2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《圓綜合練習(xí)題》提升訓(xùn)練附答案

2023年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合練習(xí)題》專題提升訓(xùn)練（附答案）

選擇題

1.如圖，半徑為4的。。中，CD為直徑，弦ABLCD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

上一動(dòng)點(diǎn)，CFLAE于點(diǎn)、F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)2出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路

徑長(zhǎng)為（）

D

A.愿冗B.喙冗C.嚶冗D.等冗

2.如圖，直角梯形/BCD中，ZBAD=ZCDA=90°,AB=4^,CD=2氓,過(guò)/、B、D

三點(diǎn)的。。分別交8C,CD于點(diǎn)、E、M,且CE=2,下列結(jié)論：①DM=CM；②弧/8=

弧EM；③。。的直徑為2，I5；?AE=\[3Q.其中正確的結(jié)論是（）

啟-----&c

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

3.正五邊形43cDE內(nèi)接于圓，連接/C,AD,BE,5E分別與4C,AD交于點(diǎn)尸，G,連

接。尸.若48=2,下列結(jié)論：①/FDG=18°；?BF=\[S-1:③四邊形CDE尸是菱

形；④與「等?其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.如圖，8C為直徑，點(diǎn)/為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為△NBC的內(nèi)心，OELEC于點(diǎn)E.若

5.如圖，△NBC內(nèi)接于。。，過(guò)3c的中點(diǎn)。作直線/〃NC,1與4B交于點(diǎn)E,與。。交

于點(diǎn)G、F,與。。在點(diǎn)/處的切線交于點(diǎn)尸，若PE=3,ED=2,EF=3,則Bl的長(zhǎng)度

A.\[2B.\l5C.V6D.V7

6.如圖，8。為。。的直徑，點(diǎn)/是死的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn),。尸是。。的切線，與

8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，AE=2,￡0=4,下列結(jié)論：

②tanN4DB=±2_；

3

③BC=AD；

④標(biāo)的長(zhǎng)為喙B.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A

D

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，半徑為1的0M經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,與x軸交于點(diǎn)4,點(diǎn)力的坐標(biāo)為

點(diǎn)8是直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且//8。=30°,則3M的最大值為（）

二.填空題

8.如圖，在△N8C中，ZBAC=60°,其周長(zhǎng)為24,。/是△NBC的內(nèi)切圓，其半徑為匾,

則△N8C的外接圓半徑為

9.如圖，。。經(jīng)過(guò)菱形/BCZ）的三個(gè)頂點(diǎn)）,B,C,的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接NC.已

知O。的半徑為3,則4。-EO與EA,AD之間的等量關(guān)系式為,EA-EC的

10.如圖，R4、尸8是的切線，切點(diǎn)分別為AB,8C是的直徑，PO交。。于E

點(diǎn)，連接交尸。于F連接CE交48于。點(diǎn).下列結(jié)論：①R4=PB；?OP±AB；

③CK平分N/CB；④。尸=工/。；⑤￡是的內(nèi)心；@/\CDA^/\EDF.其中一定

2

成立的是（只填序號(hào)）

11.如圖，矩形48cZ）中，AB=6,BC=9,以。為圓心，3為半徑作E為。。上一

動(dòng)點(diǎn)，連接NE,以NE為直角邊作Rt44E尸，使/E4F=90°,tanZAEF=L-,則點(diǎn)尸

與點(diǎn)C的最小距離為

12.如圖，已知圓。中，R=5,四邊形4BCD,EFG〃均為正方形，/BOD=45°,點(diǎn)/,

，在。。上，O,G,。三點(diǎn)共線，則小正方形EFG"的邊長(zhǎng)=.

13.如圖AB為。。的直徑，點(diǎn)、P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作OO的切線PE,切點(diǎn)為M,

過(guò)/、8兩點(diǎn)分別作尸￡垂線NC、BD,垂足分為C、D,連接/跖則下列結(jié)論正確的是

（寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

①4W平分/C/&?嚕?；③若/8=4，/APE=3Q°,貝陰兒的長(zhǎng)為母；④若NC

JQ

=3BD,則有tan/M4P=①.

