人教版七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三5.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)(學(xué)生版+解析)

專題5.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】 1【題型2數(shù)軸上的折疊問題】 3【題型3絕對值中的最值問題】 5【題型4有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 7【題型5利用整式加減確定方案問題】 9【題型6利用整式加減解決圖形周長或面積問題】 10【題型7由一元一次方程的解確定字母的值】 12【題型8一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】 13【題型9利用線段的和差探究線段間的關(guān)系】 15【題型10利用角度的和差探究角度間的關(guān)系】 16【題型11動點(diǎn)或旋轉(zhuǎn)角的綜合運(yùn)用】 18【題型12數(shù)式或圖形中的規(guī)律問題】 20【題型13數(shù)式或圖形中的新定義問題】 21【題型1數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】【例1】（2023上·四川成都·七年級?？计谀┮阎狝,B,C,D四點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，它們對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．動點(diǎn)P,Q同時分別從點(diǎn)A,D出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒4個單位長度，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度，線段BC所在部分為“交換區(qū)”，規(guī)則為：點(diǎn)P從點(diǎn)B進(jìn)入“交換區(qū)”，其運(yùn)動速度變?yōu)辄c(diǎn)Q原來的運(yùn)動速度，點(diǎn)Q從點(diǎn)C進(jìn)入“交換區(qū)”，其運(yùn)動速度變?yōu)辄c(diǎn)P原來的運(yùn)動速度，出“交換區(qū)”之后都分別以各自原來的運(yùn)動速度繼續(xù)前行，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)分別求a，(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時，求t的值及相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)且滿足BP=CQ時，求t的值．【變式1-1】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)N表示的數(shù)為n，點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離記為MN．我們規(guī)定：MN的大小可以用位于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)表示，即MN=n?m．

【應(yīng)用】請用上面的知識解答下面的問題：

如圖1，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為?16和6．(1)求A、B兩點(diǎn)之間的距離；(2)若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P，使得AP=13PB(3)如圖2，現(xiàn)有動點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)原點(diǎn)O后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，求：當(dāng)OP=4OQ時的運(yùn)動時間t的值．【變式1-2】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的有理數(shù)分別是a、b，且a+10+

(1)請直接寫出：a=______，b=______；(2)動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度向左運(yùn)動，動點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以4單位/秒的速度向左運(yùn)動，動點(diǎn)T從原點(diǎn)O出發(fā)以a單位/秒的速度向左運(yùn)動（a>0），三個動點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①請用含a或t的式子表示：動點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為______，動點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為______，動點(diǎn)T對應(yīng)的數(shù)為______；②若在運(yùn)動過程中，正好先后兩次出現(xiàn)TM=TN的情況，且兩次間隔的時間為10秒，求a的值；③若在運(yùn)動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，請直接寫出滿足條件a的值或a的取值范圍是______．【變式1-3】（2023上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知，數(shù)軸上有三個點(diǎn)A，B，C，它們的起始位置表示的數(shù)分別是?5，?3，6，如圖所示．

(1)若將點(diǎn)B從起始位置開始沿數(shù)軸向右移動，使得B，C兩點(diǎn)之間的距離與A，B兩點(diǎn)之間的距離相等，則須將點(diǎn)B向右移動______單位；(2)若點(diǎn)A從起始位置開始，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，同時，點(diǎn)B也從起始位置開始，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．①求AC?BC（用含t的代數(shù)式表示）；②若點(diǎn)C也與點(diǎn)A，B同時從起始位置開始運(yùn)動，且點(diǎn)C以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，試問：是否存在一個常數(shù)k，使得k?AB?2BC的值不隨運(yùn)動時間t（秒）的變化而改變？若存在，請求出常數(shù)k，并求此時k?AB?2BC的值；若不存在，請說明理由．【題型2數(shù)軸上的折疊問題】【例2】（2023上·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)?？计谀┤鐖D①，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D表示的數(shù)分別是?16、6、18、26．動點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒4個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C后，立即按原來的速度返回．動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)P也停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（t>0）秒．

(1)點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離是．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離是（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離恰好等于點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離時，求t的值．(4)在點(diǎn)P、Q的整個運(yùn)動過程中，若將數(shù)軸在點(diǎn)O和點(diǎn)P處各折一下，使點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，如圖②所示，當(dāng)所構(gòu)成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時，求t的值．【變式2-1】（2023上·湖北武漢·七年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗外國語學(xué)校）?？计谀┤鐖D，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中，點(diǎn)A表示的數(shù)為?6，點(diǎn)B表示的數(shù)為5，點(diǎn)C表示為9，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距15個長度單位，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后也立刻恢?fù)原速．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，則：(1)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)O需要_____秒，從點(diǎn)O運(yùn)動至點(diǎn)B需要_____秒，從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C需要_____秒．(2)若P，Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，則點(diǎn)M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是多少？(3)請直接寫出當(dāng)t為何值時，P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等．【變式2-2】（2023下·廣東梅州·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示?8，點(diǎn)B表示8，點(diǎn)C表示16，點(diǎn)D表示24，點(diǎn)E表示28，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)E在數(shù)軸上相距36個長度單位．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，兩點(diǎn)上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)E時則兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．問：

(1)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至E點(diǎn)需要______秒，此時點(diǎn)Q對應(yīng)的點(diǎn)是______；(2)P，Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，求出相遇點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)是多少？(3)求當(dāng)t為何值時，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等．【變式2-3】（2023上·江蘇蘇州·七年級?？计谀┤鐖D1，已知點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、24，其中a、b滿足a+122+b?8=0，點(diǎn)C到原點(diǎn)距離是點(diǎn)(1)填空：a=_____，b=_____，c=_____；(2)如圖1，若點(diǎn)A、B、C分別同時以每秒4個單位長度、1個單位長度和mm>4個單位長度的速度勻速向左運(yùn)動，假設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)A與點(diǎn)D之間的距離表示為AD①t為何值時，AD=3BD？②若AB?32AC(3)如圖2，將數(shù)軸在原點(diǎn)O、點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．以每秒3個單位長度的速度沿“折線數(shù)軸”的正方向勻速運(yùn)動至點(diǎn)D，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)以每秒4個單位長度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向變速運(yùn)動，該點(diǎn)在平地保持初始速度不變，上坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．若P、Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，則點(diǎn)M表示的數(shù)為_____．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023上·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于m?n．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為2?5=；數(shù)軸上表示數(shù)3和?1的兩點(diǎn)距離為3??1=；x+4的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最小？

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最??？

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）：①代數(shù)式x+3+x?4的最小值是______，此時②代數(shù)式x+6+x+3+③代數(shù)式x+7+x+4+【變式3-1】（2023上·湖南懷化·七年級校考期末）閱讀下列材料：我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，a=a?0也就是表示數(shù)a與數(shù)0的兩點(diǎn)之間的距離，a?b表示數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)

