圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、定線(xiàn)問(wèn)題-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第八章平面解析幾何

突破3圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、定線(xiàn)問(wèn)題

口學(xué)生用書(shū)P198

命題點(diǎn)1定點(diǎn)問(wèn)題

例1[2023全國(guó)卷乙]已知橢圓C：，+捻=1(a>b>0)的離心率為g,點(diǎn)/(一2,0)在

C上.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(一2,3)的直線(xiàn)交。于尸，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)/P,與y軸的交點(diǎn)分別為

N,證明：線(xiàn)段血W的中點(diǎn)為定點(diǎn).

解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)/(-2,0)在C上，所以6=2.

因?yàn)闄E圓的離心率e=：=\=],所以。2=9,故橢圓C的方程為^?+：=1.

(2)由題意知，直線(xiàn)尸。的斜率存在且不為0,設(shè)y—3=k(x+2),P(xi,ji),

Q(X2,H),

y—3=fc(%+2),

22

由y2x2得(4左2+9)x+(16F+24左)x+16F+48左=0,則八=(16^+

——十——=1J

194

24k)2-4(4左2+9)(16左2+48左)=一36義48左＞0,

_16/C2+24/C_16fc2+48fc

故X1+%2—-------5------.X1X2----------5------.

4〃+9'4/+9

直線(xiàn)NP:y=^-(x+2),令x=0,解得川=壬，同理得加=當(dāng),

%1+幺％2+幺

則玖/+抄=2乂yi(Q+2)+及(％i+2)

(%1+2)(%2+2)

_(kIi+2k+3)(%2+2)+(kX2+2k+3)(%i+2)

=2nvX--------------------------

(%1+2)(Q+2)

_。^2^1X2+(4k+3)(%i+i2)+8k+12

=2X-------------------------------------------------

%l%2+2(%I+%2)+4

_?乂2%(16憶2+48k)+(軌+3)(-16/-24憶)+(8k+12)(軌2+9)

底16fc2+48/c+2(-16k2-24/c)4-4(4fc2+9)

=2*嘿

=6.

所以MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為也要=3,所以九W的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3).

方法技巧

求解直線(xiàn)或曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路

1.把直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程中的變量X,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那

么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)

于x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn).

2.由直線(xiàn)方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)—州=左(x—xo),則直線(xiàn)必

過(guò)定點(diǎn)(xo,外);若得到了直線(xiàn)方程的斜截式了=區(qū)+加，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(0,m).

3.從特殊情況入手，先探究定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

訓(xùn)練1[2022全國(guó)卷乙]已知橢圓￡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)N(0,

—2),B(|,—1)兩點(diǎn).

(1)求￡的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(b-2)的直線(xiàn)交E于"，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段

交于點(diǎn)T,點(diǎn)〃滿(mǎn)足而=前.證明：直線(xiàn)網(wǎng)過(guò)定點(diǎn).

解析(1):,橢圓￡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)/(0,—2),

...可設(shè)橢圓E的方程為與+。=1,又橢圓￡過(guò)BJ-1),

W42

得次=3,

4W4

的方程為9+9=1.

(2)當(dāng)直線(xiàn)肱V的斜率不存在時(shí)，癡：x=l,

由Lill得產(chǎn)小?尸土等

匕十1_1'

結(jié)合題意可知M(1,一等)，N(1,箸)，

.?.過(guò)〃且平行于x軸的直線(xiàn)的方程為尸一4

易知點(diǎn)T的橫坐標(biāo)xrd[0,1],直線(xiàn)48的方程為了一(-2)一『一火(工一。)，即＞=

2——0

'__2V2

由，丫2b得*1=3—巫，：.T（3—V6,—

哈久-2,

'：MT=TH,：.H（5-2V6,一等），

4V2

2V2_飛（1、日口_2（3+V6）

IzHN：廠(chǎng)方一^7（X—1）,即y---------X-2.

