數(shù)列解答題專項(xiàng)訓(xùn)練

數(shù)列專題解答題1.【A】已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列中的最大值和最小值，并說(shuō)明理由解：(1),而,∴,；故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；（2）由（1）得，則；設(shè)函數(shù)，函數(shù)在和上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且，當(dāng)趨向于時(shí)，接近1，∴，．1.【B】已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4－(n≥2)，令bn=,(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)【證明】an+1－2=2－∴(n≥1)故(n≥1)即bn+1－bn=(n≥1)∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．(2)【解】∵{}是等差數(shù)列∴∴an=2+∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2+2.【A】已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列解析：（I）依題意 （II） 2.【B】已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn=32n－n2,求數(shù)列｛｜an｜｝的前n項(xiàng)和Sn′．解：∵a1=S1=32×1－12=31,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=33－2n,又由an＞0，得n＜16．5,即｛an｝前16項(xiàng)為正，以后皆負(fù)．∴當(dāng)n≤16時(shí)，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2．當(dāng)n＞16時(shí)，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2．∴3.【A】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式,及前解：（I）由及，有由，．．．①則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②②－①得又，是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．，3.【B】在數(shù)列中，（1）設(shè)證明是等差數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1）由已知得，又是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；（2）由（1）知兩式相減得4.【A】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可知，又，可解的或（舍去）由得公比，故.（Ⅱ）又所以.4.【B】已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。5.【A】已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（I）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以兩式相減，得所以5.【B】已知數(shù)列和滿足，.（1）求與；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【解析】(1)由，得.當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以6.【A】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（Ⅰ）由可得，而，則（Ⅱ）由及可得.6.【B】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.（=1\*ROMANI）求和的通項(xiàng)公式；（=2\*ROMANII）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（=1\*ROMANI）,；（=2\*ROMANII）試題解析：（=1\*ROMANI）設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意,由已知,有消去d得解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）有,設(shè)的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得所以.7.已知數(shù)列，滿足，,，.（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令求數(shù)列的前項(xiàng)和.【分析】（Ⅰ）由，得，數(shù)列是等差數(shù)列.（Ⅱ）用錯(cuò)位相減法求解.【解析】∵，∴，由，∴，化簡(jiǎn)得：，∵，∴，即，而，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.∴，即，∴.7.【A】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且構(gòu)成等比數(shù)列．（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．【解答】（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列．構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得，由(1)可知，，是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）．7.【B】等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)．【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則因?yàn)?，所以．解得，．所以的通?xiàng)公式為．（2），所以．8.【AB】正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有.解析：（1）由,得.

由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以.

于是時(shí),.

綜上,數(shù)列的通項(xiàng).

（2）證明:由于.

則.

. 9.【AB】已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求的通項(xiàng)公式．解：（1）由條件可得an+1=．將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．從而b1=1，b2=2，b3=4．（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．10.【A】數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù).（1）求數(shù)列的公差；（2）求前n項(xiàng)和Sn的最大值；（3）當(dāng)Sn＞0時(shí)，求n的最大值．(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d＞0，a7=a1＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0∴當(dāng)n=6時(shí)，Sn取得最大值，S6=6×23＋(－4)=78(3)Sn=23n＋(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