2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)：三角形中的幾個(gè)重要幾何模型 知識(shí)梳理與講解

專題11.12三角形中的幾個(gè)重要幾何模型（知識(shí)梳理與考點(diǎn)

分類講解）

第一部分【模型歸納】

【模型一】燕尾模型

如圖：這樣的圖形稱之為“燕尾模型”

結(jié)論：ABDC=4A+4B+4C

【模型二】8字模型

如圖：這樣的圖形稱之為“8字模型”

結(jié)論：

【模型三】三角形角平分線（內(nèi)分分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙內(nèi)角平分線模型

條件：BI、67為角平分線

結(jié)論：ZBIC=90°+-ZA

''2

【模型四】三角形角平分線（內(nèi)外分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形內(nèi)外角平分線模型”

試卷第1頁(yè)，共10頁(yè)

結(jié)論：/P=g/4

【模型五】三角形角平分線（外外分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙外角平分線模型

條件：BP、CP為角平分線

結(jié)論：ZP=90°--ZA

2

【模型六】角平分線+平行線模型

條件：CP平分乙4CB,DE平行于3C

結(jié)論：ED=EC

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】燕尾模型

【例1】

1.如圖所示，已知四邊形/8DC,ZBDC=ZA+ZB+ZC.

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

D

/C

B

【變式1]（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）

2.在社會(huì)實(shí)踐手工課上,小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果”=52。,4=25。,

/。=30。,/。=35。,/￡=72。，那么/尸的度數(shù)是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

【變式2】

3.如圖，ZA+NB+NC+ND+NE=.

【題型2】8字模型

【例2】

4.如圖，求44+N8+/C+ND+NE+N尸的度數(shù).

試卷第3頁(yè)，共10頁(yè)

【變式1]

5.如圖，AB和CD相交于點(diǎn)。，Z^=ZC,則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）

C.z2>zDD.zC=<D

【變式2】

6.下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），/E與AD的交點(diǎn)為C,且NB,ZE保持

不變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使/項(xiàng)*=110。，則圖中ND應(yīng)_________（填“增力口”

或“減少”）度.

【題型3】三角形的角平分線（內(nèi)內(nèi)分模型）

【例3】（22-23八年級(jí)上?江西贛州?期中）

7.如圖，在AIBC中，

⑴如果/3=4cm,NC=3cm,8C是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

（2）如果BP、CP分別是443c和ZJC2的角平分線.

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

0、當(dāng)乙4=45。時(shí)，求NBPC的度數(shù).

b、當(dāng)乙4=x。時(shí)，求乙BPC的度數(shù).

【變式1】

8.如圖，“8C中，N23C與//C8的平分線交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作。￡7/2。交于點(diǎn)。,

交AC于點(diǎn)、E,那么下列結(jié)論：

①△AD尸和△CEF都是等腰三角形

@DE=BD+CE；

@BF>CF-

④若乙4=80°,則NBFC=130°.

其中正確的有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【變式2】

9.如圖，在“3C中，已知//=70。，/ABC、的平分線05、OC相交于點(diǎn)O,

則ZBOC的度數(shù)為.

A

【題型4】三角形的角平分線（內(nèi)外分模型）

【例4】

10.如圖，在4ABD中，NABD的平分線與NACD的外角平分線交于點(diǎn)E,zA=80°,求ZE

的度數(shù)

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

A

E

【變式1]

11.如圖，BA1和CAi分別是AABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA?是NA^BD的角平分

線CA2是NAiCD的角平分線，BA3是A?BDN的角平分線，CA3是NA2CD的角平分線，若

z_A]=a,貝!JNA2013為（）

A.------

2013

【變式2】

12.如圖，84和分別是。2C的內(nèi)角平分線和外角平分線，84是的平分線，C&

是N4CD的平分線，84是的平分線，C4是N4。的平分線，……以此類推，若

//=a，則Z4O2O=_____.

