人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-分式（解析版）

第01講分式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握分式的概念并能夠根據(jù)概念熟練解題。

①分式的概念2.掌握分式有意義的條件，并能夠熟練解決相應(yīng)的題

②分式有意義的條件目。

③分式的性質(zhì)3.掌握分式的性質(zhì)，能夠熟練的應(yīng)用分式性質(zhì)進(jìn)行約分

和通分。

思維導(dǎo)圖

分式有意義的條件

分式的基本性質(zhì)

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01分式的概念

1.分式的概念：

A

一般地，若A與8均是整式且3中含有字母，那么式子一叫做分式。其中A叫做分子,

B

B叫做分母。

2.分式滿足的三個(gè)條件：

A

①式子一定是一的形式；

B

②A與B一定是整式；

③8中一定含有字母。

簡(jiǎn)單理解：分母中含有字母的式子就是分式。

題型考點(diǎn)：①分式分判斷。

【即學(xué)即練1】

1.下列各式，層.221x+13，也，屬于分式的有（

3n2Dx+12

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解答】解:x+13.是分式，共2個(gè).

px+1

故選：C.

【即學(xué)即練2】

21

2.代數(shù)式2x,12x22_1x+1匚k中,屬于分式的有（）

5元X2+4xX-1

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

21

分式有：一一

【解答】解:2X+1

x?+4x7^2X-1

整式有：2尤,

5*

分式有4個(gè),

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02分式有意義的條件

1.分式有意義的條件:

A

即要求分式的分母不能為0。即一中，B不為0。若分母能夠進(jìn)行因式分解，現(xiàn)將分母進(jìn)

B

行因式分解，讓每一個(gè)因式都不為0。

題型考點(diǎn)：①根據(jù)分式有意義的條件求值。

【即學(xué)即練1】

式子需有意義（

3.當(dāng)x取什么值時(shí),)

A.x=—B.尤=-5C.x^—D.尤W-5

22

【解答】解：由題意可得X+5W0,

則xW-5,

故選：D.

【即學(xué)即練2】

4.若分式絲且有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是xW-7.

x+7

【解答】解：?.?分式虻工有意義,

x+7

.'.x+7^0,

解得xW-7.

故答案為：xW-7.

【即學(xué)即練3】

5.當(dāng)x為一切實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（）

C.x?+lD.

x3+l1x1-1

【解答】解：A.當(dāng)x=-l時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意;

B.?.,/》（），

；.?+1>0,

.?.當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，該分式一定有意義，故本選項(xiàng)符合題意；

C.當(dāng)x=-l時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

D.當(dāng)》=土1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)03分式的值

1.分式的值為。的條件：

分式的值為0的條件為要求分子必須為0,同時(shí)要求分母不為—0o

A

即一中，A=0,BW0。

B

對(duì)能分解因式的分子分母進(jìn)行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0,讓分母里面所有因式的

值不等于0o

題型考點(diǎn)：①分式值為0的條件。

【即學(xué)即練11

2

6.若分式三口的值為0,則無(wú)的值是（）

21

x-1

A.0B.1C.1或0D.0或-1

【解答】解：根據(jù)題意得/-x=0且1W0,,

解得x=0.

故選：A.

【即學(xué)即練2】

7.分式（x+2;（x+3）的值為0,則x的值為（）

x-4

A.2或-2B.2C.-2D.-3

【解答】解：?.,分式（紀(jì)的值為0,

x-4

???（x+2）（x+3）=0且/-4W0,

解得：x=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=-3是方程的解，

故選：D.

【即學(xué)即練3】

8.若分式」*的值為0,則x的值為（）

x+3

A.±3B.0C.-3D.3

【解答】解：由題意得（鼠卜3=0,

Ix+ST^O

解得％=3.

故選：D.

