矩陣論與數(shù)值分析(研究生)全冊配套課件

矩陣論與數(shù)值分析(研究生)全冊配套課件

課程信息矩陣論48學時第2-x周

《矩陣論》楊明主編華中科技大學出版社(第2版,第6次印刷),2011課程教材開課班級課程名稱2012-2013學年第一學期2班：機械，船海9班：光電，管理（C12，N104）數(shù)學的地位與作用數(shù)學的地位；網(wǎng)絡時代；三種基本‘語言’；數(shù)學與素質教育（李大潛院士）數(shù)學是一種語言、一個工具、一個基礎、一門科學、一門技術、一種文化，……

；

高新技術本質上是一種數(shù)學技術

數(shù)學教育本質上是一種素質教育（李大潛院士）

樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”；

提高邏輯思維能力；培養(yǎng)認證細致、一絲不茍的作風和習慣；形成精益求精的風格；提高運用數(shù)學知識解決復雜的實際問題的意識、信念和能力；增強拼搏精神和應變能力；調動探索精神和創(chuàng)造力；培養(yǎng)數(shù)學上的直覺和想象力數(shù)學的地位與作用數(shù)學教育本質上是一種素質教育數(shù)學是一種語言、一個工具、一個基礎、一門科學、一門技術、一種文化，……；高新技術本質上是一種數(shù)學技術李大潛：將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程，中國大學數(shù)學，2006數(shù)學是科學的語言矩陣是數(shù)學的語言課程學習的兩個主要目的：學習數(shù)學的語言；學習數(shù)學的思維（科學素質）緒論要點

12

3

4矩陣理論及其應用介紹課程教學安排教學參考材料教學指導意見矩陣理論的研究內容線性空間與線性變換(Ch1)矩陣理論的應用對象矩陣理論的發(fā)展基礎矩陣在各種意義下的化簡與分解Jordan標準形(Ch2)

加法分解；乘法分解(Ch3)各類矩陣的性質研究正規(guī)矩陣;Hermite矩陣;冪等矩陣…矩陣的分析理論(Ch5)矩陣函數(shù)的定義和計算矩陣函數(shù)的微積分矩陣被認為是最有用的數(shù)學工具，既適用于現(xiàn)代應用問題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學的抽象結構。廣義逆(Ch4)K,H積(Ch6)技術基礎應用基礎理論基礎矩陣理論的綜合視角矩陣代數(shù)矩陣理論矩陣分析矩陣分塊矩陣變換矩陣分解表示功能計算功能分析功能

矩陣理論的現(xiàn)代應用舉例信息檢索矩陣理論數(shù)據(jù)壓縮人像識別圖像處理

矩陣論應用選介20世紀最好的十大算法之中有五個與矩陣有關！線性規(guī)劃的單純形法（Dantzig1947）Krylov子空間迭代方法（方程組求解）（1950）矩陣分解算法（LU分解）（1951）矩陣特征值計算（QR分解）（1959-61）快速Fourier變換FFT(1965)

稀疏快速Fourier變換sFFT（2012）一個數(shù)學方法的更新將帶來一個更快的數(shù)字世界。

The$25,000,000,000Eigenvector:TheLinearAlgebrabehindGoogle

矩陣論應用選介數(shù)學文化，第二卷第一期，2011。

Scientificcomputinglibrariesbegangrowingaroundmatrixcalculus.Themaximumprincipleisrelatedtononnegativematrices.Controltheoryandstabilizationofsystemwithfinitelymanydegreesoffreedominvolvespectralanalysisofmatrices.Statisticsiswidelybasedoncorrelationmatrices.Thegeneralizedinverseisinvolvedinleast-squaresapproximation.

矩陣論應用選介Symmetricmatricesareinertiadeformation,viscoustensorsincontinuummechanics.Graphscanbedescribedinausefulwaybysquarematrices.Markovprocessesinvolvestochasticorbistochasticmatrices.Quantumchemistryisintimatelytomatrixgroupandtheirrepresentation.Quantummechanicswascalled“mechanicsofmatrices”

矩陣論應用選介講授章節(jié)學時配置課程考試第1章至第6章章1：10學時；章2：8學時；章3：8學時；章4：6學時；章5：8學時；章6：6學時；教材和授課內容教學安排教學參考書余鄂西，矩陣論，高等教育出版社，1995。方保熔等，矩陣論，清華大學出版社，2004。Fuzhen

Zhang，MatrixTheory，Springer，1999DenisSerre，MatricesTheoryandApplications，Springer，2002。R.A.Hom

etal,MatrixAnalysis,CambridgeUniversityPress,(卷1：人民郵電出版社，2005）CompanyLogo學習推薦軟件

MATLAB(matrixlaboratory)MAPLESoftware學習指導意見應用能力

課程基礎理論與概念練習與計算ThankYou!

