(xiàn)的直線方程為,將其代入L的方程得 解得 因T1在線段MF外,T2在線段MF內(nèi),故 ,若P不在直線MF上,在中有 故只在T1點(diǎn)取得最大值2。9.(年高考湖北卷理科20)(本小題滿分13分)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1、A2兩點(diǎn)所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.(Ⅰ)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m的位置關(guān)系;(Ⅱ)當(dāng)m=-1時(shí),對(duì)應(yīng)的曲線為C1:對(duì)給定的,對(duì)應(yīng)的曲線為C2,設(shè)F1、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn),試問:在C1上,是否存在點(diǎn)N,使得△F1NF2的面積,若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.當(dāng)時(shí),曲線C的方程為,C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)時(shí),曲線C的方程為,C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),C1的方程為;當(dāng)時(shí),C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,.對(duì)于給定的,C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是由①得,由②得,當(dāng),即,或時(shí),存在點(diǎn)N,使:當(dāng),即,或時(shí),不存大滿足條件的點(diǎn)N.當(dāng)時(shí),由,,可得令,,則由,可得,從而,于是由,可得,即,綜上可得:當(dāng)時(shí),在C1上,存在點(diǎn)N,使得,且;當(dāng)時(shí),在C1上,存在點(diǎn)N,使得,且;當(dāng)時(shí),在C1上,不存在滿足條件的點(diǎn)N.10.(年高考陜西卷理科17)(本小題滿分12分)如圖,設(shè)是圓珠筆上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是在軸上的投影,M為D上一點(diǎn),且(Ⅰ)當(dāng)?shù)脑趫A上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(Ⅱ)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度。【解析】:(Ⅰ)設(shè)M的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為由已知得在圓上,即C的方程為(Ⅱ)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為,設(shè)直線與C的交點(diǎn)為,將直線方程代入C的方程,得,即。線段AB的長度為注:求AB長度時(shí),利用韋達(dá)定理或弦長公式求得正確結(jié)果,同樣給分。11.(年高考重慶卷理科20)(本小題滿分12分,第一問4分,第二問8分)如圖(20),橢圓的中心為原點(diǎn)O,離心率,一條準(zhǔn)線的方程為。(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,其中M,N是橢圓上的點(diǎn)。直線OM與ON的斜率之積為。問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值。若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由。解析:(Ⅰ)由,解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(Ⅱ)設(shè),,則由得,即,因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓上,所以故,設(shè)分別為直線OM,ON的斜率,由題意知,,因此,所以,所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),設(shè)該橢圓的左右焦點(diǎn)為,則由橢圓的定義,為定值,又因,因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為12.(年高考四川卷理科21)(本小題共l2分)橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(I)當(dāng)|CD|=時(shí),求直線l的方程;(II)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí),求證:為定值.解析:由已知可得橢圓方程為,設(shè)的方程為為的斜率.則,的方程為.13.(年高考全國卷理科21)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn),過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足(Ⅰ)證明:點(diǎn)P在C上;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,證明:A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.【解析】:(Ⅰ)證明:由,,由設(shè),,,,故點(diǎn)P在C上(Ⅱ)法一:點(diǎn)P,P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,,,即,同理即,A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.法二:由已知有則的中垂線為:設(shè)、的中點(diǎn)為∴∴則的中垂線為:則的中垂線與的中垂線的交點(diǎn)為∴到直線的距離為∴即∴、、、四點(diǎn)在同一圓上。NMPAxyBCNMPNMPAxyBCNMPAxyBCNMPAxyBCNMPAxyBC(1)當(dāng)直線PA平分線段MN,求k的值;(2)當(dāng)k=2時(shí),求點(diǎn)P到直線AB的距離d;(3)對(duì)任意k>0,求證:PA⊥PB【解析】(1)因?yàn)椤?所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,),又因?yàn)橹本€PA平分線段MN,所以k的值為(2)因?yàn)閗=2,所以直線AP的方程為,由得交點(diǎn)P()、A(),因?yàn)镻C⊥x軸,所以C(),所以直線AC的斜率為1,直線AB的方程為,所以點(diǎn)P到直線AB的距離d==.15.(年高考北京卷理科19)(本小題共14分) 已知橢圓.過點(diǎn)(m,0)作圓的切線I交橢圓G于A,B兩點(diǎn). (I)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率; (II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值.解:(Ⅰ)由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為(Ⅱ)由題意知,.當(dāng)時(shí),切線l的方程,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=-1時(shí),同理可得當(dāng)時(shí),設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí),所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí),|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.16.(年高考福建卷理科17)(本小題滿分13分)已知直線l:y=x+m,m∈R。(I)若以點(diǎn)M(2,0)為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P,且點(diǎn)P在y軸上,求該圓的方程;(II)若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為,問直線與拋物線C:x2=4y是否相切?說明理由。解析:本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一:(I)依題意,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m)因?yàn)椋?,解得m=2,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)從而圓的半徑故所求圓的方程為(II)因?yàn)橹本€的方程為(I)設(shè)所求圓的半徑為r,則圓的方程可設(shè)為依題意,所求圓與直線相切于點(diǎn)P(0,m),則解得所以所求圓的方程為(II)同解法一。