第15講指數(shù)函數(shù)

第15講：指數(shù)函數(shù)【考點歸納】考點一、指數(shù)函數(shù)的概念考點二、求指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值考點三、指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用考點四、指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域考點五、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)考點六、比較大小考點七、簡單的指數(shù)不等式的解法考點八、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用考點九、指數(shù)函數(shù)的最值問題考點十、指數(shù)函數(shù)的綜合【知識梳理】知識點一指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)知識點三解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．知識點四指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域．(2)當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反．【例題詳解】題型一、指數(shù)函數(shù)的概念1．（2023高一·江蘇）給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義，對所給函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】①中，的系數(shù)是－1，故①不是指數(shù)函數(shù)；②中，的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)；③中，的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有一項，故③是指數(shù)函數(shù)；④中，的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù)．⑤中，底數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．綜上，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為1，故選：B.2．（2324高一上·青海西寧·期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，即可證明.【詳解】由已知得，即得.故選：C3．（2223高三上·江蘇常州）若p：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，，則q是p的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)命題和指數(shù)函數(shù)的定義列方程解得，根據(jù)命題解得，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】命題p真，則，解得或2，又，∴；q為真，則或2，∴q是p的必要不充分條件.故選：C．題型二、求指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值4．（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知指數(shù)函數(shù)且，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)值求出，再求函數(shù)值即可.【詳解】，故選：A.5．（2324高一上·吉林長春·期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．，且【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的概念，得且，解得．故選：B6．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則．【答案】/【分析】采用待定系數(shù)法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)所過點可求得函數(shù)解析式，代入即可.【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，過點，，解得：，，.故答案為：.題型三、指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用7．（2324高一上·四川樂山·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象【詳解】依題意，可得，則為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則A，B，C均不正確，故選：D．8．（2324高一上·福建漳州·期中）函數(shù)的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再由及當(dāng)時函數(shù)值的特征判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為且，故為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，因為，故排除C、D；當(dāng)時，故排除A.故選：B9．（2324高三上·湖南·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、定義域、正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，所以該函數(shù)的定義域為，顯然關(guān)于原點對稱，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于縱軸對稱，故排除選項AC，當(dāng)時，，排除選項B，故選：D題型四、指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域10．（2324高一上·安徽·期中）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用定義域和值域的關(guān)系，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域的知識分析即可.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為故選：C11．（2324高一上·天津紅橋·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求指數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域.【詳解】由，則，所以的值域為.故選：C12．（2324高一上·河北·階段練習(xí)）已知，（）的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分情況討論時，時，及時分段函數(shù)的值域，再根據(jù)集合間的關(guān)系列不等式，解不等式.【詳解】若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又函數(shù)的值域滿足，則，解得；若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又函數(shù)的值域，滿足，成立；若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，則，又不成立，所以此時不成立；綜上所述：，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是對進(jìn)行分類討論，同時結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求解相關(guān)函數(shù)值域，最后得到不等式組，解出即可.題型五、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)13．（2324高一上·重慶·期末）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求分段函數(shù)的兩段均遞增，且左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)函數(shù)值，列出不等式，計算即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A14．（2324高一上·福建福州·期末）設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】易知，顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，且，所以.故選：A15．（2324高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】確定，，得到，當(dāng)時，，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；當(dāng)時，，，.函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得；同理可得：當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；綜上所述：.故選：B.題型六、比較大小16．（2324高一下·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)的單調(diào)性判斷，進(jìn)而得到答案.【詳解】因為在第一象限為增函數(shù)，，所以，因為在第一象限為增函數(shù)，，所以，所以，故選：B.17．（2324高一上·云南昆明·期末）若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為在R上單調(diào)遞增，所以，因為在R上單調(diào)遞減，所以，所以，即.故選：B.18．（2324高一上·河南漯河·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則下列結(jié)論中，必成立的是（

）A．，， B．，，C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可結(jié)合函數(shù)圖象求解ABD，利用作差法可得,進(jìn)而得，即可求解C.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在為增函數(shù)，由于，而，因此，，無法確定正負(fù)，如故，AB錯誤，D正確，由于，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又因為不等于0，則等號無法取到，因此，又，所以，由于，，在為增函數(shù)，因此故,故C錯誤，故選：D．題型七、簡單的指數(shù)不等式的解法19．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡集合，由交集的概念即可求解.【詳解】因為集合，，所以.故選：D20．（2324高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式得解.【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，有，顯然，不等式轉(zhuǎn)化或，解得或，所以不等式的解集為.故選：C21．（2324高一上·廣東潮州·期末）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，解之即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式等價于，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，，可得，解得，故原不等式的解集為.故選：A.題型八、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用22．（2324高一上·浙江寧波·期末）某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長率生長.若經(jīng)過周后，該植物的長度是原來的倍，則再經(jīng)過周，該植物的長度大約是原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】設(shè)植物原來的長度為，由已知可得出，求出的值，利用指數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)植物原來的長度為，經(jīng)過周后，該植物的長度為原來的倍，即，即，即，再過周后該植物的長度為.因此，再經(jīng)過周，該植物的長度大約是原來的倍.故選：C.23．（2324高一上·重慶云陽·階段練習(xí)）第1次從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿，第2次再從該容器中倒出，又用水填滿；…．若要使容器中的純酒精不足，則至少要連續(xù)進(jìn)行以上操作（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】B【分析】計算出4次后，容器中的純酒精小于，得到答案.【詳解】進(jìn)行1次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行2次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行3次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行4次后，容器中的純酒精為．故連續(xù)進(jìn)行4次后，容器中的純酒精不足．故選：B24．（2023·四川宜賓·一模）某種病毒的繁殖速度快、存活時間長，a個這種病毒在t天后將繁殖到個．已知經(jīng)過4天后病毒的數(shù)量會達(dá)到原來的2倍．且再過m天后病毒的數(shù)量將達(dá)到原來的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算求解.【詳解】由題可知，，所以，經(jīng)過天，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?6倍，即，則有，解得，故選:C.題型九、指數(shù)函數(shù)的最值問題25．（2223高一上·天津南開·期末）已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩函數(shù)的最大值，然后由題意可知，再解關(guān)于的不等式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)時，，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為對任意的，總存在使得成立，所以，所以，解得，故選：C26．（2223高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在區(qū)間上有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】“在區(qū)間上，恒成立”等價于“在區(qū)間上，”，分別討論和，得到關(guān)于的不等式，即可求解出結(jié)果．【詳解】“在區(qū)間上，恒成立”等價于“在區(qū)間上，”當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，在處取得最小值，即，解得，故；當(dāng)時，，即，解得，故．綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：C27．（2122高二上·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原問題等價于，使得，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可求解.【詳解】解：，使得，等價于，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.題型十、指數(shù)函數(shù)的綜合28．（2324高一上·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．(1)求的表達(dá)式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明.【答案】(1)(2)是偶函數(shù)，證明見解析【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)定義即可列方程求解；（2）由偶函數(shù)定義即可判斷并得證.【詳解】（1）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，，可得或舍去，（2）是偶函數(shù)