矩陣論

MatrixTheory第1章：線性空間與線性變換§1.1線性空間～向量空間Rn

要點：空間的代數(shù)與幾何結構，與向量空間Rn

的關系§1.2內積空間～向量空間Rn

要點：線性空間中向量的度量，Rn中的內積的推廣§1.3線性變換～矩陣空間Rm

n

要點：線性空間之間的映射（線性映射），與矩陣空間Rm

n的關系

適當復習線性代數(shù)的相關知識?。。〉?章：線性空間與線性變換內容概述：線性空間的一般概念

重點：空間的代數(shù)與幾何結構，度量，與向量空間Rn

的關系線性變換

重點：矩陣處理方法，與矩陣的關系特點：研究代數(shù)結構——具有線性運算的集合研究幾何結構——空間的維數(shù)和基看重的不是研究對象本身，而是對象之間的結構關系研究的關注點：對象之間數(shù)量關系的矩陣處理學習特點：具有抽象性和一般性1.1線性空間一、線性空間的概念n維向量空間Rn(R2，R3):結構,表示,運算,度量等Rn到線性空間的推廣思想：抽象出線性運算的本質，在任意研究對象的集合上定義具有線性運算的代數(shù)結構。線性空間的定義（定義1.1（P

1））三要素：

V(F),加法與數(shù)乘,運算性質集合V與數(shù)域F向量的加法和數(shù)乘向量運算運算性質的公理定義（8條）和特殊元素數(shù)域：四則運算封閉的數(shù)集，本身就是線性空間（自身上的）！如有理數(shù)域Q，實數(shù)域R，復數(shù)域C等。常見的線性空間Fn={X=(x1，x2，…，xn)T：xi

F}

運算：向量加法和數(shù)乘向量Rn；CnFm

n

={A=[aij]m

n：a

ij

F}；

運算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣Rm

n；Cm

nPn[x]={：ai

R}（n-1階多項式空間）

運算：多項式的加法和數(shù)乘

C[a，b]={f(x)：f(x)為[a，b]上連續(xù)(實)函數(shù)}

運算：函數(shù)的加法和數(shù)乘(還有C1[a，b]等

)

不一樣的線性空間：V=R+，F(xiàn)=R，a

b=ab，a=a

F=R或C線性空間？例子：次數(shù)為n-1的實多項式集合：{：ai

R，且

an-1不為零

}；平面上不過原點的直線上的點的集合，如V={(x1,x2)：x1,x2

R，且x1+x2

=1

}；空間中不過原點的直線或平面上的點的集合。不是線性空間的例子與判別例子：次數(shù)為n-1的實多項式集合：{：ai

R，且

an-1不為零

}；平面上不過原點的直線上的點的集合，如V={(x1,x2)：x1,x2

R，且x1+x2

=1

}；空間中不過原點的直線或平面上的點的集合。判別：如向量加法或數(shù)乘不封閉；不含特殊元素；……

線性空間的抽象線性空間的一般形式：V(F)，V中元素被統(tǒng)稱為向量：，，，線性空間的簡單性質（共性）：

定理1.1V(F)具有性質：（1）V(F)中的零元素是惟一的。（2）V(F)中任何元素的負元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質：

0=0，k0=0，k=0=0或k=0（4）=（1）數(shù)0向量0二、線性空間的基和維數(shù)向量的線性相關與線性無關：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關性質與定理和Rn中的結果一樣。例題1證明C[0，1]空間中的向量組{ex，e2x，e3x

…，enx}，x[0，1]

線性無關?；c維數(shù)的概念(P3)

定義1.2設V(F)為線性空間，若存在一組線性無關的向量

1，2，…，n，使得V中任一向量均可由其線性表示，即任給

，存在F中數(shù)組{x1，x2，…，xn}，使得

=x1

1+x2

2+x3

3+…+xn

n，則稱向量組{

1，2，…，n}為V的一組基，基中所含向量的個數(shù)稱為V的維數(shù)，記為

dimV=n,n<+

，或n=+

.二、線性空間的基和維數(shù)

有用的記號：

=

常見線性空間的基與維數(shù)：

□

Fn={X=(x1，x2，…，xn)T：xi

F}，dim

Fn=n，(x1，x2，…，xn)T=,ei=(0,0,…,i,0,…,0)T,{e1，e2，…,en

}線性無關，構成一組基，稱為自然基□

Rm

n

={A=[aij]:aij

R},自然基{Eij},dimRm

n

=m

n，A=[aij]=∑aijEij，矩陣Eij的第i行j列元素為1，其余元素為0。

□

如R22二、線性空間的基和維數(shù)常見線性空間的基與維數(shù)：Pn

[x]，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn

[x]

=nP

[x]

:（實或復）多項式全體，自然基{1,x,x2,…,xn-1…}，dimP

[x]

=+

C[a，b],{1,x,x2,…,xn-1…}

C[a,b],dimC[a，b]=+

復數(shù)集C:作為C上的線性空間；

作為R上的線性空間

基與維數(shù)：1，dimC=1；{1,i},

dimC=2約定：Vn(F)表示數(shù)域F上的n維線性空間。本課程只研究有限維線性空間。二、線性空間的基和維數(shù)定理1.2

Vn(F)中任n個線性無關的向量均構成它的基。三、坐標(向量在給定基下的線性表示)1定義1.3

(P3)