,；Ts

14.如圖，拋物線丁=-蝗+2尤+3與x軸交于4、3兩點(diǎn)（/在3的左側(cè)），與y軸交于。點(diǎn)，

QD過(guò)/、8、C三點(diǎn)，P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO,則破尸（3■尸0的最小值

為.

三.解答題

15.如圖，48=2,射線點(diǎn)尸為期■上一點(diǎn)，以為直徑作OC,點(diǎn)。在OC

上，AD=AB,連接尸。，點(diǎn)。為弦陽(yáng)上一點(diǎn)，射線。C交OC于點(diǎn)瓦

(1)求證：為0c的切線；

(2)若//C8=30°,求：

①劣弧而的長(zhǎng)；

②便長(zhǎng)的取值范圍.

16.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。是上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為弧48的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

的平行線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：LADCsADEC；

(2)若。。的半徑為3,求。的最大值；

(3)如圖2,連接設(shè)tan/48C=x,tan//EC=y,①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②若空=V，求V的值.

BE5

17.如圖，在中，直徑與弦CD互相垂直，垂足為，，點(diǎn)E是弧8D上一點(diǎn)，連接

AC,過(guò)點(diǎn)￡作直線W交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接力￡交。

于點(diǎn)尸，＞EG=FG.

(1)求證：EG是的切線；

(2)若EM〃AC,求證：4F?FG=EF,CF；

(3)在(2)的條件下，若4?7=4,tanG=I,求F且的值.

18.如圖，已知扇形的半徑04=8,/AOB=90°,點(diǎn)C,。分別在半徑CM,0B上

(點(diǎn)C不與點(diǎn)/重合)，連結(jié)CD.

4

(1)當(dāng)sin/ODC=M,8O=C￡>時(shí)，求OC的長(zhǎng).

5

(2)點(diǎn)尸是弧42上一點(diǎn)，PC=PD.

①當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，點(diǎn)尸為弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：PCLPD.

c

②當(dāng)OC=4,/尸。。=90°時(shí)，求APCD的值.

3△0CD

19.已知43為。。的直徑，弦CD交48于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與。重合)，連結(jié)NC,AD,AC

=AD.

(1)如圖1,求證：ABLCD.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作弦。HL4c于點(diǎn)G,求證：DB=BC=CH.

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)。為弧上一點(diǎn)，連結(jié)/。，HQ,HQ交AB于點(diǎn)、

P,若4。=4DE=3,ZHPB+2ZCAB=90°.

5

①求4P的長(zhǎng)；

②求。O的半徑.

圖1圖2圖3

20.如圖1,△NBC中，2C邊上的中線4W=/C,延長(zhǎng)交△/BC的外接圓于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)。作DE〃3C交圓于點(diǎn)E,延長(zhǎng)磯＞交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接CE.

(1)若乙4cB=60°,BC=4,求和。尸的長(zhǎng)；

(2)①求證：BC=2CE；

②設(shè)tan//CB=x,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖2,作NCL/C交線段于N,連接EN,當(dāng)△4BC的面積是△CEN面積的6

倍時(shí)，求tan/NCB的值.

圖II甯

參考答案

一.選擇題

1.解：連接/C,AO,

"：AB±CD,

；.G為的中點(diǎn)，即/6=26=工48,

2

;。。的半徑為4,弦4BLCD且過(guò)半徑。。的中點(diǎn)，

0G=2,

...在Rt^/OG中，根據(jù)勾股定理得：^G=7AO2-OG2=2^-

又VCG=CO+GO=4+2=6,

，在RtZX/GC中，根據(jù)勾股定理得：/C=JAG2+CG2=華/§，

'：CFLAE,

.?.△/C尸始終是直角三角形，點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)軌跡為以NC為直徑的半圓，