例1．已知x=2，求x解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)數(shù)是為?2和2，即x的值為?2和2．例2．已知x?1=2，求x解：在數(shù)軸上與1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)數(shù)為3和?1，即x的值為3和?1．依照閱讀材料的解法，完成下列各題：(1)若x=3，則x=________，若x+2=4，則(2)x+1+x?2的最小值是________，若x+1+(3)代數(shù)式x+11+(4)求代數(shù)式x?1+【變式3-2】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）（1）閱讀：如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為AB=|a?b|（2）理解：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和?3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示x和?1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果AB=2，那么x=（3）運(yùn)用：③當(dāng)代數(shù)式x+1+|x?2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是④當(dāng)代數(shù)式x+1+|x?2+x?4|取最小值時，相應(yīng)的x的值是（4）提升：⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按順時針方向圍成一個小圓圈，他們分別有卡片12、6、9、3、10張．現(xiàn)在為使每人手中卡片數(shù)相等，各調(diào)幾張卡片給相鄰小朋友（可以從相鄰小朋友調(diào)進(jìn)或調(diào)出給相鄰小朋友），要使調(diào)動的卡片總數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的調(diào)動安排？最少調(diào)動幾張？【變式3-3】（2023上·廣東廣州·七年級?？计谀┰趯W(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用：(1)應(yīng)用一：已知圖①，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示為?2，數(shù)軸上任意一點(diǎn)B表示的數(shù)為x，則AB兩點(diǎn)的距離可以表示為x+2，應(yīng)用這個知識，請寫出：①x?1+x+3有最小值為____________，此時②x?1+2x+3有最小值為__________，此時③12x?1+(2)應(yīng)用二：在圖①中，將數(shù)軸沿著點(diǎn)A折疊，若數(shù)軸上點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，M，N兩點(diǎn)之間距離為12，M，C兩點(diǎn)之間距離為4，且M，N兩點(diǎn)沿著A點(diǎn)折疊后重合，則點(diǎn)M表示的數(shù)是____________；點(diǎn)C表示的數(shù)是____________．(3)應(yīng)用三：如圖②，將一根拉直的細(xì)線看作數(shù)軸，一個三邊長分別為AB=4，AC=3，BC=5的三角形ABC的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AB邊在數(shù)軸正半軸上，將數(shù)軸正半軸的線沿A→B→C→A的順序依次纏繞在三角形ABC的邊上，負(fù)半軸的線沿A→C→B→A的順序依次纏繞在三角形ABC的邊上．①如果正半軸的線纏繞了n圈，負(fù)半軸的線纏繞了n圈，求繞在點(diǎn)C上的所有數(shù)之和；（用n表示）②如果正半軸的線不變，將負(fù)半軸的線拉長一倍，即原線上的點(diǎn)?2的位置對應(yīng)著拉長后的數(shù)?1，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，則繞在點(diǎn)B且絕對值不超過100的所有數(shù)之和是__________．【題型4有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例4】（2023上·河南鄭州·七年級校聯(lián)考期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠每名工人計劃每天生產(chǎn)300個醫(yī)用口罩，一周生產(chǎn)2100個口罩．由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．如表是工人小王某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）：（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小王星期五生產(chǎn)口罩個．（2）根據(jù)表格記錄的數(shù)據(jù)，求出小王本周實(shí)際生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量．（3）若該廠實(shí)行每周計件工資制，每生產(chǎn)一個口罩可得0.6元，若超額完成周計劃工作量，則超過部分每個另外獎勵0.15元，若完不成每周的計劃量．則少生產(chǎn)一個扣0.2元，求小王這一周的工資總額是多少元？（4）若該廠實(shí)行每日計件工資制，每生產(chǎn)一個口罩可得0.6元，若超額完成每日計劃工作量．則超過部分每個另外獎勵0.15元，若完不成每天的計劃量，則少生產(chǎn)一個扣0.2元，請直接寫出小王這一周的工資總額是多少元．星期一二三四五六日增減產(chǎn)量/個+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8【變式4-1】（2023上·浙江·七年級期末）出租車司機(jī)李師傅從上午8:00~9:15在廈大至?xí)怪行牡沫h(huán)島路上營運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載十批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，李師傅營運(yùn)十批乘客里程如下：（單位：千米）（1）將最后一批乘客送到目的地時，李師傅距離第一批乘客出發(fā)地的位置怎樣？距離多少千米？（2）上午8:00~9:15（3）若出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價8元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元．則李師傅在上午8:00~9:15【變式4-2】（2023上·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）股民銘銘上星期五買進(jìn)萱萱公司的股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位：元)(注：用正數(shù)記股價比前一日上升數(shù)，用負(fù)數(shù)記股價比前一日下降數(shù))(1)星期二收盤時，每股是多少元?(2)本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低價每股多少元?(3)已知銘銘買進(jìn)股票時付了購買金額0.1%的手續(xù)費(fèi)，賣出時需付成交額0.15%的手續(xù)費(fèi)和0.1%的交易稅，如果銘銘在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益(獲利)情況如何?【變式4-3】（2023上·浙江金華·七年級?？计谀?022年十一國慶期間，商場打出促銷廣告，如下表所示：優(yōu)惠條件一次性購物不超過200元一次性購物超過200元，但不超過600元一次性購物超過600元優(yōu)惠辦法沒有優(yōu)惠全部按九折優(yōu)惠其中600元扔按九折優(yōu)惠，超過600元部分按八折優(yōu)惠用代數(shù)式表示（所填結(jié)果需化簡）：(1)設(shè)一次性購買的物品原價為x元，當(dāng)原價x超過200元，但不超過600元時，實(shí)際付款為元；當(dāng)原價x超過600元時，實(shí)際付款為元．(2)若乙分兩次購物，第一次花費(fèi)189元，第二次花費(fèi)580元，則兩次購物的總原價為多少元？若合并成一次購買，比分兩次購買便宜多少元？【題型5利用整式加減確定方案問題】【例5】（2023上·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）某商場銷售一種乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定價80元，乒乓球每盒定價20元，“國慶節(jié)”假期期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價的90%某客戶要到該商場購買乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且為整數(shù)）．(1)用含x的代數(shù)式表示按兩種方案購買各需付款多少元？(2)若x=30，通過計算說明此時按哪種方案購買較合算；(3)當(dāng)x=30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【變式5-1】（2023上·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）小明家住房戶型呈長方形，平面圖如下（單位：米）．現(xiàn)準(zhǔn)備鋪設(shè)整個長方形地面，其中三間臥室鋪設(shè)木地板，其它區(qū)域鋪設(shè)地磚．（房間內(nèi)隔墻寬度忽略不計）（1）求a的值；（2）請用含x的代數(shù)式分別表示鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米；（3）按市場價格，木地板單價為300元/平方米，地磚單價為100元/平方米．裝修公司有A，B兩種活動方案，如表：已知臥室2的面積為21平方米，則小方家應(yīng)選擇哪種活動，使鋪設(shè)地面總費(fèi)用（含材料費(fèi)及安裝費(fèi)）更低？【變式5-2】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價300元，領(lǐng)帶每條定價50元.廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：①買一套西裝送一條領(lǐng)帶；②西裝和領(lǐng)帶都按定價的90%付款.現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買西裝30套，領(lǐng)帶x條（x>30）.（1）若該客戶按方案①購買，西裝需付款_______元，領(lǐng)帶需付款_______元（用含x的代數(shù)式表示）.若該客戶按方案②購買，西裝需付款_______元，領(lǐng)帶需付款______元（用含x的代數(shù)式表示）.（2）若x=50，通過計算說明按方案①、方案②哪種方案購買較為合算？（3）若兩種優(yōu)惠方案可同時使用，當(dāng)x=50時，你能給出一種最為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方案，并計算該方案所需付款金額.【變式5-3】（2023上·浙江·七年級期末）某農(nóng)戶2020年承包荒山若干畝，投資7800元改造后，種果樹2000棵．今年水果總產(chǎn)量為36000千克，此水果在市場上每千克售a元，在果園每千克售b元（b<a）．若該農(nóng)戶將水果拉到市場出售平均每天出售1000千克，需8人幫忙，每人每天付工資100元，農(nóng)用車運(yùn)費(fèi)及其他各項稅費(fèi)平均每天300元．(1)當(dāng)a=3，b=2時，農(nóng)戶在水果市場或在果園中出售完全部水果的總收入分別是多少元？(2)用a，b分別表示農(nóng)戶在水果市場或在果園中這兩種方式出售完全部水果的純收入？（純收入=總收入?總支出）(3)若a=b+kk>0，k?2=2?k且k是整數(shù)，若兩種出售水果方式都在相同的時間內(nèi)售完全部水果，試討論當(dāng)【題型6利用整式加減解決圖形周長或面積問題】【例6】（2023上·陜西西安·七年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移動．若AB=16cm，AC=12cm，BC=20cm，已知點(diǎn)(1)如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段CA上運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，QA=AP；(2)如圖②，點(diǎn)Q在線段CA上運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，△QAB的面積等于△ABC面積的14(3)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，AQ=BP【變式6-1】（2023上·廣東廣州·七年級廣州市第二中學(xué)?？计谀┌阉膹埿螤畲笮⊥耆嗤男￠L方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為3a厘米，寬為（2a－b）厘米）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．（1）求大長方形ABCD的周長；（2）求圖②中兩塊陰影部分周長之和．（用含a，b的式子表示）【變式6-2】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級呼和浩特市第三十五中學(xué)?？计谀榱诉M(jìn)行農(nóng)業(yè)試驗，某村開辟了A、B、C、D四塊試驗田．如圖所示，A試驗田可分割成3塊長方形的小試驗田（圖中長度單位：米），B試驗田的面積比A試驗田面積的2倍還多m+4n?4平方米．