設{

1，2，…，n

}是線性空間

的一組基，

，有

=，則稱x1，x2，…，xn

是

在基{i}下的坐標，稱X=(x1,x2,…,xn)T為

在基{i}下的坐標向量，簡稱坐標。例1：求

R2

2中向量在基{Eij

}下的坐標。

要點：

坐標與基有關，向量在給定基下的坐標惟一；坐標的表達形式：Fn中向量例2

設空間P4[x]的兩組基為：{1，x，x2，x3}和{1，(x

–1)1，(x–1)2，(x–1)3}求f(x)=2+3x+4x2+x3在這兩組基下的坐標。歸納：線性空間Vn(F)在任意一組基下的坐標屬于Fn

。每一個常用的線性空間都有一組“自然基”，在這組基下，向量的坐標容易求得。求坐標方法的各異性。推廣((x

–1)變

(x

–x0))?2線性空間Vn(F)與Fn的同構

坐標關系Vn(F)Fn

基{

1，

2，…,

n}由此建立一個一一對應關系

Vn(F)，

X

Fn，()=X(1+2)=(1)+(2)(k)=k()在關系

下，線性空間Vn(F)和Fn

同構。同構的性質定理1.3Vn(F)中向量{

1，

2，…n

}線性相關它們的坐標{X1,

X2,…,Xn

}在Fn中線性相關。同構保持線性關系不變。應用：

借助于空間Fn中已經(jīng)有的結論和方法研究一般線性空間的線性關系。例題

設R22中向量組{Ai

}1

討論{Ai}的線性相關性；2求向量組的秩和極大線性無關組；3把其余的向量表示成極大線性無關組的線性組合。例10(P5)討論P4[x]中向量

f1=1+2x+4x3

,f2=x+x2+4x3

,f3=1+x-3x2

,f4=-2x+x3

的線性相關性。(線性無關，構成一組基！)解：取自然基，轉化為坐標（系數(shù)）空間R4中的問題。四、基變換和坐標變換討論：不同的基之間的關系同一個向量在不同基下坐標之間的關系基變換公式設空間中有兩組基：過渡矩陣C的性質：C的第i列是

i

在基{

k

}下的坐標C為非奇異矩陣則過渡矩陣2坐標變換公式已知空間中兩組基：滿足:;討論X和Y的關系定理1.4

X=CY或Y=C-1X2坐標變換公式如何求過度矩陣？從定義出發(fā)（坐標表示）；對Fn,可通過矩陣求逆：由有定理1.4的應用:

知C和Y，求X=CY；或知C和X，求Y=C-1X?；蚶}已知空間R22中兩組基（I）{Eij}（II）{}求從基（I）到基（II）的過渡矩陣C。求向量在基（II）的坐標Y。例題11（P6）解：可看作空間R4中的問題，則解法與例11類似。例題12(P7):

求P4[x]中向量在例10基中的坐標。§1.1五、子空間

Subspace

概述：線性空間Vn(F)中，向量集合V的子集合可以有集合的運算和關系：W1，W2

V:W1

W2，W1

W2，問題：這些關系或運算的結果是否仍然為線性空間？空間的分解（子空間表示）？x2x1oR2W2W1W4W3R2=W3+W4x2x1oW4W3·(x1,x2)(0,x2)(x1,0)1、子空間的概念

定義1.5：設集合W

Vn(F)，W

，如果W中的元素關于Vn(F)中的線性運算也構成線性空間，則稱W是Vn(F)的一個子空間。任何線性空間Vn(F)，均有兩個平凡子空間：

Vn(F)和｛0｝(零元素空間,規(guī)定維數(shù)為0)判別方法：定理1.5W是子空間

W對Vn(F)的線性運算封閉。子空間本身就是線性空間。子空間的判別方法可以作為判別某些線性空間的方法。A

Rn中集合：如前例（圖示）中的集合及一般化A

Fn×n中集合W1={A

Fn×n

AT=A}，W2={A

Fn×n

AT=–A}，W3={A

Fn×n

|A|=1}。例14

Rn

，Rm×n的集合是否為子空間？幾個重要的子空間（例15，16）：設向量組{

1，

2，···，

m}

Vn(F)，由它們的所有線性組合生成的子空間：L{

1，

2，···，

m

}

=

{}

矩陣A

Fm×n，兩個子空間：A的零空間：N(A)={X

Fn

：AX=0}

Fn，A的列空間(值空間)：

R(A)=L{A1，A2，···，An}

Fm，

Ai為A的第i列。R(A)=｛y：

x

Fn,y=Ax｝2、子空間的運算：“交空間”與“和空間”

討論：設W1

Vn(F)，W2

Vn(F)，且都是子空間，則W1

W2和W1

W2是否仍然是子空間？（1）交空間交集：W1

W2=｛

W1

而且

W2｝

Vn(F)定理1.6(1)W1

W2是子空間，被稱為“交空間”（2）和空間集合的和集：W1＋W2=｛

=X1＋X2

X1

W1，X2

W2｝，W1

W2

W1＋W2

定理1.6

(2)W1＋W2是子空間，被稱為“和空間”。W1

W2一般不是子空間，W1

W2

W1＋W2

例17設R3中的子空間W1=L{e1}，W2=L{e2}求和空間W1＋W2。

比較：集合W1

W2和集合W1＋W2。如果W1=L{

1，

2，…，

m}，W2=L{

1，

2，…，

k}，

則W1＋W2=L{

1，

2，…，

m，

1，

2，…，

k}

3、維數(shù)公式

子空間的包含關系：

dimW1W2

dimWi

dimW1＋W2

dimVn(F)。

定理1.7（維數(shù)定理）dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2)證明思路：基擴充方法（從W1W2的基出發(fā)）4、子空間的直和（空間分解）