解:⑴設(shè)是線段上一點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),。⑵設(shè)線段的端點(diǎn)分別為,以直線為軸,的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則,點(diǎn)集由如下曲線圍成,其面積為。⑶①選擇,②選擇。③選擇?!灸旮呖荚囶}】(浙江理數(shù))(8)設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn),滿足,且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長,則該雙曲線的漸近線方程為(A)(B)(C)(D)解析:利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系,得出a與b之間的等量關(guān)系,可知答案選C,本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考察,屬中檔題(全國卷2理數(shù))(12)已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn).若,則(A)1(B)(C)(D)2【答案】B【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義.【解析】設(shè)直線l為橢圓的有準(zhǔn)線,e為離心率,過A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B為垂足,過B作BE垂直于AA1與E,由第二定義得,,由,得,∴即k=,故選B.(遼寧理數(shù))(9)設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F;虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(A)(B)(C)(D)【答案】D【命題立意】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、虛軸、漸近線、離心率,考查了兩條直線垂直的條件,考查了方程思想。【解析】設(shè)雙曲線方程為,則F(c,0),B(0,b)直線FB:bx+cy-bc=0與漸近線y=垂直,所以,即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去)(遼寧理數(shù))(7)設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為,那么|PF|=(A)(B)8(C)(D)16【答案】B【命題立意】本題考查了拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線、直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想?!窘馕觥繏佄锞€的焦點(diǎn)F(2,0),直線AF的方程為,所以點(diǎn)、,從而|PF|=6+2=8(重慶理數(shù))(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn),在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線解析:排除法軌跡是軸對(duì)稱圖形,排除A、C,軌跡與已知直線不能有交點(diǎn),排除B(四川理數(shù))(9)橢圓的右焦點(diǎn),其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是(A)(B)(C)(D)解析:由題意,橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn),即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|=|PF|∈[a-c,a+c]于是∈[a-c,a+c]即ac-c2≤b2≤ac+c2∴又e∈(0,1)故e∈答案:D(天津理數(shù))(5)已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于容易題。依題意知,所以雙曲線的方程為【溫馨提示】選擇、填空中的圓錐曲線問題通??疾閳A錐曲線的定義與基本性質(zhì),這部分內(nèi)容也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,在每年的天津卷中三種軟件曲線都會(huì)在題目中出現(xiàn)。(全國卷1理數(shù))(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,∠P=,則P到x軸的距離為(A)(B)(C)(D)(山東理數(shù))(7)由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由題意得:所求封閉圖形的面積為,故選A?!久}意圖】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識(shí),由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積。(安徽理數(shù))5、雙曲線方程為,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為A、 B、 C、 D、5.C【解析】雙曲線的,,,所以右焦點(diǎn)為.【誤區(qū)警示】本題考查雙曲線的交點(diǎn),把雙曲線方程先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,然后利用求出c即可得出交點(diǎn)坐標(biāo).但因方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式,很多學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為或,從而得出錯(cuò)誤結(jié)論.(湖北理數(shù))9.若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn),則b的取值范圍是A.B.C.D.9.【答案】C【解析】曲線方程可化簡為,即表示圓心為(2,3)半徑為2的半圓,依據(jù)數(shù)形結(jié)合,當(dāng)直線與此半圓相切時(shí)須滿足圓心(2,3)到直線y=x+b距離等于2,解得,因?yàn)槭窍掳雸A故可得(舍),當(dāng)直線過(0,3)時(shí),解得b=3,故所以C正確.(福建理數(shù))A.①④B.②③C.②④D.③④【答案】C【解析】經(jīng)分析容易得出②④正確,故選C?!久}意圖】本題屬新題型,考查函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。(福建理數(shù))7.若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)槭且阎p曲線的左焦點(diǎn),所以,即,所以雙曲線方程為,設(shè)點(diǎn)P,則有,解得,因?yàn)?,,所?,此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),取得最小值,故的取值范圍是,選B?!久}意圖】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程,考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等,考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。(福建理數(shù))2.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即所求圓的圓心,又圓過原點(diǎn),所以圓的半徑為,故所求圓的方程為,即,選D?!久}意圖】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法,屬基礎(chǔ)題。(浙江理數(shù))(13)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上,則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_____________。解析:利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出p的值為,B點(diǎn)坐標(biāo)為()所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為,本題主要考察拋物線的定義及幾何性質(zhì),屬容易題(全國卷2理數(shù))(15)已知拋物線的準(zhǔn)線為,過且斜率為的直線與相交于點(diǎn),與的一個(gè)交點(diǎn)為.若,則.【答案】2【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì).【解析】過B作BE垂直于準(zhǔn)線于E,∵,∴M為中點(diǎn),∴,又斜率為,,∴,∴,∴M為拋物線的焦點(diǎn),∴2.(江西理數(shù))15.