當(dāng)E位于點(diǎn)3時(shí)，CG_L4E,此時(shí)尸與G重合；當(dāng)E位于。時(shí)，CALAE,此時(shí)尸與/

重合，

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)標(biāo)，

在RtzX/CG中，tan/NCG=^=近，

CG3

AZACG=30°,

...菽所對(duì)圓心角的度數(shù)為60°,

?..直徑NC=4退，

.?屆的長(zhǎng)為6°兀X2.=Wlm

1803

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為空當(dāng)皿

2.解：連接8。，BM,AM,EM,DE,

VZBAD=90°,

.?.5。為圓的直徑，

AZBMD=90°,

AZBAD=ZCDA=ZBMD=9Q°,

四邊形/BMD矩形，

：.AB=DM,

又,：CD=2AB,

:.CD=2DM,即。M=MC；

故選項(xiàng)①正確；

,JAB//MC,AB=MC,

四邊形/2CM是平行四邊形，

：.AM^BC,又BD=AM,

：.BD=BC,

?.?5D是直徑，

ZBED=90°,即/DEC=90°,

又EC=2,DC=2氓,

根據(jù)勾股定理得：DE=YDC2-EC2=2

設(shè)BE=x,BD=BC=BE+EC=x+2,

在RtZ\50E1中，根據(jù)勾股定理得：B#+DE2=BD2,即X2+20=(X+2)2,

解得：x=4,

：.BD=6,故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；

在RtZ\DEC中，M是。C中點(diǎn)，

EM=DM=±CD=歷，

：MEM=^DM,

又；AB=DM,

，弧AB=弧。

...弧/8=弧￡”,

故選項(xiàng)②正確；

在RtZUEN中，AM=6,EM=R,

根據(jù)勾股定理得：-EM;

故選項(xiàng)④正確；

則正確的選項(xiàng)為：①②④.

故選：B.

3.解：①：五方形/8CDE是正五邊形，

QCH°

：.AB=BC,ZABC=180°—=108°,

5

AZBAC=ZACB=36°,

：.ZACD=108°-36°=72°,

同理得：ZADE=36°,

?：/BAE=108°,AB^AE,

：?/ABE=36°,

：.ZCBF=IOS°-36°=72°,

:?BC=FC,

■:BC=CD,

:?CD=CF,

120°-72c

AZCDF=ZCFD=—————=54°,

2

：.ZFDG=ZCDE-ZCDF-ZADE=WS°-54°-36°=18°；

所以①正確；

②NABE=NACB=36°,ZBAC=ZBAF,

：.AABF^AACB,

,AB=BF

，，AC-BC，

?：BC=ED,

.AB=BF

**AC-ED

：.AB'ED=AC*BF,

?：AB=ED=2,AC=BE=BG+EF-FG=2AB-FG=4-FG,BF=BG-FG=2-FG,

：.22=（2-FG）（4-尸G）,

：.FG=3+X[E>>2（舍），F(xiàn)G=3-底

:.BF=2-FG='K-1；

所以②正確；

③如圖1,VZEBC=12°,Z5CD=108°,

AZEBC+ZBCD^1SO°,

：.EF//CD,

,:EF=CD=2,

四邊形CDEF是平行四邊形，

,:EF=ED,

I2CDE「是菱形，

所以③正確；

④如圖，取正五邊形外接圓圓心為。，連接。。，OE,

作OH：LDE于點(diǎn)H,

"：OD=OE,

：.EC=DE=—DE=\,ZEOH^—/EOD=36°,

22

.OE—EH一一1

sinNEOHsin36

OH=——,

tan36

作EMLDG于點(diǎn)M,

D

.9.ME—DE*sin36°=2sin36°,

影=導(dǎo)—4

=—irX-----Lg--1x2X14AX2X2sin36°

2gin362tan362

兀L

2sin360tan36"

w誓，故④錯(cuò)誤.

.?.本題正確的有①②③，共3個(gè).

故選：B.