分析由維數(shù)公式知，如果dim（W1

W2）

0，則

dim（W1＋W2）

dimW1＋dimW2

所以,

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1

W2）=0

W1

W2={0}直和的定義：

定義1.6設W=W1＋W2,若dim（W1

W2）=0，則稱此和為直和，稱W為W1和W2的直和子空間，記為

W=W1

W2。子空間的“和”為“直和”的充要條件定理1.8

設W=W1＋W2，則下列各條等價：（1）

W=W1

W2（2）

X

W，X=X1＋X2的表示是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2證明：循環(huán)證法

(1)→(2)→(3)→(4)→(1)例1

P12例18例2

設在Rn×n中，子空間W1={A

AT=A}，W2={B

BT=–B}，證明Rn×n=W1

W2。例3子空間W的“直和補子空間”U:

Vn

=WU1.2

內積空間

主題：定義內積的概念，借助于內積建立線性空間的度量關系。

一、歐氏空間和酉空間1幾何空間中度量的定義基礎2內積的定義定義1.7(P13)：要點

內積(

，

)是二元運算：Vn(F)×Vn(F)F

(

，

)的公理性質（對稱性，線性性，正定性）

(

，

)是任何滿足定義的運算（映射）。

討論(

，

1＋

2),(

，k

),(

，k1

1＋k2

2),(0,

)

(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,)3.(,)0;

(,)=0iff=0

3內積空間的定義賦予內積的線性空間稱為內積空間，記為

[Vn(F)；(

，)]；F=R，歐氏空間，F(xiàn)=C，酉空間4常見的內積空間：[Rn；(

，

)=

T

],(

T

=

T

)[Cn；(

，

)=

H

],

H=

的共軛轉置，[Cm×n;(A，B)=tr(BHA)][Pn[x]；(f，g)=]5向量的長度

定義：

||

||=;單位向量：||

||=1.

，的“距離”：||

-

||

6

歐氏空間中向量的夾角

定義：

0，

0，夾角

定義為：cos

=

性質：

||

k

||

=

k

||

||；

定理1.9（Cauchy不等式）

，

[Vn(F)；(

，

)],

|

(

，

)

|

||

||

||

||。||

＋

||

||

||＋||

||;||

-

||

||

||＋||

||

和

正交

（

，

）=0

6線性空間的內積及其計算與矩陣表示：設{

1，

2，…,

n}是內積空間Vn(F)的基，

，

Vn(F)，則有

=x1

1＋x2

2＋…＋xn

n=

(

1

2

…

n)X；

=y1

1＋y2

2＋…＋yn

n=(

1

2

…

n)Y(

，

)

==YHAX，

定義內積

在一個基{

1，

2，…，

n}下定義內積

確定一個度量矩陣A。

度量矩陣aij=(

i,

j)度量矩陣A的性質：Hermite性與正定性二、標準正交基

1正交的向量組：

定義：｛

1，

2，…，

n｝為正交向量組

(

i，

j)=0，

i≠j性質(定理1.10)正交向量組線性無關。2標準正交基基｛

1，

2，…，

n｝是標準正交基

(

i，

j)=

標準正交基的優(yōu)點？想想Rn！標準正交基的優(yōu)點：

度量矩陣是單位矩陣，即A=I

=(

1

2…

n)X，

=(

1

2…

n)Y，(

，

)=YHX

=x1

1＋x2

2＋…＋xn

n，xi=(

，

i)

和

正交

其坐標X和Y正交任何向量的內積將對應其坐標空間中的內積

坐標空間Fn的內積求標準正交基的步驟：Schmidt正交化（定理1.11）標準化矩陣方法討論“正交補”子空間(i)

集合的U的正交集：U

=｛

Vn(F)：

U，(

，

)=0｝(ii)

若U是Vn(F)的子空間，則U

也是Vn(F)子空間，稱為U的正交補子空間。(iii)

Vn(F)=U

U

。[Rn；(

，

)=

T

]，[Cn；(

，

)=

H

]的標準正交基均為自然基{ei}；[Rm×n;(A，B)=tr(BTA)]，[Cm×n;(A，B)=tr(BHA)]的標準正交基均為自然基{Eij}?！?.3線性變換（函數(shù)，映射）

一、線性變換的概念定義1.11(P.19)要點：(i)T是Vn(F)上的變換：T：Vn(F)

Vn(F),

T(

)(象)(ii)T具有線性性：T(

＋)=T()＋T()T(k

)=kT()

合二為一：T(k1

＋k2)=k1T()＋k2T()從一般性的角度給出的定義例24

Vn(F)上的相似變換T

：

是F中給定的數(shù)，

Vn(F)，T

()=

。特例：

=1，T1是恒等變換:T1()=

，

=0，T0是零變換:T0()=0

。

可以在任何線性空間中

定義相似變換!例25

Pn[x]中的微分變換(積分變換？線性但不是Pn[x]上的)例26

Fn上的變換TA：設A

Fn×n是一個給定的矩陣，

X

Fn，TA(X)=AX。線性變換的例子2線性變換的性質：(1)T(0)=0(2)T(－

)=－T(

)(3)(4)若{

1,

2,…,

m}

線性相關，則

{T(

1),T(

2),…,

T(

m)}也線性相關。

3線性變換的象空間和零空間(~矩陣的列/零空間)定理1.12

設T為Vn(F)上的線性變換，則下述集合均為Vn的子空間（分別稱為T的象空間和零空間）：

象空間

R(T)=｛

：

Vn(F)，

=T(

)｝

零空間

N(T)=｛

：

Vn(F)，T()