點(diǎn)在雙曲線的右支上,若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于,則=【答案】2【解析】考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化,讀取a=2.c=6,,(重慶理數(shù))(14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.解析:設(shè)BF=m,由拋物線的定義知中,AC=2m,AB=4m,直線AB方程為與拋物線方程聯(lián)立消y得所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為(北京理數(shù))(13)已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同,那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為;漸近線方程為。答案:(,0)(全國卷1理數(shù))3.(江蘇卷)6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線上一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是___▲_______[解析]考查雙曲線的定義。,為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離,=2,MF=4。(浙江理數(shù))(21)(本題滿分15分)已知m>1,直線,橢圓,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí),求直線的方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),,的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析:本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。(Ⅰ)解:因?yàn)橹本€經(jīng)過,所以,得,又因?yàn)?,所以,故直線的方程為。(Ⅱ)解:設(shè)。由,消去得則由,知,且有。由于,故為的中點(diǎn),由,可知設(shè)是的中點(diǎn),則,由題意可知即即而所以即又因?yàn)榍宜浴K缘娜≈捣秶?。(全國?理數(shù))(21)(本小題滿分12分)己知斜率為1的直線l與雙曲線C:相交于B、D兩點(diǎn),且BD的中點(diǎn)為.(Ⅰ)求C的離心率;(Ⅱ)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,,證明:過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì),考查直線與圓的關(guān)系,既考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況,又可以考查綜合推理的能力.【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目,命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來考查,如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等,試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定.(遼寧理數(shù))(20)(本小題滿分12分)設(shè)橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60o,.求橢圓C的離心率;如果|AB|=,求橢圓C的方程.解:設(shè),由題意知<0,>0.(Ⅰ)直線l的方程為,其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?,所?即得離心率.……6分(Ⅱ)因?yàn)?,所?由得.所以,得a=3,.橢圓C的方程為.……12分(江西理數(shù))21.(本小題滿分12分)設(shè)橢圓,拋物線。若經(jīng)過的兩個(gè)焦點(diǎn),求的離心率;設(shè)A(0,b),,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△AMN的垂心為,且△QMN的重心在上,求橢圓和拋物線的方程?!窘馕觥靠疾闄E圓和拋物線的定義、基本量,通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程。(1)由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上,可得:,由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè),由的垂心為B,有。由點(diǎn)在拋物線上,,解得:故,得重心坐標(biāo).由重心在拋物線上得:,,又因?yàn)镸、N在橢圓上得:,橢圓方程為,拋物線方程為。(重慶理數(shù))(20)(本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分)已知以原點(diǎn)O為中心,為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率。求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程;如題(20)圖,已知過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)(其中)的直線的交點(diǎn)E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn),求的面積。(北京理數(shù))(19)(本小題共14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由。(I)解:因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得化簡得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為(II)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn),得坐標(biāo)分別為,.則直線的方程為,直線的方程為令得,.于是得面積又直線的方程為,,點(diǎn)到直線的距離.于是的面積當(dāng)時(shí),得又,所以=,解得。因?yàn)?,所以故存在點(diǎn)使得與的面積相等,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二:若存在點(diǎn)使得與的面積相等,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以所以即,解得因?yàn)?,所以故存在點(diǎn)S使得與的面積相等,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.(四川理數(shù))(20)(本小題滿分12分)已知定點(diǎn)A(-1,0),F(xiàn)(2,0),定直線l:x=,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn),直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F,并說明理由.本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí),考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力.解:(1)設(shè)P(x,y),則化簡得x2-=1(y≠0)………………4分(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí),設(shè)BC的方程為y=k(x-2)(k≠0)與雙曲線x2-=1聯(lián)立消去y得(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0由題意知3-k2≠0且△>0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=k2(+4)=因?yàn)閤1、x2≠-1所以直線AB的方程為y=(x+1)因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),同理可得因此==0②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí),起方程為x=2,則B(2,3),C(2,-3)AB的方程為y=x+1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),同理可得因此=0綜上=0,即FM⊥FN故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F………………12分(天津理數(shù))(20)(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。