A試驗田示意圖(1)用含m、n的式子表示A試驗田的面積為______平方米，B試驗田的面積為______平方米；(2)已知C、D試驗田的面積相等，且都比A試驗田的面積少2m①用含m、n的式子表示出A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為多少平方米？②當(dāng)A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為200平方米時，求B試驗田的面積比C試驗田的面積多多少平方米？【變式6-3】（2023上·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖是1925年數(shù)學(xué)家莫倫發(fā)現(xiàn)的完美長方形，它恰能被分割成10個大小不同的正方形，其中正方形1，2的邊長分別為x，y，則正方形3的邊長為x+y，正方形4的邊長為x+y+y=x+2y(1)用含x，y的代數(shù)式繼續(xù)表示正方形5～9的邊長；(2)已知在完美長方形中，y=1.2x，則當(dāng)x=5時，求這個完美長方形的周長．【題型7由一元一次方程的解確定字母的值】【例7】（2023上·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）已知代數(shù)式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c為常數(shù)，當(dāng)x＝1時，A＝5，x＝﹣1時，B＝4．（1）求3a+b﹣2c的值；（2）關(guān)于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解為2，求k的值．（3）當(dāng)x＝﹣1時，求式子E?1【變式7-1】（2023上·湖南長沙·七年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考期末）我們把解相同的兩個方程稱為同解方程.例如：方程：2x=6與方程4x=12的解都為x=3，所以它們?yōu)橥夥匠?(1)若方程2x?3=11與關(guān)于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；(2)若關(guān)于的方程3x?2x?k3=4x(3)若關(guān)于x的方程2x?3a=b2和【變式7-2】（2023·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)?？计谀┮阎猰，n是有理數(shù)，單項式﹣xny的次數(shù)為3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是關(guān)于x的一元一次方程．（1）若該方程的解是x＝3，求t的值．（2）若題目中關(guān)于x的一元一次方程的解是整數(shù)，請求出整數(shù)t的值．【變式7-3】（2023上·廣東廣州·七年級廣州市第五中學(xué)?？计谀┮阎鷶?shù)式A=3ax5+bx3?2cx+4，B=ax(1)求3a+b?2c的值；(2)關(guān)于y的方程k?4by=2a?cy?20的解為y=2(3)當(dāng)x=?1【題型8一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023上·重慶·七年級重慶市人和中學(xué)?？计谀├靡辉淮畏匠探鈶?yīng)用題：某學(xué)校剛完成一批結(jié)構(gòu)相同的學(xué)生宿舍的修建，這些宿舍地板需要鋪瓷磚，一天4名一級技工去鋪4個宿舍，結(jié)果還剩12m2地面未鋪瓷磚；同樣時間內(nèi)6名二級技工鋪4個宿舍剛好完成，已知每名一級技工比二級技工一天多鋪(1)求每個宿舍需要鋪瓷磚的地板面積．(2)現(xiàn)該學(xué)校有26個宿舍的地板和74m2的走廊需要鋪瓷磚，該工程隊一開始有4名一級技工來鋪瓷磚，施工3天后，學(xué)校根據(jù)實(shí)際情況要求還要2天必須完成剩余的任務(wù)，決定加入6名二級技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一級技工每天多鋪瓷磚面積與每名二級技工每天多鋪瓷磚面積的比為2【變式8-1】（2023上·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）某次籃球聯(lián)賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問題：隊名比賽場次勝場負(fù)場積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分嗎？若能，試求勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，說出理由．（3）試就某隊的勝場數(shù)求出該隊的負(fù)場總積分是它的勝場總積分的正整數(shù)倍的情況？【變式8-2】（2023上·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）近日，無錫市發(fā)展改革委印發(fā)《關(guān)于優(yōu)化調(diào)整居民階梯氣價政策有關(guān)事項的通知》，從2022年1月1日起，增加一、二檔用氣量，“一戶多人口”政策同步調(diào)整．氣量分檔用氣量（立方米）價格（元/立方米）調(diào)整前調(diào)整后第一檔年用氣量≤300年用氣量≤4002.73第二檔300＜年用氣量≤600400＜年用氣量≤10003.28第三檔年用氣量＞600年用氣量＞10003.82人口超過4人的家庭，每增加1人，一、二檔上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二檔上限增加60立方米、120立方米）．(1)若小明家有5口人，年用氣量1000立方米．則調(diào)整前氣費(fèi)為元，調(diào)整后氣費(fèi)為元；(2)小紅家有4口人，若調(diào)整后比調(diào)整前氣費(fèi)節(jié)省109元，則小紅家年用氣量為多少立方米？【變式8-3】（2023上·重慶·七年級重慶一中?？计谀?021年12月，某網(wǎng)店從甲廠家購進(jìn)了A、B兩種商品，A商品每件進(jìn)價40元，B商品每件進(jìn)價10元，兩種商品共購進(jìn)了500件，所用資金為11000元．(1)求12月A、B兩種商品各購進(jìn)了多少件？(2)12月初，該網(wǎng)店在出售A、B兩種商品時，A商品在進(jìn)價的基礎(chǔ)上加價30%出售，并以此價格售出了14，B商品以一定價格售出了15．為了促銷，余下的A、B兩種商品．網(wǎng)店推出買一件A商品送一件B商品的優(yōu)惠活動，但是單獨(dú)購買B商品無優(yōu)惠．到12月底，從甲廠家購進(jìn)的A、B兩種商品全部售完，且剩余的A商品都參加了促銷活動，最終網(wǎng)店通過銷售A、B兩種商品共獲利15(3)2022年1月份，甲廠家決定薄利多銷，提出了優(yōu)惠方案，同樣生產(chǎn)A、B兩種商品的乙廠家也提出了優(yōu)惠方案．甲廠家優(yōu)惠方案：購買總金額優(yōu)惠未超過2000元不打折超過2000元，未超過5000元全部打九折超過5000元全部打八折乙廠家優(yōu)惠方案：購買A商品的總件數(shù)購買B商品的總件數(shù)優(yōu)惠未超過50件未超過200件打九折超過50件，未超過130件的部分超過200件，未超過400件的部分打八折超過130件的部分超過400件的部分打七折1月份，該網(wǎng)店從甲廠家分兩次分別購進(jìn)A、B兩種商品，進(jìn)價與12月份相同，按照甲廠家優(yōu)惠方案，第一次全部購進(jìn)A商品實(shí)際付款4320元，第二次全部購進(jìn)B商品實(shí)際付款3690元．已知從乙廠家購買A商品每件進(jìn)價34元，購買B商品每件進(jìn)價12元，若網(wǎng)店從乙廠家購買與甲廠家數(shù)量分別相同的A、B兩種商品，并享受乙廠家的優(yōu)惠方案，那么相較于從甲廠家購買，網(wǎng)店實(shí)際付款金額是節(jié)省還是多花費(fèi)，節(jié)省或多花費(fèi)多少元？【題型9利用線段的和差探究線段間的關(guān)系】【例9】（2023上·江西南昌·七年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．