=0｝定義：T的秩=dimR(T)；T的零度=dimN(T)線性變換保持線性相關性不變！T(k1

＋k2)=k1T()＋k2T()例27

求Fn中的線性變換TA:Y=AX的象空間和零空間。R(TA)=R(A)；N(TA)=N(A)4線性變換的“運算”

(~函數(shù)的運算)設T，T1，T2都是Vn(F)上的線性變換，它們的下述運算均構成Vn(F)上的線性變換：(i)加法

T1＋T2：

Vn(F)，(T1＋T2)()=T1()＋T2()(ii)乘法T1T2：

Vn(F)，(T1T2)()=T1(T2())(iii)數(shù)乘kT：

Vn(F)，(kT)()=k(T(

))(iv)可逆變換T：

T1使得，TT1=T1T=I，記T1=T－1

；T－1(

)=

T(

)=

。(v)乘方變換：Tm=TTTT…T(m個T相乘)注意：變換乘法一般不具有交換律，如同矩陣乘法；Vn(F)上的線性變換的全體構成F上的線性空間！二、線性變換的矩陣

1線性變換的矩陣與變換的坐標式Vn(F)上線性變換的特點分析：定義變換T

確定基中向量的象T(

i)定義T(

i)

確定它在基下{

i}的坐標Ai

定義變換T

確定矩陣A=[A1，A2，…，An](i)

A為變換矩陣:T(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A(ii)變換的坐標式：設

=(

1,

2,…,

n)X，T(

)=(

1,

2,…,

n)Y，則Vn(F)上的變換TFn×n中的矩陣A給定基~線性變換TAY=AX例題

對線性變換:P4[X]P4[X]，求D在基{1，X，X2，X3}下的變換矩陣。2求向量在變換D下的象。相似變換T

下的矩陣：Pn[x]中的微分變換在自然基下的矩陣：線性變換TA在自然基下的矩陣：IAFn上線性變換T在自然基下的矩陣：T(e1e2…en)常見線性變換的矩陣

2線性變換運算的矩陣對應（Th1.13）：設Vn(F)上的線性變換T1，T2，它們在同一組基下的矩陣：T1

A1；T2

A2（i）(T1＋T2)

(A1＋A2)（ii）(T1T2)

A1A2（iii）(kT)

kA（iv）T－1

A－1(i),(iii)合并：(k1T1＋k2T2)

(k1A1＋k2A2)

3不同基下的變換矩陣兩組基：{

1，

2，…,

n}，{

1，

2，…,

n}，(

1

2…

n)=(

1

2…

n)CT(

1

2…

n)=(

1

2…

n)AT(

1

2…

n)=(

1

2…

n)B

Th1.14同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的B=C－1AC例29(P24)

設單位向量u=（2/3，–2/3，–1/3），給定R3上的線性變換P(x)=x–(x，u)u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的變換矩陣A。求P在標準正交基{u1，u2，u3}下的變換矩陣B。（直接按定義；或同前利用Th1.14）例28(P23)給定R3上的線性變換T((x1,x2,x3)T)=(x1+2x2+x3,x2-x3,x1+x3)T，求T在基

1=(101)T,

2=(011)T,

3=(1-11)T下的變換矩陣B。三、不變子空間問題的背景：變換矩陣簡化和空間分解的對應關系1.不變子空間的概念矩陣簡化要求空間分解的特點不變子空間的定義(p24,定義1.14)2.不變子空間的判別W是T的不變子空間W

T()

W。

特別：W=L{

1，2，…，m}，W是T的不變子空間T(

i)W。

T(W)W。T也是W上的線性變換！P24，例30R3上的正交投影P：P(x)=x–(x，u)u，u是單位向量。證明L(u)和

u

={x：(x，u)=0}是P的不變子空間。P在L(u)上是零變換，在u

上是恒等變換！3空間分解與矩陣分解

Vn(F)=W

U，W，U是T的不變子空間，W=L{

1，…，r}，U={

r

+1

，

…，n}則T

{

1，…，

r，

r

+1，

…，n}

Vn(F)=U1

U2

…

Uk，則T矩陣Ai

的階數(shù)=dimUi四、正交變換和酉變換(不改變內積的變換)討論內積空間[V；(，)]中最重要的一類變換。1定義1.15(P25)：(T(

),T(

))=(

,

)2正交（酉）變換的性質：

（定理1.15,P26）T是內積空間V(F)上的線性變換，則下列命題等價：（1）T是正交(酉)變換（2）T保持向量的長度不變（3）T把V(F)的標準正交基變成標準正交基（4）T在標準正交基下的矩陣是正交(酉)矩陣3變換的矩陣：正交矩陣和酉矩陣的性質正交矩陣C：CTC=I