2.分式的值：

AA

若分式一的值是正的，則45>0,即A與B同號(hào)；若分式一的值是負(fù)的，則45V0,即A與5

BB

異號(hào)。

題型考點(diǎn)：①根據(jù)分式的值求取值范圍。②根據(jù)式子的值求分式的值

【即學(xué)即練1】

9.若使分式工5的值為負(fù)數(shù)，則x可以取的值為（）

2x-5

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：?；/+：!>0,

.?.當(dāng)分式史工的值為負(fù)數(shù)時(shí)，

2x-5

2x-5<0,

解得X<$，

2

故選：A.

【即學(xué)即練2】

10.若分式6”2的值為整數(shù),則正整數(shù)％的個(gè)數(shù)為()

【解答】解：6汴2

x-x-6

—6(x+2)

(x-3)(x+2)

=6

?.?分式6廣12的值為整數(shù),

x-x-6

.?.X-3=±1或±2或±3或±6,且％+2W0,

二.正整數(shù)冗=4或2或5或1或6或9,共6個(gè),

故選：B.

【即學(xué)即練31

22

11.已知x+y=5,孫=2,則x.的值為(

x2y+xy2

27

10

【解答】解：原式=?皿2

xy(x+y)

把x+y=5,孫=2代入得：

原式=空2=21.

2X510

故選：D.

【即學(xué)即練4】

12

12.已知x工=2，則--------的值是()

X-x4“,+n2.-x2".+1l

1

9

42

【解答］解：Vx+2x+l=x2+2+1.

22

xx

—(x~—)2+2+2

=4+2+2

=8,

2

x的值為工,

X4+2X2+18

故選：c.

知識(shí)點(diǎn)04分式的性質(zhì)

1.分式的性質(zhì)的基本內(nèi)容：

分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于o的整式,分式的值.不變

2.式子表達(dá)：

AACAA-i-C

（A、B、C均是整式且CWO）

B~BC'B~B+C

3.分式的符號(hào)改變法則:

分式的分子，分母以及分式本身均有符號(hào),改變其中任意兩個(gè)符號(hào)分式不會(huì)發(fā)生改變。

A—A—AA

即13rl：一=---=-----=-----

B-BB-B

題型考點(diǎn)：①分式基本性質(zhì)的應(yīng)用。

【即學(xué)即練11

13.下列等式從左到右的變形一定正確的是（)

2

A軟=g軟=acCD.曳=旦_

bb+mbbe,bk-bbb2

【解答】解：A、旦片至私（相#0）,所以A選項(xiàng)不正確;

bb+m

B、若c=0,則且力生，所以2選項(xiàng)不正確;

bbe

c、包￡=曳，所以c選項(xiàng)正確；

bkb

D、A=所以￡）選項(xiàng)不正確.

bb2

故選：c.

【即學(xué)即練2】

14.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（）

2b

A.-A_aQ-2aD.4a

a-b-2ba+2b2a-4b

【解答】解：A.??2a2aa

2a-2b2(a-b)a-b

2a于__a_,故本選項(xiàng)不符合題意;

a-2ba-b

B._匆_/」_,故本選項(xiàng)不符合題意;

a-2b~2b

Q2a_-2a豐-2a故本選項(xiàng)不符合題意；

a~2b~a+2ba+2b

D2a_2aX2_至一，故本選項(xiàng)符合題意;

-a-2b(a-2b)X22a-4b

故選：D.

【即學(xué)即練3】

15.若把分式維中，尤、y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則分式的值()

x+y

A.不變B.擴(kuò)大3倍C.擴(kuò)大9倍D.不確定

【解答】解：3X3X.=9xJ幺，所以分式的值不變.故選人

3x+3y3(x+y)x+y

【即學(xué)即練4】

16.把分式立中的尤，y都變?yōu)樵瓉?lái)的5倍，則分式的值()

x+y

A.變?yōu)樵瓉?lái)的5倍B,不變

C.縮小到原來(lái)工D.變?yōu)樵瓉?lái)的25倍

5

【解答】解：曳電工學(xué)Rq.

5x+5y5(x+y)x+y

.??分式的值不變，

故選：B.

題型精講

題型01分式的判定

【典例1】

2

下列各式：3a+b212R1X二,分式有（）

~Tx5y，5,

ax-lX

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：1上1，三2-是分式,

ax-1x

故選：C.