01

4.解：如圖，延長(zhǎng)CE交48于延長(zhǎng)OE交ZC于N,作EF_L8C于尸，EG_L4B于G,

?:E是A4BC內(nèi)心，

：?EA平分/BAC,EB平分/ABC,EC平分NACB,

?；NBAC=90°,

AZABC+ZACB=90°,

:?NEBC+/ECB=45°,

:?/BEC=\35°,

:?/BEM=45°,

YOE工EC,

：./OEC=90°,

；?NBEM=NBEO=45°,

■:/EBM=/EBO,BE=BE,

:.△BEO/4BEM(ASA),

同法可證△CEN之△CEO(ASA),

：.BM=BO,OC=CN,EN=EO=EN,

設(shè)△NBC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r.

VZEBA=ZEBC,EGLAB,EFLBC,

：.EG=EF,同法可證跖=￡〃，

e癡"EG

...'ABEM_____=BM=EM=1,

2ABECy-BC,EFBCEC2

'：EG//AC,

：.AMEG=AECH,ZEGM=ZCHE=90°,

AEGMsACHE,

?EH=CE=CH=2

,,瓦一麗一福―'

：.GM=—r,CH=2r,

2

"：EM=EO=EN,EG=EF=EH,

：.RtZXEGM絲RtZ\￡W四Rt△斯。(HL),

：.OF=HN=GM=—r,

2

OC=CN,

15

：.R=2r^r=—r,

22

：.BF=BO+OF=3r,

???5E=JEF2十BP2=爪2十(3Q2r,

?:BC=A

2R—\[SJ

-p-Vs

2

.5=V5

,,2r2，

.『叵

"5'

：.BE=yflGX2^L=A/2.

5

故選：B.

5.解：???點(diǎn)。為5C的中點(diǎn)，DE//AC,

：.DE為的中位線，

：?AE=BE,

■:PE=EF=3,

???四邊形PBFA是平行四邊形,

C.PA^BF,PB//AF,

：.ZBPF=/AFP,

*：PF//AC,

：.ZAFP=/FAC,

：.BPF=/FAC,

又??,ZFBC=ZE4C,

：.ZFBC=ZBPF,

*：ZDFB=ZBFP,

：.△BFDsMPFB,

：?BF=G

:?PA=BF=yf^.

6.解：①丁點(diǎn)力是弧5C的中點(diǎn),

???ZABC=ZADB,

又??,/BAE=/BAE,

；?LABEsLADB.故①正確，

②;AABE^/\ADB,

.AB=AE

"ADAB

：.AB2=AD-AE=(AE+EDAAE=(2+4)X2=12,

:.AB=20,

在RtZUOB中，tanN4D2=$殳=2叵=".故②正確,

AD63

④如圖，連接CD,則N5C￡>=90°；

由/3=2爪，AD=6,NBAD=90°,得//￡>2=30°,

???點(diǎn)N是弧5c的中點(diǎn)，

ZADB=ZEDC=3Q°,

.\Z0)5=60°,BD=2AB=4\[3,

：.BC=AB'sin600=6,

：.BC=AD^6,故③正確，

⑤連接6M.,：AB=2y/3,AD=6,ZBAD=90°,

:.BD=4\T§,

'.r=2\[3,

VZBOA=60°,

..?/叱產(chǎn)=哈故④錯(cuò)誤.

1803

正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

7.解：過(guò)點(diǎn)M作MKLOA于K,以04為邊在OA下方作等邊△O4V,以N為圓心，NO

的長(zhǎng)為半徑作ON,連接并延長(zhǎng)MN交ON于8,如圖：

是等邊三角形，

AZANO=60°,

當(dāng)2在ON上時(shí)，ZABO^—ZANO=30°,

2

:.點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)3運(yùn)動(dòng)到夕時(shí)，8M取最大值，最大值即是9”的長(zhǎng)度，

:?！敖?jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)/,

在OA的垂直平分線上，

'：A（V3，0）,MKLOA,

V3

：.0K=AK=4,

2

半徑為1,即（W=l,

?'?^=\/OM2-OK2T，

,.,△O/N是等邊三角形，

：.ON=AN=OA=Pi，

.?.N在OA的垂直平分線上，

:.K、M、N、夕共線（都在CM垂直平分線上），

：.MN=NK+MK=2,

?：B'N=ON=\[3,

：.B'M=B'N+MN=\]3+2,

即最大值為點(diǎn)+2,

故選：C.