酉矩陣U：UHU=I定理1.16(P27)常見的基本正交變換：平面上的旋轉幾何描述：繞坐標原點，逆時針旋轉一個

角。變換矩陣：在自然基下，

R3空間中的鏡像變換定義：S(x)=x–2(x,u)u，u為單位向量。變換矩陣與幾何意義

空間中的旋轉幾何描述：繞空間中過原點的一條直線L，旋轉一個角。求變換矩陣的基本思想：尋求空間中的一組特別的基

例題1設u=e2，鏡像變換:S（x）=x–2（x，e2）e2求立方體W在鏡像變換下的象。例題2求R3中繞過原點、以u=（1，1，1）T為正向的直線，順u方向看去是逆時針的旋轉變換T在R3中自然基下的變換矩陣。五、線性空間Vn(F)Vm(F)的線性變換定義1.16(P.28)要點：（i）

Vn(F)，=T(

)

Vm(F)(ii)T具有線性性：T(

1＋

2)=T(

1)＋T(

2)T(k

)=kT(

)例題1(P29，例34)例題2（P29，例35）T的變換矩陣：

T：Vn(F)

Vm(F)設{

1，

2，…,

n}是空間Vn(F)

的基，{

1，

2，…,

m}是空間Vm(F)的基，T(

1，

2，…,

n)=(

1，

2，…,

m)AA是變換矩陣。T在不同基下變換矩陣的關系

設在兩個空間中分別取兩組基：分析線性變換在兩組基下變換矩陣的關系等價！推薦練習題：第一章P31：1（3），（4），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29，31第1章勘誤表diyiban位置誤

正P.2，第3行P.14，第4行（，）2

（，）2P.16，第1行

P.17，倒7和倒8L{

1，

2，}L{

1，

2，}P.22，倒3eiP（ei）P.27習題一上方u

W

第2章：Jordan標準形介紹JordanCanonicalForm第2章：Jordan標準形介紹問題：對線性空間中的線性變換T，求一組基{

1，2，，

n}和矩陣J，使T:{1，2，，

n}J矩陣J盡可能簡單。矩陣J的結構對任何變換可行思想：首選J為對角形

線性變換的對角化問題。建立J一般的結構

Jordan標準形理論。Jordan方法及其應用方法：用矩陣的相似化簡研究問題

Jordan化方法重點：2.1線性變換的對角表示背景：求基{

i}，使得T(

1

2…

n)=(

1

2…

n)一、變換T的特征值與特征向量定義(p35定義2.1)(eigenvalueandeigenvector)求解分析：(p35定理2.1)(

1

2…

n)線性無關L{

i}是不變子空間；T

i=i

i

A的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐標例題1(p37，例題2.1)3、

特征向量的空間性質特征子空間：V

={

|T

=

}特征子空間的性質：(p36，定理2.2)V

i是不變子空間

i

j，則V

i

V

i={0}若

i是ki重特征值，則1dimV

i

ki

推論：若

i是單特征值，則dimV

i

=1V

1+V

2++V

s=V

1

V

2

V

s

V

1

V

2

V

s

Vn(F)二、線性變換矩陣對角化的充要條件T可以對角化

T有n個線性無關的特征向量。

dimV

i

=n

dimV

i

=ki

定理2.4(p39)T可以對角化

T的變換矩陣A可以對角化。例題2

已知{

1，2，3}是空間V3(F)的基，T是空間上如下定義的線性變換，T(

1)=

1T(

2)=2

2T(

3)=

1+t

2+2

3討論：t為何值，T有對角矩陣表示例題3設，求R3上正交投影P(x)=x-(x，u)u的特征值和特征向量2.2Jordan

矩陣介紹目標：發(fā)展一個所有方陣都能與之相似的矩陣結構----Jordan矩陣。一、Jordan矩陣Jordan塊(p40，定義2.3)

形式：確定因素：Jordan塊矩陣的例子：值

矩陣的階數(shù)例題1下列矩陣哪些是Jordan塊？形式：Jordan矩陣舉例特點元素的結構Jordan矩陣是上三角矩陣對角矩陣是Jordan矩陣2Jordan矩陣3

Jordan標準形定理2.5(p41)

含義：Jordan矩陣可以作為相似標準形。惟一性：Jordan子塊的集合惟一。A相似于B

JA相似于JB二、方陣A的Jordan標準形的求法目標：求可逆矩陣P和Jordan矩陣JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基礎上逆向分析矩陣JA

和P的構成。求法與步驟：矩陣A和JA的特征值相等細分矩陣Pi和Ji，在Jordan塊上，有Jordan鏈條{，y2，…，ynj}特征向量廣義特征向量方法步驟：由特征值

i的代數(shù)重數(shù)確定主對角線元素是的

i的Jordan矩陣J(

i)

的階數(shù)。由特征值

i對應的線性無關的特征向量的個數(shù)確定J(

i)中Jordan塊的個數(shù)由特征向量求得的Jordan鏈條的長度確定Jordan塊的階數(shù)鏈條中的向量合起來構成可逆矩陣P，Jordan塊構成JA例題1

(p44，例題5)例題2(p45，例題6)例題3

將矩陣A化為Jordan矩陣。例題4(p46，例題7)§2.3最小多項式(minimalpolynomials)討論n階矩陣多項式的相關問題：矩陣多項式（重點是計算）矩陣的化零多項式（Cayley定理）最小多項式Jordan標準形的應用相似不變性Jordan化的方法一、矩陣多項式定義2.性質（定理2.7）AX=