【典例2】

a+b2121

下列各式：3x5y，3s,工中，分式有（)

a~7~x-l8m

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

a+b131

【解答】解:下列各式：322,5,其中，分式有:—,—，―,共有3

a~7~x2丫x-l8max-8m

個(gè).

故選：C.

【典例3】

xtx+x*其中分式有（

下列各式：/+5x,)

—2---x-

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2X

【解答】解:七區(qū)是分式，共1個(gè),

x

故選：A.

【典例4】

在式忖券;3abe.59』式中，分式的個(gè)數(shù)是（

)

4-6+xyx

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：在式子工；2xy；3abe5

a兀~4~6+x9吟4

x2

分式有：1;_L_；9x%

a6+xx

即分式有4個(gè).

故選：B.

題型02分式有意義的條件

【典例1】

要使分式一2—有意義，則x應(yīng)滿足（）

l-x

A.x>\B.x<lC.xWlD.x=l

【解答】解：?.?分式/-有意義，

l-x

1-xWO,

解得1.

故選：C.

【典例2】

要使分式互1有意義，則X應(yīng)滿足的條件是（）

x-2

A.%W2B.%W0C.xW-1D.-2

【解答】解：依題意得：x-2W0,

解得xW2.

故選：A.

【典例3】

要使式子乂變支有意義，則m的取值范圍是（）

m-1

A.m2-1且小W1B.mW1C.m>1D.m>-1

要使式子強(qiáng)［有意義,

【解答】解:則m-1/0,

m-l

解得mW1,

故選：B.

【典例4】

下列分式中，有意義的條件為％W2的是（)

x-2

A?七C.XD.

B?貴7^x-l

二有意義，

【解答】解：4、?；.?.2x-4#0,解得x豐2,符合題意;

2x-4

;工有意義,

B、.?.x+2#0,解得xW-2,不符合題意;

x+2

C、有意義，.?.X+2W0,解得尤W-2,不符合題意;

x+2

D、?.?三2有意義，1W0,解得xWl,不符合題意.

X-1

故選：A.

題型03分式值為0的條件

【典例1】

2_o

當(dāng)x______時(shí)，分式7~的值為0.()

(x-1)(x-3)

A.x=3B.x=lC.x=±3D.x=-3

f2

【解答】解：由題意得：X-9=0,

L(x-1)(x-3)盧0

解得力=-3.

故選：D.

【典例2】

若分式x（x-l）（X-2）的值為。則X的值為（）

x"-4

A.0或1或2B.0或-2或2C.0或1D.0或-2

【解答】解：?.?工（旦5-2）的值為0,

x-4

.,.x（x-1）（x-2）=0且/-4W0,

解得：x=0或x=l.

故選：C.

【典例3】

如果分式」X1:2的值為零,那么X等于（）

x-2

A.2B.-2C.2或-2D.0

【解答】解：..Jx的值為零,

x-2

/.W-2=0且無(wú)-2#0,

解得x=-2.

故選：B.

【典例4】

2

若分式工^的值為0,則X的值為（）

x+8

A.8B.-8C.8或-8D.4

【解答】解：由題意得:

X2-64=0,

x+87t0

解得x=8.

故選：A.

題型04式子的求值問(wèn)題

【典例1】

若分式與魚(yú)的值為負(fù)數(shù)，則X的取值范圍是（）

x2+l

A.%為任意數(shù)B.x<2C.x>-2D.%W2

【解答】解：V?+l>0,

要使分式絡(luò)生的值為負(fù)數(shù)，

xJ+l

即2x-4<0,

：.x<2.

故選:B.

【典例2】

若分式紅白的值為正，則x的取值范圍是（）

X

A.Y〉/B.

22

C.X>-A,且無(wú)WOD.x<-X

【解答】解：???/>（）,且xwo,分式筆L的值為正，

x

：.2x+l>0,

..x>」，

X2

X〉」?且無(wú)WO.

2

故選：C.