易知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

當(dāng)直線(xiàn)JW的斜率存在時(shí)，如圖，設(shè)M(%i,yi),N(%2,yr),IMN：y=kx+m(k+m=

-2).一

y—lexTtTf

22

由r2v2得(33+4)x+6A：mx+3m—12=0,A>0,

v￡3+54=L

.?_6km_3m2—12

,?X1+X2=-3fc2+4,苫江2=3「+4?

過(guò)M且平行于x軸的直線(xiàn)的方程為y=yi,

y=y^衿_3(yi+2)

與直線(xiàn)48的方程聯(lián)立，得付XT------------

y=-—2,

、J

3(yi+2)、

----2----'yi),

'：MT=TH,：.H(3力+6n,力),

yi—yz

IHN：廠(chǎng)>2=(%—X2)

3yi+6一八一犯

月一丫2丫1-丫2

即尸-x+y2?X2.

3yi+6—%i—%23yi+6一打一犯

（yi~~y2）%2一（肛及+%2、1）+3y，2+6y2—一（%，2+%2丫1）+3y，2+6y2

令X=0,得〉=J2-

3yi+6-亞一亞—(%i+%2)+6+3yi-(%i+%2)+6+3(yi+y2)3y2,

9?*yiy2=(fcri+m)(te+^)=k?X{X2~\~mk(/+%2)+m2=—:今［；叱,6+丁2=(無(wú)vi+

m)+(te+m)=k(xi+%2)+2加=由、，xiy2~\~X2yi=xi(te+m)+%2(Axi+m)

-24k

)

2kxiX2-\~m(xi+x23k2+4’

24k,-36/c2+12m2-36/c2+12m2+24A:-24(/一3攵一2)

沙

(XIH+XD+3yiy2=3k2+43k2+43fc2+43fc2+4

6kmI/I24m6碗+18/+24+2477；_12(/一3左一2)

一))-5---十6十—o—

(%1+%2+6+3(/+>23k2+43k2+43/+4-3k2+4

一24(小一3k-2)

+6y2

3k2+4

12(必一3k-2)2,

一3丫2

3k2+4

直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（0,-2）.

綜上，直線(xiàn)/7N過(guò)定點(diǎn)（0,-2）.

命題點(diǎn)2定值問(wèn)題

例2已知拋物線(xiàn)C：/=20x經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,2）.過(guò)點(diǎn)0（0,1）的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)/,B,且直線(xiàn)產(chǎn)/交〉軸于直線(xiàn)尸5交了軸于N.

（1）求直線(xiàn)/的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，QM=-kQO,QN=nQO,求證：：+工為定值.

解析（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)產(chǎn)=期過(guò)點(diǎn)（1,2）,所以22=4,即2=2.故拋物線(xiàn)。的方程為

爐=4x.

由題意知，直線(xiàn)/的斜率存在且不為0.

設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=fct+l（左W0）.

由［y4x,得左27+（2左一4）x+1=0.

（y=kx+1

依題意，得人=（2左一4）2—4義舊Xl>0,解得左V0或0〈左VI.

又尸4,尸5與〉軸相交，故直線(xiàn)/不過(guò)點(diǎn)（1,-2）.

從而左W—3.

所以直線(xiàn)/的斜率的取值范圍是(一8,-3)U(—3,0)U(0,1).

(2)設(shè)4(xi,yi),5(%2,>2).

由(1)知Xl+l2=——m—,X1X2=識(shí).

直線(xiàn)PA的方程為y—2=--(x—1).

令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為為/=二"乜+2=二星口+2.

%1-1%1-1

kX2+1

同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN=~+2.

^2-1

由QM=A/Q。，QN=|iQ。得九=1一yMf1―yN.

所以一+I—1=--1-+1---1-

入〃i—yMi—yN

I]-1_|_X2_l

(k~l)xi(k—1)X2

_12x1X2—(%i+%2)

k-l%i%2

=2.

所以g+工為定值.