【題型5】三角形的角平分線（外外分模型）

【例5】

13.如圖，已知在AA8C中，NB、/C的外角平分線相交于點(diǎn)G,若ZABC=m°,

NACB=n°,求/3GC的度數(shù).

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

【變式1】

14.如圖，在。8C中，/48C和//C3的外角平分線交于點(diǎn)0,設(shè)乙4=加，貝

()

A.90°-mB.90°——C.180°-2mD.180°

22

【變式2】

15.如圖，△N8C中，分別延長(zhǎng)ZUBC的邊/8、NC到。、E,NC8。與N8CE的平分線相

交于點(diǎn)P,愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1)若乙4=60°,則4尸=°；

(2)若乙4=40。，則/尸=°；

(3)若乙4=100。，則"=°；

(4)請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納乙4與乙？的關(guān)系.

【題型6】角平分線+平行線模型

[例6]⑵-24八年級(jí)上?四川瀘州?期末)

16.如圖，在AA8C中，ZA=M°,BO^ZABC,CO^ZACB,過(guò)點(diǎn)。作3c的平行

線與/5,4C分別相交于點(diǎn)M,N.若48=6,/C=8.

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

B

（1）求/BOC的度數(shù);

⑵求的周長(zhǎng).

【變式1】

17.如圖，4EFG的三個(gè)頂點(diǎn)E,G和尸分別在平行線AB,CD上，F(xiàn)H平分乙EFG,交

線段EG于點(diǎn)、H,若乙4M=36。，乙BEG=57。,則乙陽(yáng)廠的大小為（）

C.90°D.95°

【變式2】

18.如圖，AEFG的三個(gè)頂點(diǎn)E,G和尸分別在平行線4B,CD上，F(xiàn)H平分~/EFG,交

線段EG于點(diǎn)H,若乙4￡尸=36。，NBEG=57。，則/瓦不的大小為.

AEB

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?四川達(dá)州?中考真題）

19.如圖，在AA8C中，AE1,3&分別是內(nèi)角/C48、外角/C5D的三等分線，且

NE[AD=；NCAB,NE[BD=；NCBD,在中，AE2,8與分別是內(nèi)角/石/?，外角

的三等分線.且NE2AD=gNEJB,NE2BD=；NE\BD,…,以此規(guī)律作下去.若

ZC=m°.則/紇=度.

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

ABD

【例2】（2019?遼寧鐵嶺?中考真題）

20.如圖，在ACEF中，ZE=80°,/尸=50°,AB//CF,AD//CE,連接3C,CD,則//

的度數(shù)是（）

、D

A.45°B.50°C.55°D.80°

【例3】（2020?北京?中考真題）

21.如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是（）

）

A.Z1=Z2B.z2=z3C.zl>z4+z5D.z2<z5

2、拓展延伸

【例1】

22.如圖1所示的圖形,像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形

圖“，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：

AA44

Hi

圖1圖2圖3圖4

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究NADC與乙4、NB、/C之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由；

試卷第9頁(yè)，共10頁(yè)

(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺M(jìn)2放置在“8C上，使三角尺的兩條直角邊打、AZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B、C,若乙4=50。，直接寫出/4BX+N/CV的結(jié)果；

②如圖3,DC平分/ADB,EC平分N4EB,若NCME=50。,/。2￡=130。，求/DCE的

度數(shù)；

③如圖4,NN82N/CD的10等分線相交于點(diǎn)Gl、G2、…、Gg,若4DC=140。,45。=77。,

求的度數(shù).

【例2】

圖②圖③

(1)如果々=70。，求N8PC的度數(shù)；

(2)如圖②，作人45。外角四C,XVC3的角平分線交于點(diǎn)0,試探索乙。，乙4之間的數(shù)量

關(guān)系.

(3)如圖③，延長(zhǎng)線段5P,QC交于點(diǎn)E,在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3

倍，求乙4的度數(shù).