(1)若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時，求AD的長；②若點(diǎn)F在線段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長；(2)若AB=2DE，線段DE在直線AB上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=3【變式9-1】（2023上·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）線段AB和CD在同一直線上，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，已知AB=6cm，CD=8cm．(1)當(dāng)A，C兩點(diǎn)重合時，如圖1，求MN的長；(2)當(dāng)C點(diǎn)在線段AB上時，如圖2，如果線段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN的長；(3)在(2)的情況下，MN與AB，CD，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出結(jié)果)【變式9-2】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為線段AC,BD中點(diǎn)．(1)若AC=4，BC=10，求CE的長；(2)若AB=5CE，且點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)，試探究線段AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系．【變式9-3】（2023上·廣西桂林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線AB上，線段AB=24，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=10時，PN=；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=2PN時，求點(diǎn)P的運(yùn)動時間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【題型10利用角度的和差探究角度間的關(guān)系】【例10】（2023上·山西晉城·七年級?？计谀┮阎螦OB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；（直接寫出答案）(2)將（1）中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說明理由；(3)若∠AOC是鈍角，請先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．（不用寫探索過程，將結(jié)論直接寫在你畫的圖的下面）【變式10-1】（2023上·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改為“∠NOB=14∠COB，∠COM=34（3）如圖2，若ON、OC在∠AOB的外部時，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時，猜想：∠MON與β的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．【變式10-2】（2023上·重慶·七年級校聯(lián)考期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB上側(cè)任作一個∠COD，使得∠COD=90°．（1）如圖1，過點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時，請直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數(shù)關(guān)系，即∠BOD=______∠COE（填一個數(shù)字）；（2）如圖2，過點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數(shù)．【變式10-3】（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠AOC=∠BOD．

(1)試說明：∠AOB=∠COD；(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠DOE=24°，求∠BOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線OF，OG，當(dāng)∠BOF=∠DOF，∠FOG=3∠EOG時，請正確畫出圖形，并直接寫出∠AOG的度數(shù)．【題型11動點(diǎn)或旋轉(zhuǎn)角的綜合運(yùn)用】【例11】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)C在線段AB上，BC＝2AC．(1)如圖1，P，Q兩點(diǎn)同時從C，B出發(fā)，分別以1cm/s，2cm/s的速度沿直線AB①在P還未到達(dá)A點(diǎn)時，APCQ的值為②當(dāng)Q在P右側(cè)時(點(diǎn)Q與C不重合)，取PQ中點(diǎn)M，CQ的中點(diǎn)是N，求MNQB(2)若D是直線AB上一點(diǎn)，且AD?BD=12CD．則【變式11-1】（2023上·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠AOC=140°，∠BOC的余角比它的補(bǔ)角的(1)求∠BOC的度數(shù)；(2)如圖1，當(dāng)射線OP從OB處繞點(diǎn)O以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，保持射線OP始終在∠BOA的內(nèi)部，當(dāng)∠POC=20(3)如圖2，若射線OD為∠AOC的平分線，當(dāng)射線OP從OB處繞點(diǎn)O以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OT從射線OD處以x度/秒的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)這兩條射線重合于射線OE處（OE在∠DOC的內(nèi)部）時，∠DOE+∠BOC∠COE=92，求【變式11-2】（2023上·重慶綦江·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【變式11-3】（2023上·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將兩塊直角三角板（一塊含有30°、60°角，另一塊含45°角）擺放在直線MN上，三角板ODC繞點(diǎn)O以每秒15°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)OD第一次與射線OM重合時三角板ODC停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當(dāng)t=2s時，求∠BOC和∠AOD的度數(shù)；(2)如圖2，若兩塊三角板同時旋轉(zhuǎn)，三角板OAB以每秒20°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OA第一次與射線ON重合時三角板OAB立即停止轉(zhuǎn)動．①用含t的代數(shù)式表示射線OA和射線OD重合前∠BOC和∠AOD的度數(shù)；②整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)滿足∠AOD?∠BOC=5°時，求出相應(yīng)的t【題型12數(shù)式或圖形中的規(guī)律問題】【例12】（2023上·貴州安順·七年級校聯(lián)考期末）閱讀理解題．我們把從1開始至n的n個連續(xù)自然數(shù)的立方和記作SnS1S2S3?