方法技巧

圓錐曲線(xiàn)中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法

1.特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線(xiàn)的影響而有固定的值.

2.兩大解法

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).

（2）引進(jìn)變量法，其解題流程為：

訓(xùn)練2［2023武漢市四月調(diào)研］過(guò)點(diǎn)（4,2）的動(dòng)直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)及馬一言=1（40,b>

arbL

0）交于跖N兩點(diǎn)，當(dāng)/與x軸平行時(shí)，IMNI=4應(yīng)，當(dāng)/與y軸平行時(shí)，=

4V3.

（1）求雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)y=x+l上一定點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PM,PN的斜率分別為后，后2，若左述2為定

值，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解析（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知雙曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)（±2&，2）和點(diǎn)（4,土2百），

Z84

---2

--廬

2a-4

所

以-a--

-2-

16b4

一12

\廬

a2

故雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一匕=1.

44

（2）當(dāng)直線(xiàn)/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=攵（x-4）+2,

y=k(%—4)+2,

2

與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立得%2y2消去y,得(左2—1)X—(8左2—4左)x+16『一

匕—1=1，

161+8=0,A>0.

16k2-16憶+8

設(shè)Af(xi,yi),N(X2,j^2),則xi+x2=%_：,X1X2-k^l-

設(shè)尸(t,r+1),則

（月一1一1）（72—1一1）

k\ki=

_(Zc%l—4fc—t4-l)(/c%2—1+1)

(%1—1)(%2—t)

r2

_k2x1X2~k(4k+t—l)(%i+%2)+(4k+t—1)

X^X2~t(%i+%2)+產(chǎn)

2

(16灰2—16灰+8)—Z(4k+t—1)(8/-4k)+(4k+t—1)(A2—。

16/c2—16fc+8—t(8/c2—4/c)+t2(k2—1)

2

_(t2+2t-ll)k2~8(t-1)k~(t-1)

2?

(t—4)k2+4(t—4)k~(t2—8)

當(dāng)，=4時(shí)，不滿(mǎn)足左次2為定值.

當(dāng)，W4時(shí)，若左次2為定值，則t+2t1：=8,：)=_,1),解得，=3,此時(shí)左1左2=4.

z

(t—4)4(t—4)—(t—8)

（若一個(gè)分式為定值，則對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，因?yàn)橐ＷC分母不為0,所以要考慮f=4和

/W4兩種情況）

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，對(duì)尸（3,4）,也滿(mǎn)足左伏2=4.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）.

命題點(diǎn)3定線(xiàn)問(wèn)題

例3[2023新高考卷n]已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-2擊，0）,離心率

為遮.

（1）求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為小，A2,過(guò)點(diǎn)(一4,0)的直線(xiàn)與。的左支交于M,N兩

點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)〃小與兒42交于點(diǎn)尸，證明：點(diǎn)尸在定直線(xiàn)上.

解析(1)設(shè)雙曲線(xiàn)。的方程為仁一/=1(。>0,6>0),c為雙曲線(xiàn)C的半焦距,

卜=24，伍=2①，

由題意可得｛；=有，解得1=2,

[c2=a2+b2,5=4.

所以雙曲線(xiàn)c的方程為老一些=1.

416

(2)設(shè)M(xi,yi)，N(%2,>2),直線(xiàn)跖V的方程為4,

則x\=my\—4,X2=myi—4.

\x=my—4,

由%22得(4m2—1)爐一32切+48=0.

匕一君y=1'

因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左支交于M,N兩點(diǎn)、,所以47/-1WO,且△>().

I_32m

y]?y22'

......非T所以勿+玖=?1玫.

(乃乃=寸'’

因?yàn)?,也分別為雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn)，

所以4(一2,0),A2(2,0).