0X

g(A)X=g(

0)XP-1AP=B

P-1g(A)P=g(B)

3矩陣多項式g(A)

的計算方法：m

rg（J）的結構特點：由第一行的元素生成Jordan塊例題1

設對P38，eg3中的矩陣A，計算g（A）。解二、矩陣的化零多項式

(AnnihilatingpolynomialsofMatrices)問題：A

Fn×n，A0，是否存在非零多項式g（），

使得

g(

A

)=0？化零多項式（P.52）如果g(A)=0，則g(

)被稱為矩陣A的化零多項式。

要點：矩陣A一旦有化零多項式，則有無窮多化零多項式。g（A）=0的決定因素。存在性問題。Cayley-Hamilton定理（P.52，定理、2.7）：

A

Fn×n，f(

)=det(I–A)，則f(

A

)=0。Cayley定理的應用舉例：使Ak(

kn)降階至不超過n-1次的多項式。f（0）0，則A的逆矩陣可以用多項式表示。對線性變換T，f(T)=0，即f（T）為零變換。三、最小多項式1定義（P.54，定義2.5）mA（

）是最小多項式mA（A）

=0mA（

）在化零多項式中次數(shù)最低。mA（

）最高次項系數(shù)是1。

mA（

）整除任何化零多項式2mA（

）的結構：設f（）=I–A=定理2.8：mA（

）=

定理2.9：mA（

）=是

i對應的Jordan塊的指數(shù)。f（）與mA（

）譜相同3線性變換有對角矩陣表示的條件討論線性變換的最小多項式定理2.10：線性變換T可以對角化的充要條件是T的最小多項式是一次因子的乘積。例題1（P.56，eg10，eg11）例題2設A

R4×4，mA（

)=求矩陣A的所有可能的Jordan矩陣。例題3設是矩陣A的化零多項式，證明A可以相似于對角矩陣。相似問題中的一些矩陣結果1.冪等矩陣、冪零矩陣和乘方矩陣冪等矩陣（idempotent）：

A2=A冪零矩陣（nilpotent）：A0，

k為正整數(shù)，Ak=0乘方矩陣（involutary）：A2=

IA為冪零矩陣的充要條件是A的特征值都是零。A為乘方矩陣的充要條件是A相似于矩陣A為冪等矩陣的充要條件是A相似于矩陣2

(p47，例題8)

設A為階方陣，證明矩陣A和AT相似。證明思想：

證明A和AT相似

證明Jordan矩陣JA和JAT相似

證明JA和JAT的Jordan塊J和JT相似。證明方法：

取逆向單位矩陣S，證明：SJ=JTS（backwardidentity）3、矩陣A

，AT，AH

和AHA設A為n階方陣，則下列結果成立：矩陣A相似于矩陣AT矩陣A相似于矩陣AH的充要條件是矩陣的非實數(shù)特征值對應的Jordan塊以共軛對出現(xiàn)。矩陣AHA相似于矩陣AAH4.設矩陣A

Fm×n，矩陣B

Fn×m，則AB和BA的非零特征值相同。討論：若A、B都是n階方陣，AB和BA的特征多項式是否相同？AB和BA的最小多項式是否相同？AB和BA是否相似？第1章習題選講要點：線性空間的表示形式：集合表示形式：Vn（F）=｛

滿足的性質｝向量生成形式：L{

1，

2，···，

m}

子空間類型：L{

1，

2，···，

m}

W1＋W2矩陣A

Fm×n，兩個子空間不變子空間線性變換：線性變換的表示線性變換的數(shù)量關系重要的線性變換第1章習題選講P31，習題一1（3），2，4，9，10，11，17，20，23（4），26，29，30第二章的推薦練習題1，2，3，6，8，9，12，13，16，19，20第11題勘誤：…，使S-1AS，S-1BA為對角矩陣的充要條件是A和B乘法可交換，即AB=BA。第3章、矩陣的分解MatrixFactorizationandDecomposition矩陣分解的概述矩陣的分解：A=A1+A2+…+Ak矩陣的和A=A1A2

…Am矩陣的乘積矩陣分解的原則與意義：實際應用的需要理論上的需要計算上的需要顯示原矩陣的某些特性矩陣化簡的方法與矩陣技術主要技巧：各種標準形的理論和計算方法矩陣的分塊§3.1常見的矩陣標準形與分解常見的標準形等價標準形相似標準形合同標準形本節(jié)分解：三角分解滿秩分解可對角化矩陣的譜分解AT=A相似標準形等價標準形一、矩陣的三角分解（triangulardecomposition)方陣的LU和LDV分解（P.61）

LU分解：AFnn，有下三角形矩陣L，上三角形矩陣U

，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分別是主對角線元素為1的下三角形和上三角形矩陣，D為對角矩陣，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例題1（P.61eg1）設

求A的LU和LDV分解。結論：如果矩陣A能用兩行互換以外的初等行變換化為階梯形，則A有LU分解。三角分解的存在性和惟一性定理3.1

（P.62）

：矩陣的k階主子式：取矩陣的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要條件是A的順序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。