求橢圓的方程;設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)在線段的垂直平分線上,且,求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線的方程,平面向量等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查運(yùn)算和推理能力,滿分12分(1)解:由,得,再由,得由題意可知,解方程組得a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解:由(1)可知A(-2,0)。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理,得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況:(1)當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)。線段AB的垂直平分線為y軸,于是(2)當(dāng)K時(shí),線段AB的垂直平分線方程為令x=0,解得由整理得綜上(廣東理數(shù))21.(本小題滿分14分)設(shè)A(),B()是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn),先定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離p(A,B)為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.(2)當(dāng)點(diǎn)C(x,y)同時(shí)滿足①P+P=P,②P=P時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).,即存在點(diǎn)滿足條件。(廣東理數(shù))20.(本小題滿分為14分)一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn),是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式;(2)若過點(diǎn)H(0,h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn),且,求h的值。故,即。(2)設(shè),則由知,。將代入得,即,由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知,,即。同理,由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知,,消去得,即,從而,即。(全國卷1理數(shù))(21)(本小題滿分12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.(Ⅰ)證明:點(diǎn)F在直線BD上;(Ⅱ)設(shè),求的內(nèi)切圓M的方程.(山東理數(shù))(21)(本小題滿分12分)如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(Ⅰ)由題意知,橢圓離心率為,得,又,所以可解得,,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線,且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?!久}意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。其中問題(3)是一個(gè)開放性問題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力,(湖南理數(shù))19.(本小題滿分13分)為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形,以過A,B兩點(diǎn)的直線為x軸,線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖6)在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km區(qū)域;在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過km區(qū)域。(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程;(Ⅱ)如圖6所示,設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線),當(dāng)冰川融化時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍,求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間?;趨^(qū)域P3(8,6)已冰B(4,0)A(-4,0)x(,-1)P1(湖北理數(shù))19(本小題滿分12分)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由。(安徽理數(shù))19、(本小題滿分13分)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在軸上,離心率。(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程;(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)?若存在,請(qǐng)找出;若不存在,說明理由。(江蘇卷)18、(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、,其中m>0,。(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡;(2)設(shè),求點(diǎn)T的坐標(biāo);(3)設(shè),求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))。[解析]本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由,得化簡得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。(2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,)、N(,)直線MTA方程為:,即,直線NTB方程為:,即。聯(lián)立方程組,解得:,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為:,即,直線NTB方程為:,即。分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到,解得:、。(方法一)當(dāng)時(shí),直線MN方程為:令,解得:。此時(shí)必過點(diǎn)D(1,0);當(dāng)時(shí),直線MN方程為:,與x軸交點(diǎn)為D(1,0)。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1,0)。(方法二)若,則由及,得,此時(shí)直線MN的方程為,過點(diǎn)D(1,0)。若,則,直線MD的斜率,直線ND的斜率,得,所以直線MN過D點(diǎn)。因此,直線MN必過軸上的點(diǎn)(1,0)。(福建理數(shù))17.(本小題滿分13分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)。(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在平行于OA的直線,使得直線與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與的距離等于4?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由?!久}意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