直線(xiàn)MA\的方程為上」=三，直線(xiàn)M42的方程為爭(zhēng)一

%l+2x+2%2-2x~2

yiy

所以町+2一至得(%2-2)yi_%-2(my2-6)yi_叼1丫2—6丫2一%—2

(xi+2)f(znyi-2)myiy2_2yx+2"

言’y2x+2y22

因?yàn)閙y,2—6yi

沖1丫2-2,2

_/月、2-6(月+丫2)+6必

my1y2-2y2

-6-yiy+6yz

_myry22

my，2—2y2

_—3myiy2+6y2

myiy2-2y2

=-3,

所以匕=—3,解得x=-l,

x+2

所以點(diǎn)P在定直線(xiàn)X=—1上.

方法技巧

定線(xiàn)問(wèn)題是指因圖形的變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定線(xiàn)上的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)是求

點(diǎn)的軌跡方程，一般先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，看橫、縱坐標(biāo)是否為定值，或者找出橫、縱坐標(biāo)之

間的關(guān)系.

訓(xùn)練3［2023福州市質(zhì)檢］已知拋物線(xiàn)氏y2=2px（p＞0）,過(guò)點(diǎn)（一2,0）的兩條直線(xiàn)

11,/2分別交E于48兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn).當(dāng)/i的斜率為:時(shí)，=V13.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)G為直線(xiàn)與8c的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線(xiàn)上.

解析⑴當(dāng)/i的斜率為:時(shí)，得八的方程為尸|（x+2）.

（y2=2px,

由12消元并整理得，y2—3py+4p=0,

（x+2）,

由弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系得，IABI=J1+（1）2J（3p）2-16p=V13,

即J9P2—I6p=2,解得p=2或p=一：（舍去），

從而E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

（2）設(shè)直線(xiàn)48的方程為夕=魚(yú)（x+2）,左iWO,

由j＞一的+2），消去x并整理得后］/_旬+8左1=0,

（y2=4%,

設(shè)4（y,yi）,B（y,yi）,則w=8.

設(shè)直線(xiàn)CO的方程為夕=依（x+2）,依WO,C除”），D除y4）,同理可得y3y4=8.

直線(xiàn)工。的方程為y—勿=空二與（x-4）,即化簡(jiǎn)得4x—（力+以）＞+

yi_yi4y4+yi"+力

44

yiy4=0,

同理得，直線(xiàn)的方程為4x—（歹2+n）y+y"3=0.

因?yàn)橹本€(xiàn)4。與5c相交，所以沖+竺壬yi+y4,

由14%—（yi+y4）丫+丫1丫4=0，消去y

U%-（、2+乃）y+y2y3=°，

解得九一y2y3（月+丫4）一%、4（及+13）

4［（y2+y3）一（yi+y/

一yiy2y3+y2y3y4—yiy2y4—yiy3y4

45+、3）-（71+74）］

_8y3+8。2—8丫4-8%

4［（72+、3）-（yi+、4）］

=2,

所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為2,即直線(xiàn)4。與BC的交點(diǎn)G在定直線(xiàn)x=2上.

1.［命題點(diǎn)1］已知拋物線(xiàn)C/=-2勿經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1）.

（1）求拋物線(xiàn)。的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程.

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M,N,直

線(xiàn)y=-1分別交直線(xiàn)。ON于點(diǎn)/和點(diǎn)8.求證：以N3為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定

點(diǎn).

解析(1)由拋物線(xiàn)C:N=-2勿經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,—1),得4=2p,解得〃=2,

所以?huà)佄锞€(xiàn)。的方程為N=—4了，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為7=1.

(2)由(1)知拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為(0,-1).

設(shè)直線(xiàn)/的方程為>=履一1(左W0).

由［y：依一1,得r+4代_4=0.

(%2=-4y,

設(shè)M(xi,yi),N(X2,歹2),則xii2=-4.

直線(xiàn)0M的方程為

xi

令V=—l,得點(diǎn)/的橫坐標(biāo)打=-N

yi

同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)切=一欄.