討論（1）LDV分解的存在

LU分解存在（2）矩陣可逆與順序主子式非零的關系定理3.2（P.64）設矩陣AFnn

，rank（A）=k（

n），如果A的k階順序主子式非0，則

A有LU分解?？紤]：LDV分解與LU分解的關系例題2

（P.65

eg2）

LU分解的應用舉例：求解線性方程組AX=b二、矩陣的滿秩分解定義3.2

（P.66

）對秩為r的矩陣A

Fm

n，如果存在秩為r的矩陣B

Fm

r，C

Fr

n，則A=BC為A的滿秩分解。例題2（P.69，eg5）列滿秩行滿秩定理3.2：任何非零矩陣A

Fm

n都有滿秩分解。滿秩分解的求法：方法1：方法2例題1（P.68，eg4）方法3例題3（P.70，eg6）?方法建立的思想?方法實現(xiàn)的途徑三、可對角化矩陣的譜分解將方陣分解成用譜加權的矩陣和譜：設A

Fn

n，則A的譜={

1，2，，s}。，P具性質：1.可對角矩陣的譜分解分解分析：分解結果：冪等矩陣意義：可對角化矩陣可以分解成以譜加權的冪等矩陣的加權和2、矩陣可以對角化的一個充要條件

定理3.5（P.73

）矩陣A可以相似對角化當且僅當矩陣A有譜分解，滿足條件：充分性的證明：在A有譜分解時Cn=V1

V2

Vn3.冪等矩陣的性質

定理3.4（P.72）P

Fn

n，P2=P，則矩陣PH和矩陣（I–P）仍然是冪等矩陣。P的譜{0，1}，P可相似于對角形。

Fn=N（P）

R（P）N（P）=V=0，R（P）=V

=1

P和（I–P）的關系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩陣的譜分解定理3.6（P.73）設A是秩為k的半正定的Hermite矩陣，則A可以分解為下列半正定矩陣的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH§3.2Schur分解和正規(guī)矩陣

已知：歐氏空間中的對稱矩陣A可以正交相似于對角形。討論：一般方陣A，在什么條件下可以酉相似于對角矩陣？在內積空間中討論問題，涉及：空間Cn、Cn

n，酉矩陣U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=J

U–1AU=J相似關系重點：理論結果列向量是空間Cn中的標準正交基一、Schur分解1、可逆矩陣的UR分解

定理3.7（P.74）A

Cn

n為可逆矩陣，則存在酉矩陣U和主對角線上元素皆正的上三角矩陣R，使得A=UR。（稱A=UR為矩陣A的酉分解）證明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例題1求矩陣A的UR分解，其中定理3.8（P.76）：設矩陣A

Cm

n是列滿秩的矩陣，則矩陣A可以分解為A=QR，其中Q

Cm

n的列向量是標準正交的向量組，R

Cn

n是主對角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。QR分解2、Schur分解定理3.7（P.74

）對矩陣A

Cn

n，存在酉矩陣U和上三角矩陣T，使得

UHAU=T=證明要點：A=PJAP–1，P=URA=PJAP–1=U（RJR–1）UH

=UTUH。二、正規(guī)矩陣（NormalMatrices）1、定義3.3（P.77

）A是正規(guī)矩陣

AHA=AAH。常見的正規(guī)矩陣：對角矩陣對稱和反對稱矩陣：AT=A，AT=–A。Hermite矩陣和反Hermite矩陣：AH=A，AH=–A正交矩陣和酉矩陣：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例題1（P.78，eg10）設A為正規(guī)矩陣，B酉相似于A，證明B也是正規(guī)矩陣。正規(guī)是酉相似的不變性質例題2、

A

Fm

n，矩陣AHA和矩陣AAH是正規(guī)矩陣。2、正規(guī)矩陣的基本特性定理3.10

（P.78

）

：A

Cn

n正規(guī)

A酉相似于對角形。推論：正規(guī)A

Cn

n

A有個標準正交的特征向量構成空間Cn的標準正交基。定理3.11（P.80

）（正規(guī)矩陣的譜分解）A正規(guī)A有如下譜分解：

Hermite性3、正規(guī)性質的應用舉例例題1（P.79，eg11）例題2（P.79，eg12）例題3設A

Rn

n，AT=–A，證明A的特征值是零和純虛數(shù)。矩陣A的秩是偶數(shù)?！?

3矩陣的奇異值分解Singularvaluedecomposition(SVD)§3

3矩陣的奇異值分解概述：矩陣的奇異值分解是酉等價型的分解:ACm×n，存在酉矩陣UCm×m,VCn×n,使得A=U

VH。矩陣A等價于=奇異值分解基本適用于內積空間中與矩陣秩相關的問題A的奇異值分解依賴于正規(guī)矩陣AHA

的酉相似分解的。一、矩陣A的奇異值及其性質1、矩陣AHA和AAH的性質：A

Cm×n

Hermite矩陣:AHA

Cn×n，AAH

Cm×m，定理312（P82）秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。AHA和AAH的非零特征值相等。AHA和AAH是半正定矩陣。

AHA和AAH的特征值是非負實數(shù)：

1

2

n2、奇異值的定義：（P72）A

Cm×n，秩（A）=r，設AHA的特征值1

2

r0，

r+1=r+2