觀察上面式子的規(guī)律，完成下面各題．(1)猜想出Sn=（用(2)依規(guī)律，直接求13+23(3)依規(guī)律，23(4)依規(guī)律，求113【變式12-1】（2023上·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）：(1)當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有________塊（如圖3）；(2)以此類推，人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；(3)【規(guī)律總結(jié)】若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為________（用含n的代數(shù)式表示）．(4)【問題解決】現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，則需要正方形地磚多少塊？【變式12-2】（2023上·江蘇宿遷·七年級校考期末）觀察下列各式：?1×1（1）根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個等式是________；（2）規(guī)律應(yīng)用：計算：?1×1（3）拓展應(yīng)用：計算：1×1【變式12-3】（2023上·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）小明在一條直線上選了若干個點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實(shí)際問題.（1）一條直線上有2個點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校七年級1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？【題型13數(shù)式或圖形中的新定義問題】【例13】（2023上·北京朝陽·七年級校聯(lián)考期末）對于數(shù)軸上的A,B,C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個點(diǎn)與其它兩個點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”.例如數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點(diǎn)B是點(diǎn)A,C的“聯(lián)盟點(diǎn)”.（1）若點(diǎn)A表示數(shù)-2,點(diǎn)B表示的數(shù)2，下列各數(shù)?23，0，4，6所對應(yīng)的點(diǎn)分別C1，C2，C3，C4，其中是點(diǎn)A,B的“聯(lián)盟點(diǎn)”的是（2）點(diǎn)A表示數(shù)-10,點(diǎn)B表示的數(shù)30，P在為數(shù)軸上一個動點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A,B的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求此時點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A,B中，有一個點(diǎn)恰好是其它兩個點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”，寫出此時點(diǎn)P表示的數(shù).【變式13-1】（2023上·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0為“美好方程”．(1)若關(guān)于x的方程3x+m=0與方程4x?2=x+10是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“美好方程，”求關(guān)于【變式13-2】（2023·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)校考期末）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值與x的取值無關(guān)，求y的值．（2）定義新運(yùn)算“@”與“⊕”：a@b＝a+b2，a⊕b＝a?b若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比較A和B的大小．【變式13-3】（2023上·北京昌平·七年級統(tǒng)考期末）給出如下定義：如果∠AOC+∠BOC=90°，且∠AOC=k∠BOC（k為正整數(shù)），那么稱∠AOC是∠BOC的“倍銳角”．(1)下列三個條件中，能判斷∠AOC是∠BOC的“倍銳角”的是________（填寫序號）；①∠BOC=15°；②∠AOC=70°；③OC是∠AOB的角平分線；(2)如圖，當(dāng)∠BOC=30°時，在圖中畫出∠BOC的一個“倍銳角”∠AOC；(3)如圖，當(dāng)∠BOC=60°時，射線OB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”∠AOC=_____°；(4)當(dāng)∠BOC=m°且存在它的“倍銳角”∠AOC時，則∠AOB=________°．

專題5.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】 1【題型2數(shù)軸上的折疊問題】 8【題型3絕對值中的最值問題】 17【題型4有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 26【題型5利用整式加減確定方案問題】 31【題型6利用整式加減解決圖形周長或面積問題】 35【題型7由一元一次方程的解確定字母的值】 41【題型8一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】 45【題型9利用線段的和差探究線段間的關(guān)系】 51【題型10利用角度的和差探究角度間的關(guān)系】 58【題型11動點(diǎn)或旋轉(zhuǎn)角的綜合運(yùn)用】 66【題型12數(shù)式或圖形中的規(guī)律問題】 75【題型13數(shù)式或圖形中的新定義問題】 80【題型1數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】【例1】（2023上·四川成都·七年級校考期末）已知A,B,C,D四點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，它們對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．動點(diǎn)P,Q同時分別從點(diǎn)A,D出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒4個單位長度，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度，線段BC所在部分為“交換區(qū)”，規(guī)則為：點(diǎn)P從點(diǎn)B進(jìn)入“交換區(qū)”，其運(yùn)動速度變?yōu)辄c(diǎn)Q原來的運(yùn)動速度，點(diǎn)Q從點(diǎn)(1)分別求a，(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時，求t的值及相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)且滿足BP=CQ時，求t的值．【答案】(1)?24，16(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時，t=416(3)t的值為4或194或【分析】（1）由|b|=|c|=6，且如圖點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在原點(diǎn)兩側(cè)，可求b=?6，c=6，則BC=12，由AB=32BC=（2）由題意得，點(diǎn)P從A到B需184=92秒，點(diǎn)Q從D到C需要102=5秒，即P與（3）分當(dāng)點(diǎn)P在A，B間，點(diǎn)Q在C，D間時，即0<t<92時，當(dāng)點(diǎn)P在B，C間，點(diǎn)Q在C，D間時，即92<t<5時，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在B，【詳解】（1）解：∵|b|=|c|=6，且如圖點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在原點(diǎn)兩側(cè)，∴b=?6，∴BC=12，∵AB=3∴AB=3解得，AB=18，∴a=?6?18=?24，∴a，d的值為?24，（2）解：由題意得，點(diǎn)P從A到B需184=92秒，點(diǎn)Q從D到∴P與Q在線段BC上相遇，∵AB=18，依題意得，18+2t?解得，t=41∴相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為?24+18+241∴當(dāng)P,Q兩點(diǎn)相遇時，t=416，相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在A，B間，點(diǎn)Q在C，D間時，即0<t<92時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為?24+4t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為∴BP=?6??24+4t=18?4t，∵BP=CQ，∴18?4t=10?2t，解得，t=4；當(dāng)點(diǎn)P在B，C間，點(diǎn)Q在C，D間時，即92<t<5時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2t?15，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為∴BP=2t?9，CQ=10?2t，∵BP=CQ，∴2t?9=10?2t，解得，t=19當(dāng)點(diǎn)P、Q都在B，C間，且在相遇前，即5≤t<416時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2t?15，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為∴BP=2t?9，CQ=4t?20，∵BP=CQ，∴2t?9=4t?20，解得，t=11綜上所述，t的值為4或194或11【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對值，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題．熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)N表示的數(shù)為n，點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離記為MN．我們規(guī)定：MN的大小可以用位于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)表示，即MN=n?m．

【應(yīng)用】請用上面的知識解答下面的問題：

如圖1，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為?16和6．(1)求A、B兩點(diǎn)之間的距離；(2)若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P，使得AP=13PB(3)如圖2，現(xiàn)有動點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)原點(diǎn)O后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，求：當(dāng)OP=4OQ時的運(yùn)動時間t的值．【答案】(1)22；(2)點(diǎn)P表示的數(shù)為?10.5或?27；(3)2或134【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A、B兩點(diǎn)之間的距離；（2）分三種情況：①點(diǎn)P在B點(diǎn)右邊時，②點(diǎn)在線段AB上；③點(diǎn)在線段A的左邊時，根據(jù)AP=1（3）根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動方向分兩種情況：①當(dāng)t≤3時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動；②當(dāng)t>3時，點(diǎn)Q從原點(diǎn)開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，根據(jù)OP=4OQ列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】（1）根據(jù)題可得：6?(?16)=22，（2）①當(dāng)P在B點(diǎn)右邊時，不存在，②當(dāng)P在AB之間時，22÷4=5.5，?16+5.5=?10.5，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為?10.5，③當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時，22÷2=11，?16?11=?27，

∴點(diǎn)P表示的數(shù)為?27，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為?10.5或?27；（3）當(dāng)0<t≤3時，16?4t=4(6?2t)，解得t=2，當(dāng)3<t≤4時，16?4t?4×3(?3)，解得t=13當(dāng)t>4時，4t?16=4×3(t?3)，解得t=2.5（舍去），∴t的值為：2或134【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，結(jié)合動點(diǎn)考查了兩點(diǎn)間的距離，以及路程、速度與時間關(guān)系的應(yīng)用，理解題意，找到相等關(guān)系進(jìn)行正確分類是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的有理數(shù)分別是a、b，且a+10+