二.填空題

8.解：如圖，設(shè)△8/C的外接圓圓心為O,連接08,OC,作C￡>J_/8于點(diǎn)。,

在圓。上取點(diǎn)尸，連接F8,FC,作OEL8C于點(diǎn)E,

A

設(shè)/B=c,BC—a,AC—b,

VZBAC=60°,

：.AD=—b,

2

CD=/Osin60°=4b,

2

：.BD=AB-AD=c-—b,

2

,.?△ABC周長(zhǎng)為1=24,△NBC的內(nèi)切圓半徑為r=yf3,

：.S^ABC=^lr=^X24xV3=-lx^5?CZ),

：.24\[3=^-b-c,

；.6c=48,

在Rt^BDC中，根據(jù)勾股定理，得

BO=BD2+CD2,

即.2=(c-J-Z,)2+(返6)2,

22

整理得：a2=c2+Z>2-be,

a+6+c=24,

：.a2=c2+b2-bc=(b+c)2-3bc=(24-a)2-3X48,

解得a=9,

.".BC=a=9,

或者：如圖，設(shè)。/與△NBC三邊的切點(diǎn)為D,E,F,

連接ID,IE,IF,

貝!!/E_L8C,IDLAB,IFA.AC,

：?AD=AF,BD=BE,CE=CF,

在△/5C中，

VZBAC=60°,

，/E4/=30°,

：.AF=2IF=2\p3,

???//=3,

???4。=3,

,?,△45。周長(zhǎng)為24,

；?2BE+2CE=24-6=18,

：.BC=9；

???/是△/BC內(nèi)心，

；?IB平分/ABC,JC平分NACB,

VZBAC=60°,

AZABC+ZACB^nO°,

AZIBC+ZICB=60°,

ZBic=no°,

AZBFC=1SO°-120°=60°,

AZBOC=120°,

9：OE±BC,

9

：.BE=CE=—,ZBOE=60°,

2

：.OB=―

sin60-g"

?「BC是定值，ZA=ZF=60°,

：?AABC與ABCF的外接圓的半徑相等,

「.△ABC的外接圓的半徑為3愿.

故答案為：3^3.

9.解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE于，，連接2。交4c于點(diǎn)巴連接NO.

?..四邊形/BCD是菱形，

：.ZCAB=ZCAE,CB=CD,

EC=CB,

：.CB=EC,

:?CE=CD,

CHIDE,

:?DH=EH,

?:AGAIfl+aP,EO=CH^E印,

:.AC2-EC^AH2-EIfi=(AH+EH)(AH-EH)=AE?AD,

???Q5垂直平分線段ZC,

?,?點(diǎn)。在助上，

=22

二0FVOA-AF=,9—.度2，

:.EO=AB2=AF2+(3-OF)2=A.^C2+9-6J9--AC2+9-工/0=18-6

4V44

加引力=18-3^/-2,

3GAC

：.EA'EC=EA'AD=AC1-EC2=AC2-18+3^36-^02，

令尸+6*(：2,

,*,EA9EC——y2+3y+18=-(jv-)2+-5.+18=-~2+,

V-l<0,

...切?EC有最大值，最大值為

4

故答案為：AC2-E^AE'AD,—.