【典例3】

若分式￡'-12的值為正整數(shù),則整數(shù)x的值為0,1.

x-2x-3

【解答】解：?餐-124（,3]=_A_值為正整數(shù),且x#3,

X2_2X_3（X-3）（X+1）X+1

整數(shù)尤的值為0,1.

故答案為：0,1.

【典例4】

則2x-3xw2y的值為（

若尸）

■l-2xy+xy-x

A.—B.-1c.上D.J-

333

?\y-2xy=x,

?力-x=2xyf

?2x-3xy-2y2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

_~7xy

3xy

-—--7，

3

故選：D.

【典例5】

已知?-3x-m=0,則代數(shù)式一^——的值是（）

x-x-m

A.3B.2C.—D.—

32

【解答】解：由x2-3x-m=0得冗2-m=3%,

則X=X上二,

2

x_x_m3x_x2x2

故選：D.

題型05分式的性質(zhì)

【典例1】

下列等式從左到右變形正確的是（）

22口

A.^—=xB.———-=1

X3X2

2

C,且=-1D.工事

x-yxv2

21

【解答】解：A.鼻=工，故本選項(xiàng)不符合題意;

.3V

B.2/=1+二，故本選項(xiàng)不符合題意；

x22x

C.±X.=-（x-y）=7,故本選項(xiàng)符合題意;

x-yx-y

D.工W",故本選項(xiàng)不符合題意.

Xx*x

故選：C.

【典例2】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式上（x盧0,y。0）中的分子、分母的尤,y同時(shí)擴(kuò)大2倍,那么分式的值（

x+y

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.改變D.不改變

【解答】解：根據(jù)題意得：-^—=—在—=工，

2x+2y2（x+y）x+y

即分式的值不改變.

故選：D.

【典例3】

若分式史紇中的x,y都擴(kuò)大原來(lái)的3倍，那么分式的值（）

3x-2y

A.擴(kuò)大為原來(lái)的9倍B.擴(kuò)大為原來(lái)的3倍

C.不變D.縮小到原來(lái)的2

3x+2X3y_3(x+2y)_x+2y

【解答】解：分式的都擴(kuò)大原來(lái)的

x,y3f3X3x-2X3y―3(3x-2y)—3x-2y

即x,y都擴(kuò)大原來(lái)的3倍后分式的值不變，

故選：C.

【典例4】

下列分式從左到右的變形中正確的是（）

x二1

x(mtn)m+n

C.三上11_a

yy+1a_2a(a_2)

【解答】解：A、/X=上故A不符合題意;

X（x-l）X-1

B、,X故B符合題意；

x（m+n）m+n

c、故C不符合題意；

yy+1

（〃/0）,故。不符合題意;

a(a-2)

故選：B.

【典例5】

分式變形上=/_中的整式4=2》,變形的依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不

2

x+2X-4

等于0的整式，分式的值不變.

【解答】解：：/-4=（x+2）（X-2）,

.?.分式變形一—=<—中的整式A=x（x-2）=x2-2x,

2

x+2X-4

依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變.

故答案為：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

1.下列式子中是分式的是（

c.m

~2~2a-b

【解答】解：工，紇L,三是整式;

526

故選：C.

2.若分式一不論x取任何數(shù)總有意義，則相的取值范圍是（）

x-2x-hm

A.m^lB.YYI>1C.D.mW1

【解答】解：???不論x取任何數(shù)分式總有意義，

Ax2-2x+m7^0,

J方程?-2%+根=0無(wú)解，

A=4-4m<0,

解得：m>1,

故選：B.

3.下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=3時(shí)，空!2_的值為0

x-3

B.當(dāng)x#3時(shí)，上乜有意義

X

C.無(wú)論X為何值，工不可能是整數(shù)

X+1

D.無(wú)論x為何值，年一的值總為正數(shù)

x2+l

【解答】解；A.當(dāng)x=3時(shí)，空!支無(wú)意義，故A不符合題意.

x-3

B.當(dāng)x#0時(shí)，三3有意義，故3不符合題意.

x

C.當(dāng)x=4、0、-2、-6時(shí)，是整數(shù)，故C不符合題意.

x+1

。.根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得/+1>0,即無(wú)論x為何值，年-的值總為正數(shù)，故Z）符合題意.

x2+l

故選：D.

