北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題2.2一元二次方程的解法【八大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.2一元二次方程的解法【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】 1【題型2配方法解一元二次方程】 2【題型3公式法解一元二次方程】 3【題型4因式分解法解一元二次方程】 3【題型5用指定方法解一元二次方程】 4【題型6用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?4【題型7用換元法解一元二次方程】 5【題型8配方法的應(yīng)用】 6【知識(shí)點(diǎn)1直接開(kāi)平方法解一元二次方程】根據(jù)平方根的意義直接開(kāi)平方來(lái)解一元二次方程的方法，叫做直接開(kāi)平方法.直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或②直接開(kāi)平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.【題型1用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將方程(2x－1)2=9的兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，【變式1-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接開(kāi)方法）【變式1-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如果方程(x?5)2=m?7可以用直接開(kāi)平方求解，那么m的取值范圍是（A．m>0 B．m?7C．m>7 D．任意實(shí)數(shù)【變式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用直接開(kāi)平方解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為(

)A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【知識(shí)點(diǎn)2配方法解一元二次方程】將一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．【題型2配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過(guò)程．3x解：兩邊同除以3，得______________________________．移項(xiàng)，得x2配方，得_________________________________，即(x?1兩邊開(kāi)平方，得__________________，即x?112=所以x1=1，【變式2-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用配方法解一元二次方程：(1)x2(2)2x【變式2-2】（2023春·山西太原·九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程2x解：方程變形為2x配方，得(2x?5移項(xiàng)，得(2x?5兩邊開(kāi)平方，得2x?5即2x?52=所以x1=5+（1）上述解法錯(cuò)在第步；（2）請(qǐng)你用配方法求出該方程的解．【變式2-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）請(qǐng)用配方法解方程2x（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程ax【知識(shí)點(diǎn)3公式法解一元二次方程】當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【題型3公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)3x=5x(2)x+32【變式3-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用公式法解一元二次方程：2x【變式3-2】（2023春·河南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用公式法解方程：(x?1)(x?2)=5．【變式3-3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)9x(2)2x【知識(shí)點(diǎn)4因式分解法概念】當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【題型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)2+3(2)2x?12【變式4-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【變式4-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解下列一元二次方程：(2x+1)2【變式4-3】（2023春·海南儋州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；【題型5用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）按照指定方法解下列方程：(1)3x(2)x2(3)x2(4)y2【變式5-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解方程：(1)4x(2)2x(3)xx?2(4)2x【變式5-2】（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)x+62(2)x2(3)x(x?2)+x?2=0；(因式分解法)(4)x2【變式5-3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）請(qǐng)分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2【題型6用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠?】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)(2x?1)2(2)12x(3)(3x?1)2(4)(x?2)2(5)12(6)0.3x【變式6-1】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)選擇適當(dāng)方法解下列方程：(1)2x(2)x(3)3x【變式6-2】（2023春·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)9(2)4(3)x2(4)x2【變式6-3】（2023·寧夏中衛(wèi)·九年級(jí)?？