①；m、PB是。0的切線，

:.PA=PB；故①正確；

②:PA=PB,OA=OB,

：.OP是AB的垂直平分線，

J.OPLAB-,故②正確；

③；OP是43的垂直平分線,

/.AE=BE,

/ACE=/BCE,

...C￡平分//C5；故③正確;

④：臺(tái)。是O。的直徑，

ZBAC=90°,

VZBFO=9Q°,

：.OF//AC,

?：OB=OC,AF=BF,

J.OF^AC；故④正確；

2

⑤?;總是o。的切線，

ZPBE+ZEBC=90°,

YBC是。。的直徑，

ZEBC+ZECB=90°,

：.ZPBE=ZECB,

ZECB=ZEBA,

：.ZPBE=ZEBA,

'：ZAPE=ZBPE,

是△為8的內(nèi)心；故⑤正確；

@"：AC//OE,

:.ACDAsAEDF.故⑥錯(cuò)誤；

.?.其中一定成立的是①②③④⑤.

故答案為：①②③④⑤.

11.解：如圖取N3的中點(diǎn)G,連接FG.FC.GC.

'：ZEAF=9Q°,tanZAEF=^,

3

.AF=1

*'AE--3，

"：AB=6,AG=GB,

.*./G=G6=3,

'：AD=9,

AG

?.?豆=丁2=―2百，

.AF=AG

"AE-AD'

,四邊形48co是矩形，

AZBAD=ZB=ZEAF=90°,

ZE4G=ZEAD,

：.AE4GsLEAD,

：.FG：DE=AF-.AE=h3,

,:DE=3,

"G=l,

二點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，

7GC=VBC2+BG2=3折,

:.FC,GC-FG,

：.FC^3\[W-1,

；.C尸的最小值為3415-1.

故答案為-1.

12.解：如圖，連接。4,DH,OH,作。P_LCM于尸，O7_L/TO交的延長(zhǎng)線于7,設(shè)

CM交CD于K.

???四邊形/BCD是正方形，

:.AB=BC=CD,ZABC=ZDCO^90°,

VZBOD=45°,

：.ZDOC=ZCDO=45°,

：.CD=OC,設(shè)AB=CD=BC=OC=x,

在Rt^AOB中,'：AB2+OB^=OA2,

.*.x2+(2x)2=52,

：.X=Is(負(fù)根已經(jīng)舍棄)，

:.CD=OC=\[E>,

：.DO=yflQ,

tanZAOB=-^~=~,tanZHDE=^-=—,

BO2DE2

tanZAOB=tanZHDE,

：.NAOB=NHDE,

VZDGA=ZBOD=45°,

:?/GDH=ADOA,

：.DT//OA,

9：DP±OA,OTLDT,

J.PD//OT,

J四邊形OTDP是平行四邊形，

,.?NT=90°,

???四邊形077乃是矩形，

■:CK〃AB,

,CKOC1

?下=一麗=—Q

V5

:?CK=DK=^-,

2

.".^=7AD2+DK2豐

"DPLAK,

：.DP=^-=X,

AK

?.OT=DP=1,

在RtaOHT中，OT=AJQH2_QT2=276,

在Rt^DTO中，Dr=7oD2-OT2=3>

:.DH=2氓-3,

設(shè)HE=EF=FG=DF=y,

在RtZVME中，'JEIfl+DE^DH2,

；.儼+(2y)2=(2A/6-3)2,

._3付

"一亍^^，

故答案為_羋_花?.

55

13.解：連接。加；BM,

??P￡為。。的切線,

\OMLPC,

CACLPC,

\OM//AC,

ZCAM=ZAMO,

：OA=OM,

*.ZOAM=AAMO,

?./CAM=/OAM,即⑷/平分NC/B,故①正確;

為。。的直徑，

ZAMB=90°,

：ZCAM=AMAB,ZACM=ZAMB,

\AACMs^AMB,

.AC

,AM=AB故②正確;

ZZAPE=30°,

\ZMOP=ZOMP-ZAPE^90°-30°=60°,

：AB=4,

??OB=2,

?.血的長(zhǎng)為6°乂［義2=等,故③錯(cuò)誤;

1803

：BD±PC,AC±PC,

\BD//AC,

.PBJD=X

'PA=AC-'3，

\PB^—PA,

：.PB=—AB,

2

:.PB=OB=OA,

OM_1

smZOPM==

加2

：.ZOPM=3Q°,

：.ZCAP=60°,

平分/。尸，

ZMAP=30°,

."AanZMAP———,故④正確.