72

設(shè)點(diǎn)。(0,n),則￡M=(——,—1—n),DB=(—,—1—n),

yiyi

DADB=^+(〃+l)2

y/2

=—4+(?+l)2.

令萬(wàn)彳?方5=0,即-4+(〃+l)2=0,得〃=1或〃=—3.

綜上，以45為直徑的圓經(jīng)過(guò)〉軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

2.［命題點(diǎn)2/新高考卷I］已知橢圓C：5+，=1(。>6>0)的離心率為爭(zhēng)且過(guò)點(diǎn)/(2,

1).

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M,N在C上，且ADLMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得I

DQI為定值.

解析⑴由題設(shè)得2+3=1,上/=；,解得層=6,尻=3.

a"W2

所以C的方程為9+9=1.

(2)設(shè)M(xi,yi),N(%2,yr).

若直線(xiàn)MN與％軸不垂直，設(shè)直線(xiàn)的方程為)=履+加，代入^~+［=1得(1+2左2)X2

+4癡x+2加2—6=0.

.r日?4km2m2—6g

于7^X1+無(wú)2=—忘記，刀>=]+2rO-

由/M_L/N知前?麗=0,故（xi—2）（X2-2）+（yi-1）（二-1）=0,可得（爐+

1）x\X2~\~（km—k—2）（xi+%2）+（m—1）2+4=0②.

將①代入②可得（於+1）咨二―（km—k—2）晉9+（771-1）2+4=0,

1+Z/Cl"rZrC

整理得（2左+3%+1）（2左+加-1）=0.

因?yàn)?（2,1）不在直線(xiàn)上，所以2后+加一1W0,故2左+3加+1=0,k#l.

于是ACV的方程為>=左（x-|）OWl）.

所以直線(xiàn)血W過(guò)點(diǎn)尸.

若直線(xiàn)MV與x軸垂直，可得N（xi,—yi）.

由前?前=0得（xi—2）（xi—2）+（勿一1）（一力-1）=0,則比=猶一4xi+5.

又費(fèi)+號(hào)=1,將上式代入可得3a-8xi+4=0,解得xi=2（舍去）或xi=|.

此時(shí)直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)尸~1）.

令。為/P的中點(diǎn)，即Q41）.

若D與P不重合,則由題設(shè)知/尸是Rt4/DP的斜邊，

故IDQIWIAPI=斗.（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半）

若。與P重合，則I。。I=，NPI=挈

綜上，存在點(diǎn)Q（g,,使得II為定值.

（---------------------;練習(xí)幫；練透好題精準(zhǔn)分層---------------------------

d學(xué)生用書(shū)?練習(xí)幫P366

1.[2023陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬]已知雙曲線(xiàn)C：5一，=1（a>0,b>0）的右

頂點(diǎn)為/,。為原點(diǎn)，點(diǎn)尸（1,1）在C的漸近線(xiàn)上，的面積為去

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)/交C于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)G,H為

NG的中點(diǎn)，證明：直線(xiàn)/"的斜率為定值.

解析⑴因?yàn)槭?,1）在C的漸近線(xiàn)上，所以。=6.

因?yàn)?（.a,0）,所以△P/O的面積為/=|>

解得。=1,所以6=1,

所以。的方程為X2—y2=1.

（2）當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，不符合題意，舍去.

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/的方程為了一1=左(X—1),M(XI,Ji),N(X2,

/）,

由*1"fe（X1）'得（1-F）/—2左（1—后）X一尸+2左一2=0,A=4左2（1—左）2-4（1

\.x2—y2=1,

一左2）（一后2+2左一2）=8—8k,

1一后W0,4Dc

由得左VI且左W—1,

A>0,

fib】I2kk2-2k+2

則X1十X2=1］，X\X2=k2_1.

