高考數(shù)學(xué) 歷真題專題10 圓錐曲線 理

歷屆真題專題【年高考試題】一、選擇題:1.(年高考全國新課標(biāo)卷理科7)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為（A）（B）（C）2（D）3答案：B解析：由題意知，為雙曲線的通徑，所以，，又，故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，通過通經(jīng)與長軸的4倍的關(guān)系可以計(jì)算出離心率的關(guān)鍵的值，從而的離心率。4.(年高考浙江卷理科8)已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若恰好將線段三等分，則（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由恰好將線段AB三等分得，由又，故選C5.(年高考安徽卷理科2)雙曲線的實(shí)軸長是（A）2(B)(C)4(D)4【答案】A【命題意圖】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的性質(zhì).屬容易題.【解析】可變形為，則，，.故選C.6.(年高考湖南卷理科5)設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A.4B.3C.2D.18.(年高考陜西卷理科2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】：設(shè)拋物線方程為，則準(zhǔn)線方程為于是9.(年高考四川卷理科10)在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()（A）（B）（C）（D）10.(年高考全國卷理科10)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．則=(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】：，準(zhǔn)線方程為，由則，由拋物線的定義得由余弦定理得故選D11．(年高考福建卷理科7)設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于 A． B．或2 C．2 D．【答案】A二、填空題:1.(年高考遼寧卷理科13)已知點(diǎn)（2,3）在雙曲線C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距為4，則它的離心率為_____________.3.(年高考江西卷理科14)若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)（1，）作圓的切線，切點(diǎn)分別為A,B，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是【答案】【解析】因?yàn)橐粭l切線為x=1,且直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),即,設(shè)點(diǎn)P（1，）,連結(jié)OP,則OP⊥AB,因?yàn)?所以,又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)(1,0),所以直線AB的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)在直線AB上,所以,又因?yàn)?所以,故橢圓方程是.4.(年高考全國新課標(biāo)卷理科14)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為。過的直線交于兩點(diǎn)，且的周長為16，那么的方程為。答案:解析：由橢圓的的定義知，，又因?yàn)殡x心率，因此，所求橢圓方程為：；點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡單的幾何性質(zhì)。要注意把握.5.(年高考重慶卷理科15)設(shè)圓位于拋物線與直線所組成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓的半徑能取到的最大值為解析：。為使圓的半徑取到最大值，顯然圓心應(yīng)該在x軸上且與直線相切，設(shè)圓的半徑為，則圓的方程為，將其與聯(lián)立得：，令，并由，得：6.(年高考四川卷理科14)雙曲線P到左準(zhǔn)線的距離是.答案：16解析：由雙曲線第一定義，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），設(shè)P到左準(zhǔn)線的距離是d，由第二定義，得，解得.7.(年高考全國卷理科15)已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A∈C，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為∠F1AF2∠的平分線．則|AF2|=.【答案】6【解析】：，由角平分線的性質(zhì)得又8．(年高考北京卷理科14)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（-1，0）和F?2（1，0）的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則△FPF的面積大于a。其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是?！敬鸢浮竣冖?．(年高考上海卷理科3)設(shè)為常數(shù)，若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則。【答案】16三、解答題:1.(年高考山東卷理科22)（本小題滿分14分）已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）證明和均為定值;（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即 …………（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立。（II）解法一：（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知因此（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G.2.(年高考遼寧卷理科20)（本小題滿分12分） 如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D. （I）設(shè)，求與的比值； （II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由解得.因?yàn)?，又，所以，解?所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO//AN；當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO//AN.2.(年高考安徽卷理科21)（本小題滿分13分）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程?！久}意圖】：本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！窘馕觥浚河芍猀,M,P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)，，，則，即=1\*GB3①再設(shè),由，即，解得=2\*GB3②將=1\*GB3①代入=2\*GB3②式，消去得=3\*GB3③又點(diǎn)B在拋物線上，所以，再將=3\*GB3③式代入得，即，即，因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)約去得這就是所求的點(diǎn)的軌跡方程?！窘忸}指導(dǎo)】：向量與解析幾何相結(jié)合時(shí)，關(guān)鍵是找到表示向量的各點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用相關(guān)點(diǎn)代入法或根與系數(shù)關(guān)系解決問題，此外解析幾何中的代數(shù)式計(jì)算量都是很大的，計(jì)算時(shí)應(yīng)細(xì)致加耐心。3.(年高考全國新課標(biāo)卷理科20)（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y=-3上，M點(diǎn)滿足MB//OA，MA?AB=MB?BA，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值。點(diǎn)評(píng)：此題考查曲線方程的求法、直線方程、點(diǎn)到直線的距離、用不等式求最值以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等。要把握每一個(gè)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。4.(年高考天津卷理科18)（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,可得橢圓方程為.直線方程為,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理,得,解得,得方程組的解,,不妨設(shè),,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,.由得,于是,由，即,化簡得,將代入,得,所以,因此,點(diǎn)的軌跡方程是.5.(年高考浙江卷理科21)（本題滿分15分）已知拋物線:，圓:的圓心為點(diǎn)M（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程【解析】（Ⅰ）由得準(zhǔn)線方程為，由得M，點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，由題意得設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為即①則即設(shè)，的斜率為（）則是上述方程的兩個(gè)不相等的根，將代入①得由于是方程的根故，所以，，由得解得點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為.6.