计谥校┯眠m當(dāng)方法解方程(1)6x?12(2)y(3)x2(4)x+1x?1【題型7用換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀和理解下面是小康同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：利用換元法求方程的解我們知道，一元二次方程的解法有四種：直接開(kāi)平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一類(lèi)一元二次方程，利用上述四種方法求解不僅很復(fù)雜，而且也容易出錯(cuò)，這時(shí)我們可以用一種新的解方程的方法—換元法，下面舉例說(shuō)明：例：解方程：(5x+3解析：本題若將方程化為一般形式較復(fù)雜，如果設(shè)5x+32則原方程可化為y2?2y?15=0，∴(y?1)2=16，∴∴5x+32=5或∴方程的解為x1=7任務(wù)：(1)上述小論文的解析過(guò)程中，解方程y2A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法專(zhuān)題2.2一元二次方程的解法【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】 1【題型2配方法解一元二次方程】 3【題型3公式法解一元二次方程】 6【題型4因式分解法解一元二次方程】 8【題型5用指定方法解一元二次方程】 10【題型6用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?15【題型7用換元法解一元二次方程】 20【題型8配方法的應(yīng)用】 23【知識(shí)點(diǎn)1直接開(kāi)平方法解一元二次方程】根據(jù)平方根的意義直接開(kāi)平方來(lái)解一元二次方程的方法，叫做直接開(kāi)平方法.直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或②直接開(kāi)平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.【題型1用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將方程(2x－1)2得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，【答案】±33－32－1【分析】依照直接開(kāi)平方法解一元二次方程的方法及步驟,一步步解出方程即可.【詳解】∵(2x－1)∴2x－1=±3∴2x－1＝3，2x－1＝-3∴x1＝2，【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程直接開(kāi)平方法，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【變式1-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接開(kāi)方法）【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【分析】直接利用開(kāi)方法進(jìn)行求解即可得到答案；【詳解】解：∵4∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2【變式1-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如果方程(x?5)2=m?7可以用直接開(kāi)平方求解，那么m的取值范圍是（A．m>0 B．m?7C．m>7 D．任意實(shí)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)m?7≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解，可求出m的取值范圍．【詳解】由題意可知m?7≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解，解不等式得m?7，故選B．【點(diǎn)睛】形如x+m【變式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用直接開(kāi)平方解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為(

)A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【答案】D【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根即可求出答案．【詳解】解：（A）移項(xiàng)可得x2（B）?2x2=0（C）移項(xiàng)可得x2（D）x?22故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法．【知識(shí)點(diǎn)2配方法解一元二次方程】將一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．【題型2配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過(guò)程．3x解：兩邊同除以3，得______________________________．移項(xiàng)，得x2配方，得_________________________________，即(x?1兩邊開(kāi)平方，得__________________，即x?112=所以x1=1，【答案】x2?56【分析】方程兩邊除以3把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開(kāi)方即可求出解．【詳解】3x解：兩邊同除以3，得x2移項(xiàng)，得x2配方，得x2即(x?1兩邊開(kāi)平方，得x?1即x?112=所以x1=1，【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用配方法解一元二次方程：(1)x2(2)2x【答案】(1)x1=3+132，x2(2)x1=12，x2【分析】（1）將常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)到右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解；（2）方程兩邊都除以2并將常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)到右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．（1）解：x2?3x?1=0方程變形得：x2－3x=1，配方得：x2－3x+94=1+94，即（x－32）2開(kāi)方得：x－32=±13解得：x1=3+132，x2=（2）解：移項(xiàng)得：2系數(shù)化1得：x兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：x配方得：x?開(kāi)方得：x?解得：x1=12，x2【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法：配方法．熟練掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·山西太原·九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程2x解：方程變形為2x配方，得(2x?5移項(xiàng)，得(2x?5兩邊開(kāi)平方，得2x?5即2x?52=所以x1=5+（1）上述解法錯(cuò)在第步；（2）請(qǐng)你用配方法求出該方程的解．【答案】（1）一；（2）x1=2，【詳解】試題分析：將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)右邊，兩邊都加上(5試題解析：變形得：x2?52x+1=0，變形得：x2?52x=?1，配方得：考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法．【變式2-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）請(qǐng)用配方法解方程2x（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程ax【答案】（1）x1=【分析】（1）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方；（2）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方；【詳解】解：（1）2兩邊同時(shí)除以2得：x2移項(xiàng)得：x2兩邊同時(shí)加上(32)配方得：(x?3解得：x1（2）a兩邊同時(shí)除以a得：x2移項(xiàng)得：x2兩邊同時(shí)加上(b2a)配方得：(x+b當(dāng)b2解得：x1當(dāng)b2x1當(dāng)b2該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題主要考查用配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確運(yùn)用，在含字母參數(shù)時(shí)要注意是否需要分類(lèi)討論．