【解析】(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為,且可知左焦點(diǎn)為【年高考試題】7.(·山東理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為().A.B.5C.D.解析::雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故選D.答案:D.【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.11.(·安徽理)下列曲線中離心率為的是(A)(B)(C)(D)[解析]由得,選B15.(·寧夏海南理)雙曲線-=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為(A)(B)2(C)(D)1解析:雙曲線-=1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為,選A16.(·天津理)設(shè)拋物線=2x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于C,=2,則BCF與ACF的面積之比=(A)(B)(C)(D)【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線的性質(zhì)、三點(diǎn)共線的坐標(biāo)關(guān)系,和綜合運(yùn)算數(shù)學(xué)的能力,中檔題。解析:由題知,又由A、B、M三點(diǎn)共線有即,故,∴,故選擇A。19.(··浙江理)過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為.若,則雙曲線的離心率是()A.B.C.D.答案:C解析:對(duì)于,則直線方程為,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B,C,,則有,因.12.(·寧夏海南理)設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線的方程為_____________.解析:拋物線的方程為,答案:y=x13.(·天津理)若圓與圓(a>0)的公共弦的長為,則___________?!究键c(diǎn)定位】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)題。解析:由知的半徑為,由圖可知解之得14.(·江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),為其右焦點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)T,線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為.解析:考查橢圓的基本性質(zhì),如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為:;直線的方程為:。二者聯(lián)立解得:,則在橢圓上,,解得:15.(·廣東理)巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓的方程為.解析:,,,,則所求橢圓方程為.18.(·遼寧理)以知F是雙曲線的左焦點(diǎn),是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為。解析:注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),于是由雙曲線性質(zhì)|PF|-|PF’|=2a=4而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.答案:912.(·浙江理)(本題滿分15分)已知橢圓:的右頂點(diǎn)為,過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為.(I)求橢圓的方程;(II)設(shè)點(diǎn)在拋物線:上,在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn).當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求的最小值.解析:(I)由題意得所求的橢圓方程為,(II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為,直線MN的方程為,將上式代入橢圓的方程中,得,即,因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以有,設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,則,設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,則,由題意得,即有,其中的或;當(dāng)時(shí)有,因此不等式不成立;因此,當(dāng)時(shí)代入方程得,將代入不等式成立,因此的最小值為1.14.(·江蘇)(本題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),其焦點(diǎn)F在軸上。(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過點(diǎn)F,且與直線OA垂直的直線的方程;(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn),ME=2DM,記D和E兩點(diǎn)間的距離為,求關(guān)于的表達(dá)式。解析:[必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。15.(·山東理)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),(I)求橢圓E的方程;(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由。解:(1)因?yàn)闄E圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以,,①當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.當(dāng)時(shí),.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB|的取值范圍為即:【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.17.(·廣東理)(本小題滿分14分)已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和,且.記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為.設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合.(1)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;(2)若曲線與有公共點(diǎn),試求的最小值.解:(1)聯(lián)立與得,則中點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則,即,又點(diǎn)在曲線上,∴化簡可得,又點(diǎn)是上的任一點(diǎn),且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合,則,即,∴中點(diǎn)的軌跡方程為().xAxBDxAxBD(2)曲線,即圓:,其圓心坐標(biāo)為,半徑由圖可知,當(dāng)時(shí),曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn),只需圓心到直線的距離,得,則的最小值為.18.(·安徽理)(本小題滿分13分)點(diǎn)在橢圓上,直線與直線垂直,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OP的傾斜角為,直線的傾斜角為.(I)證明:點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn);(II)證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解:本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程,直線和曲線的幾何性質(zhì),等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)??疾榫C合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解:(I)(方法一)由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P.(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn),若Q是橢圓與的交點(diǎn),代入的方程,得即故P與Q重合。(方法三)在第一象限內(nèi),由可得橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率切線方程為即。因此,就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì),P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。(II)的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。21.(·福建理19)(本小題滿分13分)已知A,B分別為曲線C:+=1(y0,a>0)與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn),直線過點(diǎn)B,且與軸垂直,S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn),連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.(1)若曲線C為半圓,點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn),試求出點(diǎn)S的坐標(biāo);(II)如圖,點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn),試問:是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。