(年高考江西卷理科20)（本小題滿分13分）是雙曲線E：上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值．所以,又A、B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，又，所以，所以或.7.(年高考湖南卷理科21)（本小題滿分13分）如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.求，的方程；設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，直線，分別與相交于點(diǎn)，.(ⅰ)證明：;(ⅱ)記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請(qǐng)說明理由.解：由題意知，從而，又，解得，故，的方程分別為，（?。┯深}意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為由得設(shè)，，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是又點(diǎn)，所以故即因此由題意知，，解得或又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，所以故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和評(píng)析：本大題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等.8.(年高考廣東卷理科19)設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.（1）求C的圓心軌跡L的方程.（2）已知點(diǎn)且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】（1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知 化簡得L的方程為（2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得 解得 因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故 ，若P不在直線MF上，在中有 故只在T1點(diǎn)取得最大值2。9.(年高考湖北卷理科20)（本小題滿分13分）平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1、A2兩點(diǎn)所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.(Ⅰ)求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關(guān)系；(Ⅱ)當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為C1：對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為C2，設(shè)F1、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn)，試問：在C1上，是否存在點(diǎn)N，使得△F1NF2的面積，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，C1的方程為；當(dāng)時(shí)，C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，.對(duì)于給定的，C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是由①得，由②得，當(dāng)，即，或時(shí)，存在點(diǎn)N，使：當(dāng)，即，或時(shí)，不存大滿足條件的點(diǎn)N.當(dāng)時(shí)，由，，可得令，,則由，可得，從而，于是由，可得，即，綜上可得：當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得，且;當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得，且;當(dāng)時(shí)，在C1上，不存在滿足條件的點(diǎn)N.10.(年高考陜西卷理科17)（本小題滿分12分）如圖，設(shè)是圓珠筆上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是在軸上的投影，M為D上一點(diǎn)，且（Ⅰ）當(dāng)?shù)脑趫A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度。【解析】：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為由已知得在圓上，即C的方程為（Ⅱ）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為，將直線方程代入C的方程，得，即。線段AB的長度為注：求AB長度時(shí)，利用韋達(dá)定理或弦長公式求得正確結(jié)果，同樣給分。11.(年高考重慶卷理科20)（本小題滿分12分，第一問4分，第二問8分）如圖（20），橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為。（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,其中M,N是橢圓上的點(diǎn)。直線OM與ON的斜率之積為。問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值。若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解析：（Ⅰ）由，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，,則由得，即，因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓上，所以故，設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，，因此，所以，所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左右焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義，為定值，又因，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為12．(年高考四川卷理科21)(本小題共l2分)橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．(I)當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；(II)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.解析：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率.則，的方程為.13.(年高考全國卷理科21)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足(Ⅰ)證明：點(diǎn)P在C上；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.【解析】：(Ⅰ)證明：由，，由設(shè)，，，，故點(diǎn)P在C上（Ⅱ）法一：點(diǎn)P，P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，，，即，同理即，A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.法二：由已知有則的中垂線為：設(shè)、的中點(diǎn)為∴∴則的中垂線為：則的中垂線與的中垂線的交點(diǎn)為∴到直線的距離為∴即∴、、、四點(diǎn)在同一圓上。NMPAxyBCNMPNMPAxyBCNMPAxyBCNMPAxyBCNMPAxyBC（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；（3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB【解析】（1）因?yàn)椤?所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,),又因?yàn)橹本€PA平分線段MN，所以k的值為(2)因?yàn)閗=2,所以直線AP的方程為,由得交點(diǎn)P()、A(),因?yàn)镻C⊥x軸，所以C（)，所以直線AC的斜率為1，直線AB的方程為，所以點(diǎn)P到直線AB的距離d==.15．(年高考北京卷理科19)（本小題共14分） 已知橢圓.過點(diǎn)（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點(diǎn). （I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.解：（Ⅰ）由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為（Ⅱ）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.16．(年高考福建卷理科17)（本小題滿分13分）已知直線l：y=x+m，m∈R。（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。解析：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）因?yàn)椋?，解得m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因?yàn)橹本€的方程為（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。解：⑴設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，。⑵設(shè)線段的端點(diǎn)分別為，以直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)集由如下曲線圍成，其面積為。⑶①選擇，②選擇。③選擇?！