2

4.下列結(jié)論：①無(wú)論。為何值，力一都有意義；②當(dāng)。=-1時(shí)，分式用L的值為0；③若三二L的值

a+1a-1x-1

為負(fù)，則尤的取值范圍是無(wú)<1;④若包.211有意義，則x的取值范圍是xW-2且其中正確

x+2x

的個(gè)數(shù)是（

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:①?.小2,

.,.a2+1^1^0,

不論。為何值"一都有意義，故此結(jié)論正確；

a2+l

②?.,當(dāng)4=-1時(shí)，

/.a2-1=1-1=0,此時(shí)分式無(wú)意義，故此結(jié)論錯(cuò)誤；

③?.?若的值為負(fù)，

X-1

???％-1<0,

Ax<l,故此結(jié)論正確；

④；包?三包有意義，

x+2x

'x+2戶0

x卉0，

x+lKO

解得xW-2,尤#0且x#-1,故此結(jié)論錯(cuò)誤.

綜上所述，其中正確的個(gè)數(shù)是2.

故選：B.

5.若包萼，則史主的值為（）

b2a

A.—B.—C.—D.—

3552

【解答】解：?.?包=3,

b2

?R2a

3

.a

則a+b__3_=^.1

aa3

故答案為：A.

6.不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（）

A.-a+ba+bB.-x+1

-a-ba-b-x-1x+l

-

C.11D.-ba_a+b

-x+yx+y-a-ba-b

【解答】解：不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同除以-1,

故選：B.

7.如果將分式空之上中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值（）

xy

A.不變B.擴(kuò)大到原來(lái)的9倍

C.縮小到原來(lái)的1D.擴(kuò)大到原來(lái)的3倍

3

【解答】解：把龍和y都擴(kuò)大3倍后，原式=織曳=在①，

9xy3xy

約分后縮小到原來(lái)的1,

3

故選：C.

8.已知三個(gè)數(shù)。、b、c滿足二U,冬,則__abc_的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

D-20

【解答】解：???工』，昆=1,與

a+b5b+c6c+a7

?a+b：b+crc+a

abbeca

abbcac

：.2（1二」■）=18,

abc

.111.Q

abc

???--a-b-c------_1-,

ab+bc+ca9

故選：A.

9.下列四個(gè)代數(shù)式1,mf-1,x+1,請(qǐng)從中任選兩個(gè)整式，組成一個(gè)分式為二一（答案不唯一）（只

-x+1

需寫(xiě)出一個(gè)即可）.

【解答】解：分式為‘

X+1

故答案為：_±_（答案不唯一）.

x+1

10.已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，|刑=2,則且生_方2+23的值是-2

m

【解答】解：???〃，?；橄喾磾?shù)，c,d互為倒數(shù)，閉=2,

.??〃+/?=（）,cd=l,m=4,

.-.AtL_m2+2cd=0-4+2=-2.

故答案為：-2.

11.如果分式」ml二f的值等于0,那么m=-4.

Im-4I

【解答】解：由題意得:|刑-4=0且防-4|#0,

.?.m=±4且

Am的值為-4,

故答案為：-4.

222

12.已知衛(wèi)二的值為5,若分式3一中的％、y均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則工-的值為10

x+yx+yx+y

2

【解答】解：?.?工-=5,

x+y

...（2x）2==^^=2*5=]0,

2x+2y2x+2yx+y

故答案為：10.

13.已知a,b,c均是非零有理數(shù)，請(qǐng)完成下面的探索：

（1）試求丁義丁的值；

IaI

（2）試求生+占的值；

lailbI

（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出生+占+4T的值.

IaIlbIIcI

【解答】解：（1）當(dāng)。為正數(shù)時(shí)，1當(dāng)=