6.5.1直線與平面垂直的判定（教學設(shè)計）高一數(shù)學（北師大版2019）

北師大版必修第二冊第六章《立體幾何初步》6.5.1直線與平面垂直的判定（教學設(shè)計）【教學目標】1.掌握直線與平面垂直的判定定理的推導(dǎo)過程；（邏輯推理）2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.（數(shù)學抽象、邏輯推理）【教學重點】直線與平面垂直的判定定理【教學難點】直線與平面垂直的判定定理的理解與應(yīng)用【教學過程】一、實例分析，提出問題閱讀課本P241思考以下問題：思考：先觀察如圖(1)的長方體，可以知道：b，c是平面α內(nèi)的兩條相交直線，a⊥b，a⊥c，這時，a⊥α.再觀察如圖(2)的長方體，可以知道：平面α內(nèi)的兩條平行直線b，c雖然都與直線α垂直，但a與問題1：若直線a與平面α內(nèi)的一條直線垂直，那么是否可以判定線a與平面α垂直？問問題1：若直線a與平面α內(nèi)的一條直線垂直，那么是否可以判定線a與平面α垂直？問題3：若直線a與平面α內(nèi)的兩條相交的直線垂直，那么是否可以判定線a與平面α垂直？二、抽象概括，得出概念1，直線與平面垂直的判定定理文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。簡稱：線線垂直，線面垂直符號語言：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A?l⊥α圖形語言：注意：直線與平面垂直的判定定理的三要素缺一不可：①平面外的一條直線；②平面內(nèi)兩條相交直線；③平面外的這條直線垂直平面內(nèi)這兩條相交直線.【概念辨析】1．若直線l⊥平面α，則下列說法正確的是（

）A．l僅垂直平面α內(nèi)的一條直線 B．l僅垂直平面α內(nèi)與l相交的直線C．l僅垂直平面α內(nèi)的兩條直線 D．l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直2．已知直線l1⊥平面α，直線l2?平面α，則l1A．相交 B．垂直 C．異面 D．平行3．(多選)下列命題正確的是（

）A．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面B．如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面C．如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面D．如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面【參考答案】1．D【詳解】因為若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直．ABC錯誤，D正確，故選：D2．B【詳解】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，則l1⊥l3．CD【詳解】A中兩條直線一定要是兩相交直線，如果是兩平行直線，結(jié)論不成立；B中的無數(shù)條直線如果是平行直線，結(jié)論也不成立；只有C與D才成立．三、典例剖析，理解概念(課本P242頁)：例3證明：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.已知：如圖，l1//l2，l證明：要證明l2//α，只需證明l2與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，如圖，在平面α因為l1//α，所以l1又因為l1//l2，所以又因為a?α，b?α，a，（課本P242）例4例4.如圖，長桿l與地面α相交于點O，在桿子上距地面2m的點P處掛一根長2.5m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的點A或點B(A,,B,O三點不在同一條直線上)，如果A，B兩點和點O的距離都是1.5m，那么長桿l和地面是否垂直解：在△POA和△POB因為PO=2m所以POPO2根據(jù)勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A，B，O三點不共線，因此PO⊥【方法點撥】證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義：線垂直面，線垂直面內(nèi)所有的直線(2)線面垂直的判定定理：線垂直面內(nèi)兩條相交的直線，證明線線垂直的方法：勾股定理、余弦定理、等腰三角形、等邊三角形的底邊中線的性質(zhì)，菱形、正方形對角線互相垂直，直徑所對的圓周角是直角.(3)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．(4)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．【當堂訓練】1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，點E為線段PD的中點．求證：AE⊥平面PCD；證明∵PA=AD，E為線段PD的中點，∴AE⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA,AD?平面∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，PD,CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD四、遷移應(yīng)用，掌握概念1．如圖．在正方形ABCD中，P，Q分別是AB，BC的中點，將△APD、△PBQ、△CDQ分別沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C(1)證明：MD⊥平面MPQ(2)證明：點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．分析：（1）在正方形ABCD中，AP⊥AD，CD⊥CQ，折起后，可得MP⊥MD，MD⊥MQ,即可證得MD⊥平面MPQ；（2）點M在平面PDQ的投影為O，則MO⊥平面PDQ，連接DO并延長DO與PQ交于點F，連接QO并延長QO與PD交于點E，可得MQ⊥平面MPD，進而證得PD⊥平面MOQ，則PD⊥EQ，同理可證PQ⊥DF，所以點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．證明：（1）因為在正方形ABCD中，AP⊥AD，CD⊥CQ，所以折起后，CD、AD重合為MD,可得MP⊥MD，為MP∩MQ=M，又MP、MQ?平面MPQ，所以MD⊥平面（2）設(shè)點M在平面PDQ的投影為O，則MO⊥平面PDQ，得MO⊥PD，MO⊥PQ．連接DO并延長DO與PQ交于點F，連接QO并延長QO與PD交于點E，因為在正方形ABCD中，BP⊥BQ，所以折起后，可得MP⊥MQ，又因為MD⊥MQ，MD∩MP=M，所以MQ⊥平面MPD，因為PD?平面MPD，所以MQ⊥PD，又MQ∩MO=M且兩直線在平面MOQ內(nèi)，所以PD⊥平面MOQ，因為EQ?平面MOQ，所以PD⊥EQ，同理可證PQ⊥DF，故點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．五、當堂檢測，鞏固達標1．已知直線m,n和平面α，則（

）A．若m//α,m⊥n，則n⊥α B．若m⊥α,m⊥n，則n//αC．若m⊥α,n?α，則m⊥n D．若m//α,n//α，則m//n2．已知m,n表示空間中兩條不同的直線，α表示一個平面，且m∥α，則“n⊥α”是“m⊥n”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在三棱錐A-BCD中，AB=AD,CB=CD,O為BD的中點.證明：BD⊥平面OAC.【參考答案】

1．C【詳解】對于A，若m//α,m⊥n，則n⊥α或n//α或n?α或n,α斜交，故A錯誤；對于B，若m⊥α,m⊥n，則n//α或n?α，故B錯誤；對于C，由線面垂直的性質(zhì)可知：若m⊥α,n?α，則m⊥n，故C正確；對于D，若m//α,n//α，則m//n或m,n相交或m,n異面，故D錯誤.故選：C.2．A【詳解】

如圖，在長方體ABCD-A1