灸旮呖荚囶}】（浙江理數(shù)）（8）設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（A）（B）（C）（D）解析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案選C，本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考察，屬中檔題（全國卷2理數(shù)）（12）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義.【解析】設(shè)直線l為橢圓的有準(zhǔn)線，e為離心率，過A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，，由，得，∴即k=，故選B.（遼寧理數(shù)）(9)設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(A)(B)(C)(D)【答案】D【命題立意】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、虛軸、漸近線、離心率，考查了兩條直線垂直的條件，考查了方程思想。【解析】設(shè)雙曲線方程為，則F（c,0）,B(0,b)直線FB：bx+cy-bc=0與漸近線y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）（遼寧理數(shù)）(7)設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=(A)(B)8(C)(D)16【答案】B【命題立意】本題考查了拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想?！窘馕觥繏佄锞€的焦點(diǎn)F（2，0），直線AF的方程為，所以點(diǎn)、，從而|PF|=6+2=8（重慶理數(shù)）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線解析：排除法軌跡是軸對(duì)稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點(diǎn)，排除B（四川理數(shù)）（9）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|＝|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴又e∈(0,1)故e∈答案：D（天津理數(shù)）(5)已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題。依題意知，所以雙曲線的方程為【溫馨提示】選擇、填空中的圓錐曲線問題通?？疾閳A錐曲線的定義與基本性質(zhì)，這部分內(nèi)容也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在每年的天津卷中三種軟件曲線都會(huì)在題目中出現(xiàn)。（全國卷1理數(shù)）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為(A)(B)(C)(D)（山東理數(shù)）(7)由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（A） (B) (C) (D)【答案】A【解析】由題意得:所求封閉圖形的面積為,故選A?！久}意圖】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識(shí)，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積。（安徽理數(shù)）5、雙曲線方程為，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為A、 B、 C、 D、5.C【解析】雙曲線的，，，所以右焦點(diǎn)為.【誤區(qū)警示】本題考查雙曲線的交點(diǎn)，把雙曲線方程先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用求出c即可得出交點(diǎn)坐標(biāo).但因方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，很多學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為或，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論.（湖北理數(shù)）9.若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是A.B.C.D.9．【答案】C【解析】曲線方程可化簡為，即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線與此半圓相切時(shí)須滿足圓心（2，3）到直線y=x+b距離等于2，解得，因?yàn)槭窍掳雸A故可得（舍），當(dāng)直線過（0，3）時(shí)，解得b=3,故所以C正確.（福建理數(shù)）A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】經(jīng)分析容易得出②④正確，故選C?！久}意圖】本題屬新題型，考查函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。（福建理數(shù)）7．若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槭且阎p曲線的左焦點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P，則有，解得，因?yàn)?，，所?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故的取值范圍是，選B?！久}意圖】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。（福建理數(shù)）2．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D?！久}意圖】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。（浙江理數(shù)）（13）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上，則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_____________。解析：利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出p的值為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為，本題主要考察拋物線的定義及幾何性質(zhì)，屬容易題（全國卷2理數(shù)）（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則．【答案】2【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì).【解析】過B作BE垂直于準(zhǔn)線于E，∵，∴M為中點(diǎn)，∴，又斜率為，，∴，∴，∴M為拋物線的焦點(diǎn)，∴2.（江西理數(shù)）15.點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于，則=【答案】2【解析】考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化，讀取a=2.c=6,,（重慶理數(shù)）(14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知中，AC=2m,AB=4m,直線AB方程為與拋物線方程聯(lián)立消y得所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為（北京理數(shù)）（13）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；漸近線方程為。答案：（，0）（全國卷1理數(shù)）3.（江蘇卷）6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是___▲_______[解析]考查雙曲線的定義。，為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離，=2，MF=4。（浙江理數(shù)）(21)（本題滿分15分）已知m＞1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（Ⅰ）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。（Ⅱ）解：設(shè)。由，消去得則由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，則，由題意可知即即而所以即又因?yàn)榍宜浴Ｋ缘娜≈捣秶?。（全國?理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為．（Ⅰ）求C的離心率；（Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定.（遼寧理數(shù)）(20)（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.求橢圓C的離心率；如果|AB|=，求橢圓C的方程.解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即得離心率.……6分（Ⅱ）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為.……12分（江西理數(shù)）21.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓，拋物線。若經(jīng)過的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程?！窘馕觥靠疾闄E圓和拋物線的定義、基本量，通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程。（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè),由的垂心為B，有。由點(diǎn)在拋物線上，，解得：故，得重心坐標(biāo).