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

1.見(jiàn)解析

【分析】方法1連接5C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；

方法2作射線4D,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到N3=4+N1,Z4=ZC+Z2,兩式相加即可

得到結(jié)論；

方法3延長(zhǎng)8。，交NC于點(diǎn)￡,兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】方法1如圖所示，連接2C.

在“BC中，//+N/8C+N/C8=180°,ZA+ZABD+Z1+ZACD+Z2=1SO°.

在△BCD中，Z5Z)C+Z1+Z2=18O°,

NBDC=ZA+ZABD+ZACD；

方法2如圖所示，連接/。并延長(zhǎng).

?.?/3是△/8D的外角,

Z3=Z1+ZABD.

同理，Z4=Z2+ZACD.

Z3+Z4=Z1+Z2+ZABD+NACD.

即ZBDC=ZA+NABD+ZACD.

方法3如圖所示，延長(zhǎng)8。，交NC于點(diǎn)￡.

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

?.?/?！?。是4435的夕卜角，

:.ZDEC=ZA+ZABD.

???/BOC是△DEC的外角，

ZBDC=/DEC+ZACD.

ZBDC=+/ABD+ZACD.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相

鄰的兩內(nèi)角的和.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

2.B

【分析】延長(zhǎng)成交CF的延長(zhǎng)線于。，連接4。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBOC,再利

用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/?！?。，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出/。尸。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可

求出尸。的度數(shù).

【詳解】延長(zhǎng)8￡交。廠的延長(zhǎng)線于。，連接力。，如圖，

ZOAB+AB+AAOB=\80°,

NAOB=180°-AB-NOAB,

同理得ZAOC=180°-ZOAC-ZC,

???ZAOB+ZAOC+ABOC=360°,

??.ZBOC=360°-ZAOB-乙40c

=360°-(180°-AB-ZOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=/B+NC+/BAC=UH。,

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

ABED=72°,

ZDEO=180°-ABED=108°,

ADFO=360°-ZD-/DEO-/EOF

=360°-35°-108°-107°=110°,

ZDFC=180°-ZDFO=180°-110°=70°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，

解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一

個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：

180°(?-2).

3.180度##180°

【分析】如圖，連接2C,記CA8E的交點(diǎn)為G,先證明/。+/片=/68。+/6酸,再禾［|用

三角形的內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】解：如圖，連接8C,記CD5E的交點(diǎn)為G,

ND+NE=l80°-ZDGE,NGBC+NGCB=180°-4BGC,ZDGE=NBGC,

ZD+ZE=NGBC+ZGCB,

NA+ZABG+ZGBC+ZGCB+ZACG=180°,

N4+ZABG+ZACG+ZD+ZE=l80°,

故答案為：180。

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，作出合適的輔助線構(gòu)建三角形是解本題的關(guān)鍵.

4.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.

【分析】連接CD,將44+/8+/C+/D+/E+NF轉(zhuǎn)化為四邊形8斯的內(nèi)角和即可求

出答案.

【詳解】解：如圖所示，連接CD

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

由對(duì)頂三角形得，2A+ZB=NACD+2BDC,

.-.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=ZCDE+ZDCF+ZE+ZF=360°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形、四邊形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí).將所求角的度數(shù)

和轉(zhuǎn)化為四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可.

【詳解】■■■AA+^40D+AD=180°,AC+ACOB+zfi=180°,z^=zC,AAOD=ABOC,

:/B=LD,

??21=42=々+乙。,

.-.z2>z￡),

故選項(xiàng)4,B,C正確，

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

6.減少10

【分析】先通過(guò)作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到乙以町與乙D、NE、乙DCE之間的關(guān)系,

進(jìn)行計(jì)算即可判斷.