【知識(shí)點(diǎn)3公式法解一元二次方程】當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【題型3公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)3x=5x(2)x+32【答案】(1)方程無(wú)解(2)方程無(wú)解【分析】先把原方程化為一般式，然后判斷Δ的符號(hào)，如果Δ≥0，則用公式法求解即可，如果Δ【詳解】（1）解：3x=5化為一般式得：5x∴a=5，∴Δ=∴原方程無(wú)解；（2）解：x+32化為一般式得x2∴a=1，∴Δ=∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用公式法解一元二次方程：2x【答案】x1=【分析】按照公式法解一元二次方程的步驟求解即可．【詳解】解：∵a=2，b=7，c=－4，∴△=72∴x=?7±81∴x1=1【點(diǎn)睛】此題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握解題步驟是關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·河南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用公式法解方程：(x?1)(x?2)=5．【答案】x1=【分析】將原方程化為一般形式，根據(jù)求根公式，即可求解．【詳解】解：原方程化為一般形式，得，x2?3x?3=0，則a=1，b=?3，∴Δ=∴x=?b±∴x1=3+【點(diǎn)睛】本題主要考查用公式法求解一元二次方程的解，掌握求根公式的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)9x(2)2x【答案】(1)x1=(2)x1=?【分析】運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：a=9，b=?66，c=1∴b2∴x=6∴原方程的解為：x1=6（2）解：a=2，b=43，∴b2∴x=?4∴原方程的解為：x1=?6【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式x=?b±【知識(shí)點(diǎn)4因式分解法概念】當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【題型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)2+3(2)2x?12【答案】(1)x(2)x【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵2+3∴2+3∴x2∴2+3x?1=0或解得x1（2）解：∵2x?12∴2x?1?x2x?1=0，即∴x?1=0或2x?1=0，解得x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【答案】x【分析】先把等號(hào)右邊變形為0，再將左邊分解因式，即可解出未知數(shù)的值．【詳解】解：x（x-1）=2（x-1），移項(xiàng)，得x（x-1）-2（x-1）=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程-因式分解法，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟．【變式4-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解下列一元二次方程：(2x+1)2【答案】x【分析】使用完全平方公式對(duì)方程進(jìn)行變形，再求得結(jié)果．【詳解】解：(2x+1)2x+1+2(2x+3)2x+3=0∴x1【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，其中準(zhǔn)確使用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·海南儋州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；【答案】(1)x(2)x【分析】（1）分解因式，即可得出兩個(gè)兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2分解因式，即可得出兩個(gè)兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；【詳解】（1）解：3（x-5）2=2（5-x）方程變形為：3(x?5)∴(x?5)3(x?5)+2∴(x?5)(3x?13)=0，∴x1（2）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0(ax?b)(bx?a)=0，∵ab≠0，∴a≠0,b≠0，∴x【題型5用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）按照指定方法解下列方程：(1)3x(2)x2(3)x2(4)y2【答案】(1)x1=(2)x1=3(3)x1=3+(4)y【分析】（1）把15移到右邊，兩邊同時(shí)除以3，然后直接開(kāi)平方求根；（2）用十字相乘法因式分解求出方程的根；（3）二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是6，把7移到右邊，用配方法解方程；（4）把右邊的項(xiàng)移到左邊，用求根公式求出方程的根．【詳解】（1）解：3x∴x2解得：x1=5（2）x2∴(x?3)(x?5)=0，∴x?3=0或x?5=0，解得：x1=3，（3）x2∴x∴x∴(x?3)∴x?3=±解得：x1=3+2（4）y2∴y2∴Δ=∴y=2解得：y1【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元二次方程，根據(jù)題目的要求，熟練掌握各種解法．【變式5-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解方程：(1)4x(2)2x(3)xx?2(4)2x【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x1【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法解方程；（2）利用配方法得到x?3（3）利用因式分解法解方程．（4）求出b2【詳解】（1）解：4x兩邊除以4得：x2兩邊開(kāi)平方得：x=±2，∴x1（2）解：2x∴x2∴x2即x?3∴x?所以x1（3）解：x∴x?2x+1∴x?2=0或x+1=0，所以x1（4）解：2x∵a=2,b=?6,c=1，∴b2∴x=6±∴x1【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)x+62(2)x2(3)x(x?2)+x?2=0；(因式分解法)(4)x2【答案】(1)x1=?3(2)x1=2(3)x1=2(4)x1=10【分析】(1)利用直接開(kāi)平方法解此方程，即可求解；(2)利用公式法解此方程，即可求解；(3)利用因式分解法解此方程，即可求解；(4)利用配方法解此方程，即可求解．