由重心在拋物線上得：，，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。（重慶理數(shù)）（20）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分）已知以原點(diǎn)O為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率。求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；如題（20）圖，已知過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)（其中）的直線的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn)，求的面積。（北京理數(shù)）（19）（本小題共14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得化簡得.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,.則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積又直線的方程為，，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積當(dāng)時(shí)，得又，所以=，解得。因?yàn)?，所以故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以所以即，解得因?yàn)?，所以故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（四川理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡得x2－=1(y≠0)………………4分(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由題意知3－k2≠0且△＞0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(＋4)＝因?yàn)閤1、x2≠－1所以直線AB的方程為y＝(x＋1)因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),同理可得因此＝＝0②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)AB的方程為y＝x＋1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，同理可得因此＝0綜上＝0，即FM⊥FN故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F………………12分（天津理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。求橢圓的方程；設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知，解方程組得a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上（廣東理數(shù)）21．（本小題滿分14分）設(shè)A(),B()是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，先定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離p(A,B)為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.（2）當(dāng)點(diǎn)C(x,y)同時(shí)滿足①P+P=P，②P=P時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).，即存在點(diǎn)滿足條件。（廣東理數(shù)）20．（本小題滿分為14分）一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式；（2）若過點(diǎn)H(0,h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且,求h的值。故，即。（2）設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，即。同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，消去得，即，從而，即。（全國卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.（山東理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！久}意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。其中問題（3）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，（湖南理數(shù)）19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形，以過A,B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過km區(qū)域。（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（Ⅱ）如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間?；趨^(qū)域P3(8,6)已冰B（4，0）A（-4,0）x（，-1）P1（湖北理數(shù)）19(本小題滿分12分)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程；（Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。（安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由。（江蘇卷）18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。[解析]本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。（福建理數(shù)）17．（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由?！久}意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。

【解析】（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為【年高考試題】7．(·山東理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()．A．B．5C．D．解析：:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故選D．答案:D．【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解．本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能．11．（·安徽理）下列曲線中離心率為的是（A）（B）（C）（D）[解析]由得，選B15．（·寧夏海南理）雙曲線-=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（A）（B）2（C）（D）1解析：雙曲線-=1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為,選A16．（·天津理）設(shè)拋物線=2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比=（A）（B）（C）（D）【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線的性質(zhì)、三點(diǎn)共線的坐標(biāo)關(guān)系，和綜合運(yùn)算數(shù)學(xué)的能力，中檔題。解析：由題知，又由A、B、M三點(diǎn)共線有即，故，∴，故選擇A。19．（··浙江理）過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．答案：C解析：對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，則有，因．12．（·寧夏海南理）設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線的方程為_____________．解析：拋物線的方程為，答案：y=x13．（·天津理）若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則___________?！究键c(diǎn)定位】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題。解析：由知的半徑為，由圖可知解之得14．（·江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．解析：考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：，則在橢圓上，，解得：15．（·廣東理）巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為．解析：，，，，則所求橢圓方程為．18．（·遼寧理）以知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為。解析：注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5兩式相加得|PF|＋|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．答案：912．（·浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，（II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．14．（·江蘇）（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。解析：[必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。