3

故答案為：①②④.

14.解：如圖，

由-落+2%+3=0得，1=-1或1=3,

：.A(-1,0),B(3,0)

,當(dāng)x=0時(shí)，>=3,

JOC=3,

：.C(0,3),

???可得圓心。(1,1),

.\AD—CD—BD—\[5,OD—yn，

延長(zhǎng)。。至E,使。￡=a叵，連接PE,作跖，OC于R連接CE,

_2

5^2

/>PD=V5,DE

"0D77，PD岳G'

?.?-PD―二DE

0DPD

是公共角，

:ZDPs4PDO,

.PE_PD_^5

*'0PODV2

J5

:.PE=*OP,

<2

-JS

：.PC+-^OP=PC+PE,

V2

.?.當(dāng)￡、P、C共線時(shí),O尸最小=CE,

?.??！?反應(yīng)，OD=巧,

2

.門廳—立叵_3V2

??(JE------V2------，

22

EF=OF=OE?sinZEOF=^^-X亞=3,

222

QQ

在RtZXCE尸中，EF=—,CF=OF+OC^—,

22

.\C￡=7EF2+CF2=

.,.PC-^-OP最小值是而，

:即PC/OP=M(PC嚼OP)最小值是五X-|V16=3V5.

故答案是3炳.

三.解答題

15.(1)證明：連接CD,如圖.

"：AD=AB,DC=BC,AC=AC,

.?.△ACD咨AACB(SSS).

：.ZCDA=ZCBA=90°.

J.CDLAD,

：CD為半徑，

為0c的切線.

(2)解：①若N/C8=30°,則/DC2=2//C2=60

AZPCr?=120°.

又,：AB=2,

??.AC4BC=2V3.

劣孤麗的長(zhǎng)為120―義2〃國(guó)區(qū)兀.

1803

②當(dāng)點(diǎn)0與點(diǎn)。重合時(shí)，QE的長(zhǎng)最大，最大值為4、巧.

當(dāng)。。，尸。時(shí)，?！甑拈L(zhǎng)最小，如圖，此時(shí)，PQ=DQ.

A

B

?.?BP=2BC=4畬，NDCB=60°,

:?/BPD=3G°.

??.CQ二CPsin/BPD*.

.?.QE=CQCE=V3+273=3V3.

???QE長(zhǎng)的取值范圍為3V3<QE<4V3.

16.(1)證明：?：AB〃DE,

：./ABC=/DEC,

???ZADC=ZABC,

：.ZADC=ZDEC,

???點(diǎn)。為弧45的中點(diǎn)，

BD=AD,

ZACD=ZDCE,

：.△ADCs^DEC；

(2)解：,:AADCsADEC,

.ACCD

CDCE

即CD2=CA'CE,

又：。。的半徑為3,

：.CA*CE=CD2^62=36.