直線(xiàn)4M的方程為>="1一(x—1),

%i—1

令X=X2,得G（X2,yi(犯一1))

%］一］

n<X2-D+Y2

因?yàn)镠為NG的中點(diǎn),所以H（X2,----）,

yi(匐一0

+、2

—1

所以3—1d+上）

2%1-1X2~l

k（%i—1）4-1?k（冷―1）+1_ci1?1

因?yàn)椤秗+負(fù)IILI'?

%1—1X2-lX1—l%2-1

巧+32-2

=2—2k,所以心”=1,

/一Xl%2—（久l+%2）+1必—2k+22k「

1X2-l

所以直線(xiàn)4〃的斜率為定值.

2.[2024四川宜賓第四中學(xué)模擬]如圖，已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>

0)的焦點(diǎn)為RD(1,0),點(diǎn)尸是在第一象限內(nèi)且在。上的一個(gè)動(dòng)

^*!■7IIt\n-----1

點(diǎn)，當(dāng)。尸與X軸垂直時(shí)，I尸尸1=1，過(guò)點(diǎn)P作與C相切的直線(xiàn)/交y\

軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于1,3兩點(diǎn).

(1)求。的方程.

(2)延長(zhǎng)尸交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)。.設(shè)直線(xiàn)48,OQ(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為

h,k2,證明：售為定值.

解析⑴當(dāng)。P與X軸垂直時(shí)，|尸尸|不，則由拋物線(xiàn)的定義可得1+2=9，解得P=

424

1

2f

所以。的方程為y2=x.

-1__

(2)設(shè)尸(xo,次)，對(duì)于產(chǎn)=%,當(dāng)y>0時(shí)，y=y[x,,所以次=占^,直線(xiàn)尸M

的斜率為

當(dāng)直線(xiàn)PD的斜率存在時(shí)，將直線(xiàn)PD的方程＞=豆（x—1）與拋物線(xiàn)方程產(chǎn)=》聯(lián)立,

%。—1

消去工并化簡(jiǎn)，得/一個(gè)赤茅一1=0,易得A＞0,設(shè)。（%0,yo）,則＞0迎=—1,所以歹。

__j___1

yo屈，

（直線(xiàn)尸。與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)P,這是一個(gè)直白的、但容易燈下黑的條件，這里

根據(jù)“外y2=￡”可以直接求出兵）

把點(diǎn)。的縱坐標(biāo)代入》=且G-1）,得碩=工，所以。（工，一三）.

XQ-1%0孫國(guó)

因?yàn)橹本€(xiàn)45與切線(xiàn)/垂直，所以左1=7工，和kpM===,所以左i=-

kpM2屈V

又。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以左2=5=一佝.

所以善=2.當(dāng)直線(xiàn)PD的斜率不存在時(shí)，p（1,1）,Q（1,-1）,此時(shí)后=一2,依=一

幻一

1,所以暑=2.

故

綜上，?為定值2.

3.[2024福州市一檢]已知橢圓E：9+[=1的右焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為4B點(diǎn)C

在E上，P（4,yP）,Q（4,yQ）分別為直線(xiàn)/C,2C上的點(diǎn).

（1）求＞7^0的值；

（2）設(shè)直線(xiàn)5尸與E的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求證：直線(xiàn)CZ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸.

解析解法一（1）如圖，依題意，A（—2,0）,B（2,0）.

設(shè)C（XI,以），則）+9=1,

直線(xiàn)ZC的方程為（％+2）,令x=4得抄=包三

%1+2%1+2

直線(xiàn)5C的方程為勺一（X—2）,令x=4得y0=3-,

%1—2%i-2

所以抄現(xiàn)=消9,

即ypyQ的值為-9.

（2）設(shè)。（X2,＞2）,P（4,。，則直線(xiàn)4尸的方程為＞=[G+2）,直線(xiàn)5尸的方程為V

=；（x-2）.