解法一:(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí),如圖,由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí),∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.23.(·遼寧理)(本小題滿分12分)已知,橢圓C過點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)。求橢圓C的方程;E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。(20)解:(Ⅰ)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為,解得,(舍去)所以橢圓方程為?!?分(Ⅱ)設(shè)直線AE方程為:,代入得設(shè),,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以………8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以—K代K,可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值,其值為?!?2分24.(·寧夏海南理)(本小題滿分12分)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在s軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),=λ,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為,由已知得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(Ⅱ)設(shè),其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得,其中。(i)時(shí)?;喌盟渣c(diǎn)的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段。(ii)時(shí),方程變形為,其中當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓;26.(·天津理)(本小題滿分14分)以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn),且。求橢圓的離心率;求直線AB的斜率;設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線上有一點(diǎn)在的外接圓上,求的值本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查運(yùn)算能力和推理能力,滿分14分解:由//且,得,從而整理,得,故離心率解:由(I)得,所以橢圓的方程可寫為設(shè)直線AB的方程為,即.由已知設(shè),則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理,得.依題意,而①②由題設(shè)知,點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn),所以③聯(lián)立①③解得,將代入②中,解得.(III)解法一:由(II)可知當(dāng)時(shí),得,由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心,因此外接圓的方程為.直線的方程為,于是點(diǎn)H(m,n)的坐標(biāo)滿足方程組,由解得故當(dāng)時(shí),同理可得.解法二:由(II)可知當(dāng)時(shí),得,由已知得由橢圓的對(duì)稱性可知B,,C三點(diǎn)共線,因?yàn)辄c(diǎn)H(m,n)在的外接圓上,且,所以四邊形為等腰梯形.由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)?,所以,解得m=c(舍),或.則,所以.當(dāng)時(shí)同理可得【年高考試題】3.(·海南、寧夏理)已知點(diǎn)P在拋物線上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B. C. D.解析:點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離,如圖,故最小值在三點(diǎn)共線時(shí)取得,此時(shí)的縱坐標(biāo)都是,所以選A。(點(diǎn)坐標(biāo)為)答案:A6.(·山東理)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)(B)(C)(D)解析:本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。對(duì)于橢圓,曲線為雙曲線,,標(biāo)準(zhǔn)方程為:答案:A6.(·山東理)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(A)10(B)20(C)30(D)40解析:本題考查直線與圓的位置關(guān)系。,過點(diǎn)的最長弦為最短弦為答案:B7.(·廣東)經(jīng)過圓的圓心,且與直線垂直的直線方程是.解析:易知點(diǎn)C為,而直線與垂直,我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為,故待求的直線的方程為。答案: 8.(·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,點(diǎn)在線段OA上(異于端點(diǎn)),設(shè)均為非零實(shí)數(shù),直線分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),一同學(xué)已正確算出的方程:,請(qǐng)你求OF的方程:。解析:本小題考查直線方程的求法。畫草圖,由對(duì)稱性可猜想。事實(shí)上,由截距式可得直線,直線,兩式相減得,顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程,又原點(diǎn)O也滿足此方程,故為所求的直線OF的方程。答案:9.(·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦距為2,以O(shè)為圓心,為半徑的圓,過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直,則離心率=▲。解析:本小題考查橢圓的基本量和直線與圓相切的位置關(guān)系。如圖,切線互相垂直,又,所以是等腰直角三角形,故,解得。答案: 10.(·海南、寧夏理)設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B,則△AFB的面積為.解析:雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo),右焦點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)一條漸近線方程為,建立方程組,得交點(diǎn)縱坐標(biāo),從而答案:AyxOBGFF17.(廣東)設(shè),橢圓方程為,拋物線方程為.如圖所示,過點(diǎn)作軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn).AyxOBGFF1(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;(2)設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn),使得為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).解析:(1)由得, 當(dāng)?shù)?,G點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,過點(diǎn)G的切線方程為即,令得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為,即,即橢圓和拋物線的方程分別為和;(2)過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè),同理以為直角的只有一個(gè);若以為直角,則點(diǎn)在以為直徑的圓上,而以為直徑的圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。所以以為直角的有兩個(gè);因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。8.(山東理)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.(Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)
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