即的最大值為36；

（3）解：①,.'△ADCSADEC,

（圖2）

■:NCED=NCBA,ZDCE=45°,

'.CF=DF=ax,

??CDcix,

.?.尸（型）2=（&-）2=2x^：

2

CEa+axX+2X+1

②..@=2,

BE5

.CB3

??—,

CE8

.CACA_2

??~:'Oe：39

CBCE

即x：>=8：3,

322

^y-x代入y=X一得，

8xZ+2x+l

2

3r2x

SX2+2X+1

解得，勺=3,^2=—f

當(dāng)x=3時(shí)，y—2義9=g

9+2X3+18

17.(1)證明：連接。石，如圖,

'：EG=FG,

:?/GFE=/GEF,

而NGFE=NAFC,

：.ZGEF=ZAFC,

9：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

^ABLCD,

：.ZAFC+ZE4H=90°

：.ZGEF+ZOEA=90°,即NGEO=90°,

：?OE_LGE,

???EG是。。的切線；

(2)證明：,:AC"EG,

：./ACF=/G,

???ZAFC=ZEFG,

:?△CFKAGFE,

.CF=AF

**FGEF'

?：AF?FG=EF*CF；

(3)解：連接OC,設(shè)。。的半徑為八

■:GE〃AC,

：.ZG=ZACH,/CAF=NGEF,

■:GE=GF,

???NGEF=NGFE=/AFH,

：.ZCAF=ZCE4,

:?CA=CF,

A141

在RtzXZC"中，tanZ^C77=—,

CH3

???8=348=3X4=12,

：.CA=CF=VAH2-K!H2=3+122=4V10，

：.FH=CF-AH=4\[W-12,

在Rt/XOC“中，(r-4)2+122=#,解得廠=20,

'：GE//AC,

：.AM=ACAH,

/.RtAOEMsRtACHA,

.EM0EpnEM20

AHCH412

.?20

?.EM=-，

3

.FH_4-/10-12_3^IQ-9

??前一20.5一?

3

18.(1)解：,.,sinZODC=-^-=-^

5CD

.,.設(shè)OC=4x,CD=5x,

；?0￡,=VCD2-OC2=3X,

'：BD=CD=5x,

OB=5x+3x=8x=CM=8,

??x—1,

JOC=4；

(2)①證明：連接。P,過(guò)點(diǎn)P作尸石L40于￡,PFLOB于F,

???點(diǎn)尸為弧的中點(diǎn),

???或=而,

???ZAOP=ZBOP,

又,.?PEL40,PFLOB,

:.PE=PF,

又,：PC=PD,

；?R3EC咨WFB(HL),

：.ZEPC=/BPF,

：.NEPF=/CPD,

\9PE.LAO,PF_LOB,ZAOB=90°,

:?/EPF=9N=NCPD,

：.PC±PD；

②如圖，過(guò)點(diǎn)。作CELPD于￡,

■:NPDO=/AOD=90°,NCED=90°,

???四邊形OC&)是矩形，

；?OC=DE=4,CE=OD,

設(shè)PC=PD=x,EC—OD—y,

x?2+y2=64

則有

x2=y2-?-(x-4)2

可得x=4泥-4(不合題意的已經(jīng)舍棄),

：.PD=4\H)-4,

.?.繪眄=毀=找.1.

SAOCD℃

19.(1)證明：如圖1,連接。C,OD,

圖I

"：AC=AD,

：.A在CD的垂直平分線上，

"?OC=OD,

在C￡＞的垂直平分上，

兩點(diǎn)確定一條直線，

.../O是CD的垂直平分線，

：.ABLCD-,

(2)證明：如圖2,'：ABLCD,AC=AD,

ZAEC=90°,ZCAB=ZDAB,DB=BC,

ZACD+ZCAB=90°,

?.,n/Lic于點(diǎn)G,

：.ZCGD=9Q°,

AZACD+ZCDH=90°,

：.ZCAB=ZCDH,

.-.BC=CH,

.\DB=BC=CH；

(3)解：①如圖3,連接OC,QB,

A

圖3

設(shè)NC45=x,

9：DGLAC,

：.ZAGE=90°,

；?NAEH=90°-x,

VZHPB+2ZCAB=90°,

：?NHPB=90°-2x,

ZH=1SO°-ZHPE-ZAEH=3x,

：.ZQAD=ZH=3x,

??ZC=40,ABLCD,

：.ZDAB=ZCAB=x,

：.ZQAB=ZQAD+ADAB=4x,

VZQAB+ZAQP+ZAPQ=1SO°,ZAPQ=ZHPB=90°-2x,

???N4QP=180°-4x-(90°-2x)=90°-2x,

???NAQP=NAPQ,

14

???ZP=/Q=暫；

②延