(1)請直接寫出：a=______，b=______；(2)動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度向左運(yùn)動，動點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以4單位/秒的速度向左運(yùn)動，動點(diǎn)T從原點(diǎn)O出發(fā)以a單位/秒的速度向左運(yùn)動（a>0），三個動點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①請用含a或t的式子表示：動點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為______，動點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為______，動點(diǎn)T對應(yīng)的數(shù)為______；②若在運(yùn)動過程中，正好先后兩次出現(xiàn)TM=TN的情況，且兩次間隔的時間為10秒，求a的值；③若在運(yùn)動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，請直接寫出滿足條件a的值或a的取值范圍是______．【答案】(1)?10，32(2)①?10?2t，32?4t，?at②2或8231③【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性即可作答；（2）①向左運(yùn)動用減法運(yùn)算，向右運(yùn)動用加法運(yùn)算：則動點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為?10?2t，動點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為32?4t，動點(diǎn)T對應(yīng)的數(shù)為?at；②當(dāng)M與N重合時，?10?2t=32?4t，t=21，根據(jù)兩次間隔的時間為10秒，可知另一次TM=TN是在t=11或t=31時；可得11a?12=?11a+32，或?31a+92=31a?72，即可解得答案；③t=21時，M與N重合，此時TM=TN，根據(jù)在運(yùn)動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，故當(dāng)t=21時，T在M的左側(cè)，有?21a<?10?2×21，當(dāng)t>21時，T不能是MN的中點(diǎn)，可知N不能追上T，有a≥4．【詳解】（1）解：∵a+10+∴a+10=0，b?32=0，解得a=?10，b=32；（2）解：①根據(jù)題意，因為動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度向左運(yùn)動，所以動點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為?10?2t，因為動點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以4單位/秒的速度向左運(yùn)動，所以動點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為32?4t，因為動點(diǎn)T從原點(diǎn)O出發(fā)以a單位/秒的速度向左運(yùn)動動點(diǎn)T對應(yīng)的數(shù)為?at；②當(dāng)M與N重合時，TM=TN，∴?10?2t=32?4t解得t=21，∵兩次間隔的時間為10秒，∴另一次TM=TN是在t=11或t=31時；當(dāng)t=11時，則TN=32?4×11??11a=11a?12，∴11a?12=?11a+32，解得a=2；當(dāng)t=31時，則TN=?31a?32?4×31=?31a+92，∴?31a+92=31a?72，解得a=82∴a的值為2或8231③由②知，當(dāng)t=21時，M與N重合，此時TM=TN，∵在運(yùn)動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，∴當(dāng)t≤21時，T不能是MN的中點(diǎn)，即當(dāng)t=21時，T在M的左側(cè)，∴?21a<?10?2×21，解得a>52當(dāng)t>21時，T也不能是MN的中點(diǎn)，即N不能追上T，故T的速度要大于等于N的速度，∴a≥4，綜上所述，a≥4．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式表示式，數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，絕對值的非負(fù)性，化簡絕對值，熟練運(yùn)用分類討論思想，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示動點(diǎn)所表示的數(shù)．【變式1-3】（2023上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知，數(shù)軸上有三個點(diǎn)A，B，C，它們的起始位置表示的數(shù)分別是?5，?3，6，如圖所示．

(1)若將點(diǎn)B從起始位置開始沿數(shù)軸向右移動，使得B，C兩點(diǎn)之間的距離與A，B兩點(diǎn)之間的距離相等，則須將點(diǎn)B向右移動______單位；(2)若點(diǎn)A從起始位置開始，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，同時，點(diǎn)B也從起始位置開始，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．①求AC?BC（用含t的代數(shù)式表示）；②若點(diǎn)C也與點(diǎn)A，B同時從起始位置開始運(yùn)動，且點(diǎn)C以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，試問：是否存在一個常數(shù)k，使得k?AB?2BC的值不隨運(yùn)動時間t（秒）的變化而改變？若存在，請求出常數(shù)k，并求此時k?AB?2BC的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3.5(2)①當(dāng)0<t≤4.5時，AC?BC=3t+2，當(dāng)t>4.5時，AC?BC=20?t；②k=23【分析】本題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式，一元一次方程的應(yīng)用等，用含t的代數(shù)式表示各動點(diǎn)所在位置表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)點(diǎn)B向右移動了x個單位，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出AB和BC，列等式解方程即可；（2）①分點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)與右側(cè)兩種情況，用含t的代數(shù)式表示出AC和BC，作差即可；②用含t的代數(shù)式表示出AB和BC，進(jìn)而表示出k?AB?2BC，令t的系數(shù)為0可求出常數(shù)k的值．【詳解】（1）解：當(dāng)B，C兩點(diǎn)之間的距離與A，B兩點(diǎn)之間的距離相等時，B在A和C之間，設(shè)點(diǎn)B向右移動了x個單位，則移動后所在位置表示的數(shù)為?3+x，則?3+x?解得x=3.5，故答案為：3.5；（2）解：①運(yùn)動的時間為t（秒）時，點(diǎn)A表示的數(shù)為?5?t，點(diǎn)B表示的數(shù)為?3+2t，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時，?3+2t=6，解得t=4.5，當(dāng)0<t≤4.5時，點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)，AC=6??5?t=11+t，∴AC?BC=11+t?9?2t當(dāng)t>4.5時，點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)，AC=6??5?t=11+t，∴AC?BC=11+t?2t?9②運(yùn)動的時間為t（秒）時，點(diǎn)C表示的數(shù)為6+3t，AB=?3+2t??5?t∴k?AB?2BC=k3t+2令3k?2=0，得k=2∴當(dāng)k=23時，k?AB?2BC的值不隨運(yùn)動時間∴2【題型2數(shù)軸上的折疊問題】【例2】（2023上·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)校考期末）如圖①，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D表示的數(shù)分別是?16、6、18、26．動點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒4個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C后，立即按原來的速度返回．動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，點(diǎn)P也停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（t>0）秒．