【詳解】解：???乙4+乙8=50°+60°=110°,

山CB=180°-110°=70°,

；"CE=70°,

如圖，連接C尸并延長(zhǎng)，

：.^DFM=ZD+^DCF=2Q0+^DCF,

乙EFM=￡E+乙ECF=3Q0+乙ECF,

.-.z￡,FD=zr>FM+z￡,?=200+zDCF+300+zECF=500+zDCE=500+70°=1200,

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

要使N￡FD=110。，貝UNE即減少了10°,

若只調(diào)整四的大小，

由乙EFD=4DFM+乙EFM=3+4DCF+乙E+4ECF=LD+4E+乙ECD=4D+3Q°+7Q°=4￡>+100°,

因此應(yīng)將乙0減少10度；

故答案為：①減少；@10.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí);

解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式

求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

7.(l)13cm

(2)a、112.5°；b、90°+yx°

【分析】(1)利用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊，得出8C

的取值范圍為1<8C<7,再根據(jù)8C是能被3整除的偶數(shù)，得到8c=6cm,再求出周長(zhǎng)為

13cm.

(2)利用三角形的內(nèi)角和等于180。，先求出乙45C+乙4C5,再利用角平分線平分角的知識(shí),

求出的C+N尸C5,然后再一次用三角形內(nèi)角和等于180。，求出4尸C

［詳解】(1),；AB=4cm,AC=3cm

??BC=6cm

???三角形的周長(zhǎng)為：

CAABC=AB+AC+BC

=4+3+6

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

=13cm

(2)〃、當(dāng)乙4=45。時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：

z^5C+zS4C5=180o-zU=180o-45o=135°

??,BP、C尸分別是A45。和乙4c5的角平分線

：.Z.PBC=^Z.ABC,/-PCB=^Z.ACB

乙PBC+乙PCB=gZ-ACB

=1(UBC+UCB)

=yxl35°

=67.5°

.-.Z5PC=18O°-((PBC+5CB)

=180。-67.5。

=112.5°

b、當(dāng)乙4=x。時(shí)，由三角形的內(nèi)角和可知：

80°-zS4=l80°-x°

,：BP、CP分別是乙45。和乙4cB的角平分線

,.乙PBC=g"lBC,乙PCB=gAACB

:.乙PBC+乙PCB=；AABC+^-AACB

=1{Z-ABC+^ACB}

=1x(180°-x°)

=90。-卜。

(乙乙

.-.zJ8PC=180°-PBC+PCB)

=180o-(90°-1x°)

=90°+yx°

【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)三角形的知識(shí).第一小問(wèn)的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：兩邊

之和大于第三邊，兩之差小于第三邊進(jìn)行解答；第二小問(wèn)的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的內(nèi)角和

等于180。，以及角平分線平分角的知識(shí)結(jié)合一起解答，在求角度時(shí)，有時(shí)不一定需要每個(gè)

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

角都求出來(lái)，可以利用整體思想.

8.C

［分析］根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：①：BF是NABC的角平分線，CF是NACB的角平分線，

.-.zABF=zCBF,NACF=NBCF,

■?■DEIIBC,

.-.ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

.-.ZABF=ZBFD,NACF=NEFC,

.?.DB=DF,EF=EC,

??.△BDF和ACEF都是等腰三角形，

???①選項(xiàng)正確，符合題意；

@vDE=DF+FE,

.?.DB=DF,EF=EC,

.?.DE=DB+CE,

②選項(xiàng)正確，符合題意；

③根據(jù)題意不能得出BF>CF,

??.④選項(xiàng)不正確，不符合題意；

④?.?若ZA=8O。，

.-.zABC+zACB=180o-zA=180o-80o=100°,

???ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

.-.ZCBF+ZBCF=1xlOO°=5O°,

.?.ZBFC=18O°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=l30°,

④選項(xiàng)正確，符合題意；

故①②④正確.

故選C

【點(diǎn)睛】等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，解題關(guān)鍵是逐個(gè)判

斷選項(xiàng)即可得出正確答案.