15．(·山東理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且．因?yàn)?所以,,①當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”．當(dāng)時(shí),．當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB|的取值范圍為即:【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系．17．（·廣東理）（本小題滿分14分）已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，∴中點(diǎn)的軌跡方程為（）．xAxBDxAxBD（2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為．18．（·安徽理）（本小題滿分13分）點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為．（I）證明:點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列．解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榫C合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（方法一）由得代入橢圓,得．將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P．(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得即故P與Q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。21．（·福建理19）（本小題滿分13分）已知A,B分別為曲線C：+=1（y0,a>0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T．(1)若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；（II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。解法一：(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°．(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí),∠SAE=30°．又AB=2,故在△SAE中,有(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線．由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故．顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為．由設(shè)點(diǎn)故,從而．亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線．故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線．解法二:(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線．由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故．顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即．故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線．23．（·遼寧理）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（－1，0），（1，0）。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。（20）解：（Ⅰ）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為?！?分（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，代入得設(shè),,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以………8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以—K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為?！?2分24．（·寧夏海南理）（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時(shí)?；喌盟渣c(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓；26．（·天津理）（本小題滿分14分）以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。求橢圓的離心率；求直線AB的斜率；設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分解：由//且，得，從而整理，得，故離心率解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為設(shè)直線AB的方程為，即．由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得．依題意，而①②由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以③聯(lián)立①③解得，將代入②中，解得．(III)解法一：由（II）可知當(dāng)時(shí)，得，由已知得．線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為．直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組，由解得故當(dāng)時(shí)，同理可得．解法二：由（II）可知當(dāng)時(shí)，得,由已知得由橢圓的對(duì)稱性可知B，，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形．由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以，解得m=c（舍），或．則，所以．當(dāng)時(shí)同理可得【年高考試題】3．（·海南、寧夏理）已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．解析：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖,故最小值在三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)的縱坐標(biāo)都是，所以選A。（點(diǎn)坐標(biāo)為）答案：A6．（·山東理）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26．若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）(B)(C)(D)解析：本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。對(duì)于橢圓，曲線為雙曲線，，標(biāo)準(zhǔn)方程為：答案：A6．（·山東理）已知圓的方程為x2+y2-6x-8y＝0．設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（A）10（B）20（C）30（D）40解析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系。，過點(diǎn)的最長弦為最短弦為答案：B7．（·廣東）經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是．解析：易知點(diǎn)C為，而直線與垂直，我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。答案： 8．（·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請(qǐng)你求OF的方程：。解析：本小題考查直線方程的求法。畫草圖，由對(duì)稱性可猜想。事實(shí)上，由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程。答案：9．（·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=▲。解析：本小題考查橢圓的基本量和直線與圓相切的位置關(guān)系。如圖，切線互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。答案： 10．（·海南、寧夏理）設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為．解析：雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一條漸近線方程為，建立方程組，得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而答案：AyxOBGFF17．（廣東）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．AyxOBGFF1（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．解析：（1）由得， 當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)；若以為直角，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，而以為直徑的圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。所以以為直角的有兩個(gè)；因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。8．（山東理）如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)