(1)點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離是．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離是（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離恰好等于點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離時，求t的值．(4)在點(diǎn)P、Q的整個運(yùn)動過程中，若將數(shù)軸在點(diǎn)O和點(diǎn)P處各折一下，使點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，如圖②所示，當(dāng)所構(gòu)成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時，求t的值．【答案】(1)16(2)6+4t(3)t=1(4)1【分析】（1）由點(diǎn)A表示的數(shù)是?16，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解；（2）由OB=6，BP=4t，再根據(jù)OP=OB+BP即可求解；（3）可求得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，t=3，所以當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動時，0≤t≤3，此時點(diǎn)P表示的數(shù)是6+4t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是18+2t，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式代入即可求解；（4）可求得當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時，t=4，當(dāng)3<t≤4時，點(diǎn)P表示的數(shù)是30?4t,則OP=30?4t，PQ=6t?12再分六種情況討論，一是當(dāng)0≤t≤3，且OP=OA時，則6+4t=16；二是當(dāng)3<t≤4，且OP=OA時，則30?4t=16；三是當(dāng)0≤t≤3，且OP=PQ時，由（3）得t=1；四是當(dāng)3<t≤4，且OP=PQ時，則30?4t=6t?12；五是當(dāng)0≤t≤3，且PQ=OA時，則12?2t=16；六是當(dāng)3<t≤4，且PQ=OA時，則6t?12=16，解方程求出相應(yīng)的符合題意的【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是?16，∴OA=|?16?0|=16，故答案為：16．（2）解：∵點(diǎn)B表示的數(shù)是6，∴OB=6?0∵BP=4t，∴OP=OB+BP=6+4t，故答案為：6+4t.（3）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，則6+4t=18，解得t=3，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動時，0≤t≤3，∵點(diǎn)P表示的數(shù)是6+4t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是18+2t，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，∴OP=6+4t，由OP=PQ，得6+4t=12?2t，解得：t=1．（4）解：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時，則18+2t=26，解得t=4，當(dāng)3<t≤4時，點(diǎn)P表示的數(shù)是18?4(t?3)，即30?4t，∴OP=30?4t，當(dāng)0≤t≤3，且OP=OA時，則6+4t=16，解得：t=2.5；當(dāng)3<t≤4，且OP=OA時，則30?4t=16，解得：t=3.5；當(dāng)0≤t≤3，且OP=PQ時，由（3）得t=1；當(dāng)3<t≤4，且OP=PQ時，則30?4t=6t?12，解得：t=21當(dāng)0≤t≤3，且PQ=OA時，由（3）得PQ=12?2t，∴12?2t=16，解得t=?2，不符合題意，舍去；當(dāng)3<t≤4，且PQ=OA時，則6t?12=16，解得：t=14綜上所述，t的值是1，【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)軸與絕對值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q所對應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023上·湖北武漢·七年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗外國語學(xué)校）?？计谀┤鐖D，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中，點(diǎn)A表示的數(shù)為?6，點(diǎn)B表示的數(shù)為5，點(diǎn)C表示為9，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距15個長度單位，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴?fù)原速；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后也立刻恢?fù)原速．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，則：(1)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)O需要_____秒，從點(diǎn)O運(yùn)動至點(diǎn)B需要_____秒，從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C需要_____秒．(2)若P，Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，則點(diǎn)M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是多少？(3)請直接寫出當(dāng)t為何值時，P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)3，5，2(2)點(diǎn)M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是73(3)當(dāng)t=2，3.5，5，9.5時秒，OP=BQ．【分析】（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；（2）先判斷相遇時間大于5秒，再利用相遇時兩點(diǎn)在O，B上的路程和為5，再列方程求解即可；（3）分四種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在CB上時；②當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，點(diǎn)Q在CB上時；③當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，點(diǎn)Q在OB上時；④當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，點(diǎn)Q在OA上時，再列方程求解即可．【詳解】（1）解：動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)O需要0??6從點(diǎn)O運(yùn)動至點(diǎn)B需要5÷1=5秒，從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)C需要9?5÷2=2故答案為：3，5，2；（2）解：由題意可得相遇時間t>5，∴t?3+2解得t=16∴16∴點(diǎn)M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是73（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在CB上時，OP=6?2t，BQ=4?t，∵OP=BQ，∴6?2t=4?t，解得t=2；②當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，點(diǎn)Q在CB上時，OP=t?3，BQ=4?t，∵OP=BQ，∴t?3=4?t，解得t=3.5；③當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，點(diǎn)Q在OB上時，OP=t?3，BQ=2t?4∵OP=BQ，∴t?3=2t?4解得t=5；④當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，點(diǎn)Q在OA上時，OP=5+2t?8，BQ=5+∵OP=BQ，∴5+2t?8解得t=9.5；綜上：當(dāng)t=2或3.5，5，9.5時秒，OP=BQ．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·廣東梅州·七年級校考開學(xué)考試）如圖將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示?8，點(diǎn)B表示8，點(diǎn)C表示16，點(diǎn)D表示24，點(diǎn)E表示28，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)E在數(shù)軸上相距36個長度單位．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，兩點(diǎn)上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀叮降貏t保持初始速度不變．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)E時則兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．問：