9.125°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出乙18C+/NCB,再根據(jù)角平分線的定義求出

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

ZOBC+ZOCB,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

在△ABC中,

+4C3=180°-=180°-70°=110°,

???乙4BC與NACB的角平分線BO,CO相交于點(diǎn)O,

NOBC+NOCB=1(/ABC+4CB)=；x110°=55。,

在一OC中,

NBOC=180o-(ZO5C+ZOCB)=180o-55°=125%

故答案為：125。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

10.40°

【分析】由題意：設(shè)NABE=NEBC=x,zACE=zECD=y,利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程

組解決問(wèn)題即可.

【詳解】由題意：設(shè)NABE=NEBC=X,zACE=zECD=y,

wf2y=2x+N/①

則有“②’

①-2x②可得zA=2/E,

1

.,.z.E=-z.A=40°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參

數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題.

11.D

【詳解】「BAi和CAi分別是aABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，

.?.zA)BC=yZABC,zAiCD=yZACD,

又???ZACD=NA+NABC,ZAICD=ZAIBC+ZAI,

.?ZAIBC+NAI=；(zA+zABC)=yz.A+|zABC=yzA+zAiBC,

■,■zAi=yzA；,

\CC\CL1CC

同理可得：Z-A2=yZ.A1=—,Z.A3=yZA2=—,…，Z.An=yZAn.i=-y,

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

NA2013—22012,

故選D.

點(diǎn)睛：利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理結(jié)合角平分線的定義推導(dǎo)得到NA]和NA

的關(guān)系是解這道題的關(guān)鍵，由此可推導(dǎo)出NA2與NA]的關(guān)系，進(jìn)一步推廣到NA”和NA”一I的關(guān)

系就可找到規(guī)律求得NA2013.

12—^―

)2020

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得乙UjCD=guCD,再根據(jù)三角形的一

個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得乙。。=乙/+乙48C,U]CD=UjBC+U],整理

即可得解同理求出乙42,乙43,可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的g，根據(jù)此

規(guī)律即可得解.

【詳解】???//是乙48c的平分線，4C是乙4CD的平分線，

:MBC=gUBC,"CD=guCD,

又?乙4cA乙4+ZJ3C,Z-AICD=^IBC+/-AI,

■?.y”+42C)=；ZABC+以，

,1,

?'-Z-A]=—Z-A,

vz^=a.

Z-Ai=-^同理可得乙42=：4/=*a,

根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，

./J-@

???^A020=22020，

故答案為?

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個(gè)外角等于與

它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

13.Z5GC=1(m°+?°)

【分析】運(yùn)用角平分線的知識(shí)列出等式求解即可.解答過(guò)程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)

系.

【詳解】解：＜B、NC的外角平分線相交于點(diǎn)G,

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

在ABCG中,

ZBGC=18O°-(j-zEBC+yZBCF)

=180。，(ZEBC+ZBCF)

=180°-1(180°-zABC+180°-zACB)

=180°-1(180°-m°+180°-n°)；

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識(shí).此類題的關(guān)鍵是找出與之相

關(guān)的等量關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算得出.

14.B

【分析】由三角形內(nèi)角和定理,得到ZABC+ZACB=l80°-m,進(jìn)而得到ZDBC+ZBCE=180。+加，

再根據(jù)角平分線定義，得至l]NOBC+NOCB=90°+g”,,最后由三角形的內(nèi)角和即可得到

二8。。的度數(shù).

【詳解】解：???4=加，

ZABC+ZACB=1800-ZA=180°-m,

vNDBC=180°-NABC,NBCE=180°-NACB,

NDBC+NBCE=360°-(/ABC+ZACB)=lS00+m,

VZABC和//CB的外角平分線交于點(diǎn)O,

ZOBC+Z.OCB=*NDBC+NBCE[=90°+1m,

NBOC=180°-(ZOSC+NOCB)=180°-190°+；〃，=90°-；加,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，角的和差,

角平分線的定義是解題關(guān)鍵.

15.(1)65；(2)45；(3)40；(4)4尸=90。4心1

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】（1）若乙4=50。，則有418C+ZJC3=130。，4D8C+N8CE=360°-130°=230°,根據(jù)角

平分線的定義可以求得NPBC+NPCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得NP的度

數(shù);

（2）、（3）和（1）的解題步驟類似.