【詳解】（1）解：由原方程得：x+6=±3，解得x1=?3，所以，原方程的解為x1=?3，（2）解：在方程x2+x?6=0中，a=1，b=1，∴Δ∴x=解得x1=2，所以，原方程的解為x1=2，（3）解：由原方程得：(x?2)x+1解得x1=2，所以，原方程的解為x1=2，（4）解：由原方程得：x2得x2得x+12得x+1=±11解得x1=10，所以，原方程的解為x1=10，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）請(qǐng)分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2【答案】x1=【分析】用配方法解方程，首先移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可使左邊變形成完全平方式，右邊是常數(shù)，直接開(kāi)方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)c，計(jì)算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【詳解】解：配方法，移項(xiàng)得x2配方得：x2+2x+1=1+1開(kāi)方得：x+1=±解得：x1=2公式法：∵a=1，∴b2∴x=?2±2∴x1=2【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．【題型6用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠?】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)(2x?1)2(2)12x(3)(3x?1)2(4)(x?2)2(5)12(6)0.3x【答案】(1)x1=2(2)x1=(3)x1=1(4)x1=1(5)x(6)x1=【分析】利用直接開(kāi)平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【詳解】（1）解：(2x?1)直接開(kāi)平方可得：2x?1=±3，2x?1=3或2x?1=?3∴原方程的解為：x1=2，（2）解：124因式分解得：4x?35x+5∴原方程的解為：x1=35（3）解：(3x?1)2平方差因式分解得：3x?1?整理得：2x?24x=0∴原方程的解為：x1=1，（4）(x?2)2提取公因式可得：x?2x?2+x整理得：x?22x?2∴原方程的解為：x1=1，（5）解：∵方程12Δ=∴原方程的解為：x1（6）0.3x3x因式分解得：3x?7x+3∴原方程的解為：x1=【點(diǎn)睛】本題主要考查利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠?，解題時(shí)注意對(duì)方法的合理選擇．【變式6-1】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)選擇適當(dāng)方法解下列方程：(1)2x(2)x(3)3x【答案】(1)x1=3(2)x(3)x1=【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：2x原方程可變形為2x方程左邊因式分解，得x?3所以x?3=0或2x+1=0所以x1=3，（2）解：x原方程可化為x∴∴x（3）解：3x原方程可化中x∵∴∴x1=【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、公式法、配方法、因式分解法，并能根據(jù)每個(gè)一元二次方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)9(2)4(3)x2(4)x2【答案】(1)x1=1(2)y1(3)x1=3+23(4)x1=2，【分析】（1）利用解一元二次方程—直接開(kāi)平方法，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用解一元二次方程—因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用解一元二次方程—配方法，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用解一元二次方程—因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）9x9xx2x1=1（2）4y2y?122y=1，y1（3）x2x2x2x?32x?3=±23x1=3+23（4）x2x?32x?3+2?x3x?8x1=2，【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·寧夏中衛(wèi)·九年級(jí)?？计谥校┯眠m當(dāng)方法解方程(1)6x?12(2)y(3)x2(4)x+1x?1【答案】(1)x(2)y(3)x(4)x【分析】（1）先移項(xiàng)，然后利用開(kāi)平方的方法解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先把原方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵6x?12∴6x?12∴6x?1=±5，解得x1（2）解：∵y2∴yy?1∴y?3y?1∴y?3=0或y?1=0，解得y1（3）解：∵x2∴x2∴x?2解得x1（4）解：x+1整理得：x2∴x+3x?1∴x+3=0或x?1=0，解得x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【題型7用換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀和理解下面是小康同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：利用換元法求方程的解我們知道，一元二次方程的解法有四種：直接開(kāi)平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一類(lèi)一元二次方程，利用上述四種方法求解不僅很復(fù)雜，而且也容易出錯(cuò)，這時(shí)我們可以用一種新的解方程的方法—換元法，下面舉例說(shuō)明：例：解方程：(5x+3解析：本題若將方程化為一般形式較復(fù)雜，如果設(shè)5x+32則原方程可化為y2?2y?15=0，∴(y?1)2=16，∴∴5x+32=5或∴方程的解為x1=7任務(wù)：(1)上述小論文的解析過(guò)程中，解方程y2A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法(2)解方程：x?2=3?2x?2【答案】(1)B(2)原方程的解是x=3【分析】（1）根據(jù)小康同學(xué)的解答過(guò)程即可判斷；（2）設(shè)y=x?2【詳解】（1）解：由解題過(guò)程可知，上述小論文的解析過(guò)程中，解方程y2故答案為：B；（2）解：設(shè)y=x?2，則原方程可化為y即y2∴y?1y+3∴y1=1，∴x?2=1∴x=3，經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，所以原方程的解是x=3．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程，因式分解法和配方法解一元二次方程，以及無(wú)理方程的解法，掌握換元法的解題思路是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a2+b【答案】3【分析】把a(bǔ)2+b2看作一個(gè)整體，設(shè)【詳解】解：設(shè)a2據(jù)題意，得y2解得y1∵a2∴a2故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足(x2?x)【答案】2023【分析】設(shè)t=x2?x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t2?2t?3=0【詳解】解：設(shè)t=x由原方程，得t2整理，得t?3t+1所以t=3或t=?1．當(dāng)t=3時(shí)，x2?x=3，則當(dāng)t=?1時(shí)，x2?x=?1即x2故答案是：2023．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換．【變式7-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程：(1)2((2)2x【答案】(1)x1＝7+512，x2＝7?512，x3＝7