(1)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至E點(diǎn)需要______秒，此時點(diǎn)Q對應(yīng)的點(diǎn)是______；(2)P，Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，求出相遇點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)是多少？(3)求當(dāng)t為何值時，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)10，C(2)點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)為17(3)當(dāng)t=143或223秒時，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q【分析】（1）依據(jù)動點(diǎn)P在各段運(yùn)行的距離除以相應(yīng)運(yùn)行的速度算出各段運(yùn)行的時間，然后相加即可算出動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至E點(diǎn)需要的時間共為10秒．然后再計算動點(diǎn)Q在10秒內(nèi)運(yùn)行到什么位置．（2）分析相遇點(diǎn)所在路段在C—D段，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)時與Q點(diǎn)相距2個長度單位，則可算出點(diǎn)P從C點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)所需的時間為29秒，則點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為16+（3）分段討論P(yáng)B與QD在數(shù)軸上的長度相等時的各種情況即可．【詳解】（1）由題意可知，動點(diǎn)P在AO、BC、DE段的速度均為4單位/秒，在OB段的速度為2單位/秒，在CD段的速度為8單位/秒，AO=OB=BC=CD=8，DE=4，∴動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至E點(diǎn)需要的時間為t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），∵動點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，在DE段的速度為2單位/秒，CD段的速度為1單位/秒，∴動點(diǎn)Q從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)D需要4÷2=2（秒），從點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)C需要8÷1=8（秒），∴此時點(diǎn)Q對應(yīng)的點(diǎn)是C；故答案為：10，C；（2）由（1）可知，P，Q兩點(diǎn)在M處相遇時，點(diǎn)M在C?D?E段，動點(diǎn)P由點(diǎn)A到點(diǎn)C點(diǎn)用時為8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），動點(diǎn)Q從點(diǎn)E到點(diǎn)D用時為4÷2=2（秒），∵(8?2)×1∴當(dāng)動點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，點(diǎn)Q與點(diǎn)C的距離8?6=2，∵28+1∴此時P、Q兩點(diǎn)再運(yùn)動29秒在點(diǎn)M∴點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)16+2（3）①當(dāng)點(diǎn)P在OA段時，點(diǎn)Q在DE段，此時PB大于8，QD小于4，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)P在OB段時，點(diǎn)Q在CD段，若PB=QD，則OB?t?2×2=PB，∴8?2t+4=t?2，解得：t=14③當(dāng)點(diǎn)P在BC段時，點(diǎn)Q在CD段，PB=t?6∴4t?24=t?2，解得：t=22④當(dāng)點(diǎn)P在CD段或DE段時，PB大于8，QD小于8，不符合題意．綜上所述，當(dāng)t=143或223秒時，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．【變式2-3】（2023上·江蘇蘇州·七年級校考期末）如圖1，已知點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、24，其中a、b滿足a+122+b?8=0，點(diǎn)C到原點(diǎn)距離是點(diǎn)(1)填空：a=_____，b=_____，c=_____；(2)如圖1，若點(diǎn)A、B、C分別同時以每秒4個單位長度、1個單位長度和mm>4個單位長度的速度勻速向左運(yùn)動，假設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)A與點(diǎn)D之間的距離表示為AD①t為何值時，AD=3BD？②若AB?32AC(3)如圖2，將數(shù)軸在原點(diǎn)O、點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．以每秒3個單位長度的速度沿“折線數(shù)軸”的正方向勻速運(yùn)動至點(diǎn)D，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)以每秒4個單位長度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向變速運(yùn)動，該點(diǎn)在平地保持初始速度不變，上坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．若P、Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，則點(diǎn)M表示的數(shù)為_____．【答案】(1)?12，8，16(2)①t=12，②m=6(3)72【分析】（1）由a+122+b?8=0可得：a+12=0，b?8=0，從而可求出a、b，再根據(jù)點(diǎn)C到原點(diǎn)距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的（2）①把AD，BD用含有t的式子表達(dá)，根據(jù)AD=3BD列出關(guān)于t的方程即可求解；②先把AB、AC的長度分別用含有t的式子表達(dá)，然后再用含有t的式子表達(dá)出AB?32AC，由AB?32AC的值始終保持不變，可令t=0，（3）先由題意分別計算Q點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)C、B、O三點(diǎn)時的t值，再分類討論在CD、BC、OB上相遇的t值是否符合題意即可．【詳解】（1）解：∵a+122∴a+12=0，b?8=0，∴解得：a=?12，b=8，∵點(diǎn)C到原點(diǎn)距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的2倍，OB=8，∴OC=2OB=2×8=16，∴c=16，故答案為：?12，8，16；（2）解：①由（1）可知，a=?12，b=8，c=16，∴點(diǎn)A向左平移對應(yīng)的點(diǎn)的數(shù)是?12?4t，點(diǎn)B向左平移對應(yīng)的點(diǎn)的數(shù)是8?t，點(diǎn)C向左平移對應(yīng)的點(diǎn)的數(shù)是16?mt，∴AD=24??12?4t=36+4t，∵AD=3BD，∴36+4t=316+t∴t=12；②已知點(diǎn)A以每秒4個單位長度向左運(yùn)動，B以每秒1個單位長度向左運(yùn)動，C以每秒mm>4∵AB=8?t??12?4t∴AB?3第一種情況：當(dāng)(m?4)t≥28時，AB?3令t=0時，AB?32AC=62；令t=1∵AB?3∴71?3∴m=6；第二種情況：當(dāng)(m?4)t<28時，AB?3令t=0時，AB?32AC=?22；令t=1∵AB?3∴32解得，m=2；∵m>4，∴m=2不符合題意，舍去，∴m=6．（3）解：點(diǎn)A表示的數(shù)為?12，以每秒3個單位長度的速度沿正方向運(yùn)動至點(diǎn)D，∴移動后的數(shù)表示為：?12+3t，當(dāng)點(diǎn)A移動至點(diǎn)D時，AD=24??12∴t=16s根據(jù)題意可知CD=8、BC=8、OB=8，∴當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)C時，t=84=2；運(yùn)動到點(diǎn)B時，t=84①P點(diǎn)、Q點(diǎn)在CD上相遇，則3t+4t=36，t=36∵365∴t=36②P點(diǎn)、Q點(diǎn)在BC上相遇，則3t+2t?2∴t=32∵325∴t=32③P點(diǎn)、Q點(diǎn)在OB上相遇，則3t+16+8t?6=36，∵6811∴點(diǎn)M表示的數(shù)為：?12+3t=?12+3×68∴點(diǎn)M表示的數(shù)為7211故答案為：7211【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，如何表示線段的長度，絕對值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系并列出方程，分類討論，還需注意運(yùn)動過程中速度的變化．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023上·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于m?n．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為2?5=；數(shù)軸上表示數(shù)3和?1的兩點(diǎn)距離為3??1=；x+4的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最小？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）：①代數(shù)式x+3+x?4的最小值是______，此時②代數(shù)式x+6+x+3+③代數(shù)式x+7+x+4+【答案】（1）3,4,x,?4；（2）①點(diǎn)A、點(diǎn)B之間；②點(diǎn)B；③點(diǎn)C、點(diǎn)B之間；（3）①7;?3≤x≤4；②8，?3；③18,?4≤x≤2【分析】（1）根據(jù)材料1填空，直接寫出答案；（2）根據(jù)材料2填空，分情況討論點(diǎn)P的位置，得出P到其他點(diǎn)的距離之和最?。唬?）根據(jù)問題（2）得出的結(jié)論填空即可．【詳解】解：（1）|2?5|=3，|3?(?1)|=4,|x+4|=|x?(?4)|,x+4的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)x和?4這兩點(diǎn)的距離；故答案為：3,4,x,?4．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊，PA+PB=2AP+AB,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間，PA+PB=AB,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，PA+PB=2PB+AB.∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間時才能使P到A的距離與P到B的距離之和最?。蚀鸢笧椋狐c(diǎn)A、點(diǎn)B之間．②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊，PA+PB+PC=2PA+AC+BP,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間時，PA+PB+PC=AC+BP,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C、點(diǎn)B之間時，PA+PB+PC=AC+BP，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C、點(diǎn)B之間時，PA+PB+PC=AC+BP，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右邊，PA+PB+PC=AC+BP+2PC，∴點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在點(diǎn)B時才能使P到A,B,C三點(diǎn)的距離之和最?。蚀鸢笧椋狐c(diǎn)B．③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊，PA+PB+PC+PD=4PA+2AB+CB+AD，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間時，PA+PB+PC+PD=2PB+BC+AD，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C、點(diǎn)B之間時，PA+PB+PC+PD=BC+AD，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C、點(diǎn)D之間時，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2PC，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D右邊時，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2DC+4PD，∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C、點(diǎn)B之間時，P到A,B,C,D四點(diǎn)的距離之和最?。蚀鸢笧椋狐c(diǎn)B、點(diǎn)C之間．（3）①由探究材料2得，當(dāng)?3≤x≤4時，有最小值，最小值為7．|x+3|+|x?4|=x+3+4?x=7,∴有最小值，最小值為7．故答案為：7;?3≤x≤4．②由探究材料2得，這是在求點(diǎn)x到?6、?3、2三點(diǎn)的最小距離，∴當(dāng)x=?3時，有最小值，最小值為8，|x+6|+|x+3|+|x?2|=|?3+6|+|?3+3|+|?3?2|=8．故答案為：8;?3．③由探究材料2得，這是在求點(diǎn)x到?7、?4、2、5四點(diǎn)的最小距離，∴當(dāng)?4≤x≤2時，有最小值，最小值為18，|x+7|+|x+4|+|x?2|+|x?5|=x+7+x+4+2?x+5?x=18．故答案為：18,?4≤x≤2．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸絕對值的性質(zhì)，掌握點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，一定分情況討論，（3）的解題思路是在探究（2）的基礎(chǔ)上知識進(jìn)一步的延伸是解決此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023上·湖南懷化·七年級校考期末）閱讀下列材料：我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，a=a?0也就是表示數(shù)a與數(shù)0的兩點(diǎn)之間的距離，a?b表示數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)

例1．已知x=2，求x解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)數(shù)是為?2和2，即x的值為?2和2．例2．已知x?1=2，求x解：在數(shù)軸上與1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)數(shù)為3和?1，即x的值為3和?1．依照閱讀材料的解法，完成下列各題：(1)若x=3，則x=________，若x+2=4，則(2)x+1+x?2的最小值是________，若x+1+