【詳解】解：⑴?.?乙4=50°,

.?.ZABC+乙4C2=180°-50°=130°,

."8C+A8CE=360°-130°=230°,

■■■BP,CP分別為NC2。與乙BCE的平分線,

ZCBP=-ZCBD,NBCP=-ZBCE,

22

.-.ZCBP+ZBCP=nNCBD+ZBCE)=115°,

.../尸=180。-（/。2?+/8。尸）=65。；

(2)?%=40°,

：./-ABC+^CB=180°-40°=140°,

.?"8C+A8C￡=360°-140°=220°,

■.■BP,CP分別為NC2D與乙BCE的平分線,

ACBP=-NCBD,ZBCP=-NBCE,

22

.-.ZCBP+ZBCP=；(NCBD+ZBCE)=110°,

4P=180°-(ZC5P+NBCP)=70°；

(3)?4=100°,

：.^BC+^CB=180°-100°=80°,

."8C+A8CE=360°-80°=280°,

■■■BP,CP分別為NC2。與乙BCE的平分線,

ACBP=-ZCBD,NBCP=-ZBCE,

22

.-.ZCBP+ZBCP=g(/CBD+NBCE)=140°,

4P=180°-(ZCBP+ZBCP)=40°；

(4)^ABC+^ACB=iSQ0-AA,

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

ZDBC+NBCE=360。-(ZABC+ZACB)=1SO°+ZA,

,:BP,CP分別為NC8D與乙BCE的平分線，

:"CBP=-ZCBD,ZBCP=-ZBCE,

22

ZCBP+ZBCP=g(NDBC+4CE)=90°+；NZ,

ZP=180°-(ZCBP+ZBCP)=90°-^ZA.

故答案為：ZP=90°-yA4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì).關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一

個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義.

16.(1)132°

⑵14

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及角平分線定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

(1)先利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線定義得出NO8C+NOC3=9()o-gNN,再根據(jù)內(nèi)

角和定理求解即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證明=,NO=NC,進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)解：???ZA+ZABC+ZACB=1SO0,

ZABC+ZACB=180°-ZA,

?.?8。平分-CO平分/NC8,

:.zOBC+zOCB=^zABC+^zACB=^(zABC+zACB)=^x(180°-zA)=90°-^zA,

Z50C=180°-(zO5C+zOCS)=90°+1ZT4=90°+42°=132°；

(2)解：?.?3。平分/4BC,

.-./ABO=ZCBO,

■：MN//BC,

ZMOB=ZCBO,

NABO=ZMOB,

MO=BM,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

同理可得：NO=NC,

AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=AM+BM+AN+NC=AB+AC,

,：AB—6,AC=8,

.?.△/MV的周長(zhǎng)=/8+NC=14.

17.B

【分析】首先根據(jù)心瓦7=36。，乙BEG=57°,求出NE陽(yáng)的大??；然后根據(jù)4BIICD,求出乙叩G

的大小，再根據(jù)/平分NEFG,求出乙陽(yáng)〃的大??；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出

的大小為多少即可.

【詳解】解：?山昉=36。,Z.BEG=5T,

.-.zFE,//=180°-36o-57o=87°；

■：AB\\CD,

；/EFG=UEF=36°,

?；FH平分MFG,

；/EFH=g乙EFG=x36°=18°,

:/EHF=l80°-ZFE77-ZE,F77=1800-870-18°=75°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及平行線的

性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.

18.75°.

【分析】首先根據(jù)^瓦三36。，乙BEG=57。,求出的大??；然后根據(jù)4B||C。，求出N斯G

的大小，再根據(jù)萬(wàn)耳平分NEFG,求出NEEHr的大?。蛔詈蟾鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理，求出乙陽(yáng)F

的大小為多少即可.