2

y=-（汽+2）,

由6得（5+27）12+4做+4戶(hù)一108=0,

3x2+4y2=12,

其判別式加＞0,所以-2^=宅票，即xi=3^f，

故力=33+2）=畀.

y=—(x-2)

由2〃得(1+3)*2—4?x+4f2—12=0,

3x2+4y2=12,

其判別式42>0,

2-—

、？口門(mén)八、

所ru以,2cX24=t2—F1J2，即X22=td6，.故,V=5t(Xz2—2)=^6.t

因?yàn)門(mén)7(1,0),所以向量FC=(xi-1,yD,FD—(12—1,?2),

22

27~3t~6tt~918t—6t(27—3產(chǎn)+3產(chǎn)―27)

則(xi—1)yi~(X2~1)yi=0,

2222

27+t產(chǎn)+3產(chǎn)+327+t(t+3)(27+t)

故而與麗共線(xiàn),

所以直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)、F.

解法二(1)依題意，A(-2,0),B(2,0).

設(shè)C（羽，力），則,十日=1,

yi_yi3

所以kAC'kBC

%l+2xi~241

即一■|=fcip,總°=聾,熱，故”也的值為一9.

（2）設(shè)。（X2,歹2）.

要證直線(xiàn)CQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,0）,

只需證向量同=（XI—1,J1）與前=（X2-1,?）共線(xiàn),

即證（4-1）yi=（%2—1）yi.（*）

2

因?yàn)?+?=1==二+9,所以（4+2）：1—2）=.

%3Xi-2y

所以kACP

%1+24yl6：

3x+2y

同理可得熱Q=yz2P

x2—24y22

所以警=R月=!，即xiy2_3x”i+6yi+2y2=0,①

^BD（%i+2）y23

同理可得一3苫必+改力+2了1+6夕2=0,②

①一②得4xiy2—4x2%+4%-4y2=0,即（為一1）yi.=（助-1）yi.

所以（*）式成立，即直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸.

4.[2024江西九校聯(lián)考]已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）,直線(xiàn)x=Ja+1交拋物線(xiàn)C于

A,8兩點(diǎn)，且AONB的面積為2舊（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求實(shí)數(shù)p的值；

（2）過(guò)點(diǎn)。（2,0）作直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)C于尸，0兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,證

明：直線(xiàn)P。過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解析⑴易得直線(xiàn)x=da+l過(guò)點(diǎn)（1,0）,

設(shè)/（xi,yi）,B（%2,yi）,

,（x=yf2y+1,,0_r-

由《y2—2y[2py—2p=0,

（y2=2px,

所以巾+歹2=2&0y\y2=—lp,

2—2

所以Iyi~y2I=J（丫1+丫2）4y1y2=J（2V2p）—4x（—2p）=212（p2+p）,

所以△045的面積S=[><1X|yi~y2I=12（p2+p）=2V3,

又夕>0,所以2=2（2=一3<0舍去）.

（2）由（1）得拋物線(xiàn)C的方程為產(chǎn)=4x.

設(shè)尸（X3,>3）,Q（X4,J4）,不妨令歹4>歹3,則尸'（％3,一丁3）.

設(shè)直線(xiàn)/的方程為％="+2,（直線(xiàn)/的另一種設(shè)法為〉=左（X—2）,請(qǐng)注意對(duì)這兩種設(shè)法

的取舍）

由1%墳+2,消去x,得產(chǎn)_4卯_8=0,

iy2=4%,

貝1?3+歹4=4，，>3/=-8.

直線(xiàn)P。的方程為歹一（一J3）='4——為）（-）,

X4-X3XX3

即（X4—X3）y+x4y3=（w+y3）X—y4X3,

即（"4一川3）y+（夕4+2）乃=（必+/）x—y4（"3+2）,

即t（%一丁3）y=（以+丁3）X-2"4y3-2（竺+y4）,

即]（、4+丫3）2—4y4y3，=（必+>3）x—2ty4y3—2（”+/）,

即，J（4t）—4X（—8））=4及一2tX（—8）—2X4Z,Fpty/t2+2y=t（x+2）.

令,+2=0,得'=一2,

ly=0,ly