用空間向量研究位置關系(二) 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關系第二課時：空間中直線和平面的平行回顧直線平面方向向量法向量位置關系位置關系立體幾何空間向量問題1：如何用空間向量表示空間中的直線、平面？直線與直線的平行

如圖，設

，

分別是直線

l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以直線與平面的平行

如圖，設

是直線l的方向向量，

是平面α的法向量，

，若l與α平行，則平面與平面的平行

如圖，設

，

分別是平面α，β的法向量，若α與β平行，則證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.例題

已知：如圖，求證：.

abP已知：如圖,

求證：.

例題

abP已知：如圖,

求證：.

例題

abP證明：直線a,b的方向向量分別為u,v.因為所以即.又因為,例題

已知：如圖,

求證：.

abP

例題

abP已知：如圖,

求證：.所以對任意點,存在,Q

從有限到所有

小結向量的運算向量法例題

分析：例題

如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.在線段B1C上是否存在點P,

使得A1P//平面ACD1？是否存在P？找到P如何判斷P在哪兒？P在B1C上如何表示

A1P//面ACD1向量運算確定存在方法一：用高一學習的立體幾何法證明證明是否存在點P?

立體幾何法先猜后證。ABCDD1A1B1C1xyzP建系設點取向量列方程組取解得法向量ABCDD1A1B1C1xyzP小結用向量法解決立體幾何問題的步驟：（一）建系；（二）設點；（三）表示相關向量；（四）進行向量運算；（五）把向量運算的結果“翻譯”為幾何結論.例題練習如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.方法一：設正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),設平面AB'D'的法向量為n1=(x1,y1,z1),設平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).練習如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.方法二：由方法一知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.課堂小結線面的位置關系向量的位置關系向量的運算向量運算的坐標表示其中，分別是直線的方向向量；

分別是平面的法向量.問題5：本節(jié)課主要學習了哪些知識內容？（一）建系；（二）設點；（三）表示相關向量；（四）進行向量運算；（五）把向量運算的結果”翻譯”為幾何結論.數(shù)學運算直觀想象邏輯推理問題6：請你總結用向量法解決幾何問題的步驟.課堂小結

1.如圖,在四面體ABCD中,E是BC的中點.直線AD上是否存在點F,使得AE//CF?課后作業(yè)