【詳解】解：???乙4￡F=36°,z.BEG=5T

:/FEH=180。-乙4EFYBEG=87。

???AB//CD

:.AEFG=UEF=36。

?；FH平分乙EFG

:/EFH*LEFG=18。

：/EHF=\80°-乙FEH-乙EFH=15°

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

故答案為：75°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及平行線的

性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.

19.—m

3"

【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先分別對(duì)運(yùn)用三角形的外角定理，設(shè)/&4D=々，則ZCAB=3a,jBD=13,

則/酸。=3?，得到尸=a+/月,3^=3?+ZC,同理可求：/C,所

以可得ZC.

【詳解】解：如圖：

???ZE.AD=-ZCAB,ZE.BD=-ZCBD,

33

.?.設(shè)=a,/E、BD=0,則/C/5=3a,ZCBD=3/3,

由三角形的外角的性質(zhì)得：夕=。+/耳，3月=3a+NC,

ZE.=-ZC,

3

如圖：

同理可求：/4=；/耳，

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

即/紇=（加。，

故答案為：—.

20.B

【分析】連接4C并延長(zhǎng)交跖于點(diǎn)由平行線的性質(zhì)得/3=/1,/2=/4,再由等量

代換得ABAD=/3+/4=/I+/2=ZFCE,先求出ZFCE即可求出.

【詳解】解：連接4C并延長(zhǎng)交跖于點(diǎn)

AB\\CF,

Z3=Z1,

AD\\CE,

Z2=Z4,

ZBAD=Z3+Z4=Z1+Z2=ZFCE,

VZFCE=180。一/E-4=180°-80°-50°=50°,

/BAD=ZFCE=50°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型.

21.A

【分析】根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：由兩直線相交，對(duì)頂角相等可知A正確；

由三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可知

B選項(xiàng)為N2>/3,

C選項(xiàng)為N1=N4+N5,

D選項(xiàng)為N2>45.

故選：A.

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角

性質(zhì)進(jìn)行判斷.

22.(1)ZBDC=ZA+ZB+ZC,見(jiàn)解析

(2)①40。；②90。；@70°

【分析】(1)首先連接/。并延長(zhǎng)，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出

ZBDC=ZA+ZB+ZC；

(2)①由(1)可得44BX+乙4cx+4=/A￥C,然后根據(jù)N/=40。，ABXC=90°,即

可求出+的值；②由(1)可得NDBE=NDAE+ZADB+ZAEB,再根據(jù)

ZDAE=50°,ZDBE=130°,求出乙4。2+乙4所的值；然后根據(jù)

ZDCE=1(ZADB+ZAEB)+ZDAE,即可求出/DCE的度數(shù)；③設(shè)45Gl=尤。，

AACG[=y°,結(jié)合己知可得//AD=10x。，AACD=\0y0,再根據(jù)(1)可得

44+》。+了。=77。，Z^+10x°+10v°=140°,即可判斷出//的度數(shù).

【詳解】(1)解：NBDC=NA+NB+NC,理由如下：

如圖，連接4D并延長(zhǎng).

根據(jù)外角的性質(zhì)，可得NBDF=NBAD+NB,ZCDF=ZC+ZCAD,

又ZBDC=2BDF+NCDF,NBAC=ABAD+NC4D,

.-.ZBDC=ZA+ZB+ZC,

故答案為：ZBDC=ZA+ZB+ZC；

(2)①由(1)可得乙4BX+/4C￥+a4=/8XC,

???//=50°,NBXC=9Q°,

；"ABX+ZACX=90°-50°=40°；

②由⑴可得NDBE=NDAE+NADB+NAEB,

ZADB+NAEB=ZDBE-ZDAE=130°-50°=80°,

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

^(ZADB+NAEB)=8Q°+2=40°

ZDCE=^(ZADB+ZAEB)+NDAE=50°+40°=90°

③設(shè)ZXBG|=JC°,44CG]=y°,

則=10x°,ZACD=10y°,