,證明如下：，，，是偶函數(shù)．29．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）對任意，存在，使得，則，即，在上恒成立，再利用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，因為，則，所以，其中，則時，，時，，即，所以的值域為；（2）由，，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因為對任意，存在，使得，則，所以，在上恒成立，令，因為，則，即在上恒成立，則在上恒成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題第二問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為，在上恒成立.30．（2324高一上·四川遂寧·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求的值；(2)求在上的解析式；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求得，從而得解；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對稱性即可得解；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時，＝，所以，解得，所以.（2）由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，又，所以在上的解析式為.（3）因為當(dāng)時，，所以由，得，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得是減函數(shù)，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】結(jié)論點睛：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減；【專項訓(xùn)練】一、單選題31．（2324高一下·青海海東）已知函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象過點，求出a的值，即可求得答案.【詳解】由題意可知，所以，故選：C.32．（2324高二下·云南大理·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的定義域，以及時，且，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，故排除B,C,當(dāng)時，且，排除A.故選：D.33．（2324高一下·上海·期中）已知a、，，則下列不等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解ABC，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解D.【詳解】對于A，由于，所以，A正確，對于B，由，則，故B正確，對于C，，滿足，但，故C不一定成立，對于D，由于為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，則，D正確，故選：C34．（2324高一上·浙江杭州·期末）設(shè)函數(shù).若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照從內(nèi)到外的原則，先計算的值，再代入，即可求出的值.【詳解】由于函數(shù)，且，則，且，所以，即，得.故選：B.35．（2324高一上·安徽安慶·期末）已知關(guān)于的不等式（其中）在R上恒成立，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知不等式化為，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)性，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題意得原不等式可化為，因，所以在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，．于是且，于是，，，故選：D．36．（2324高一上·湖北武漢·期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對分離常數(shù)得到，即可研究函數(shù)的值域，進(jìn)而根據(jù)高斯函數(shù)定義求解即可.【詳解】，因為，所以，所以，即，所以，即，所以.故選：C37．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知，若命題“，或”為真命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段討論x的取值范圍，結(jié)合命題的真假列出相應(yīng)不等式，最后綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)時，，無論取何值，均符合題意；當(dāng)時，，只需，解得或；當(dāng)時，，由題中條件可得，只需對于恒成立，當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，圖象為開口向上的拋物線，不能滿足對恒成立，不符合題意；當(dāng)時，的2個根為，需滿足，結(jié)合，可得，綜合上述可知的取值范圍是，故選：B.38．（2324高一上·寧夏石嘴山·期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】探討函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再利用性質(zhì)求解不等式即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，而不等式，于是，兩邊平方得，解得，所以所求不等式的解集為.故選：B二、多選題39．（2324高一上·安徽淮南·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域為B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．對任意的，【答案】CD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：由，所以該函數(shù)的定義域為，因此本選項結(jié)論不正確；B：因為，所以有，因此是偶函數(shù)，所以本選項不正確；C：由上可以確定本選項正確；D：，當(dāng)時，，而，于是有，當(dāng)時，，而，于是有，綜上所述：對任意的，，因此本選項正確，故選：CD40．（2324高一上·江蘇常州·期末）若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，即可求解.【詳解】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，即，故選：BD.41．（2324高一上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分別求出值域，根據(jù)值域的并集為建立不等式，逐項判斷即可.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，其值域為，當(dāng)時，單調(diào)遞增，其值域為，由題意的值域為，所以，所以，記，且，在一個坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：

因為，所以，又因為，所以，所以，要使，則，因為，所以，因為，所以，所以，結(jié)合選項可知，實數(shù)的值可以是，.故選：BD42．（2324高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù)，則（

）A．不關(guān)于原點對稱B．C．在上單調(diào)遞減D．的解集為【答案】AC【分析】先求出函數(shù)定義域檢驗選項A；代入求出檢驗選項B；結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性檢驗選項C；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式檢驗選項D．【詳解】由，得，即定義域為，不關(guān)于原點對稱，故A正確；因為，，所以，B錯誤；當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確．對于D，由B知圖象關(guān)于對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減．又時，，所以，時，．①當(dāng)，即時，由得，解得，即；②當(dāng)時，不等式組無解，不合題意；③當(dāng)，即時，，，不合題意；④當(dāng)，即時，，，符合題意．綜上所述，的解集為,,，D錯誤．故選：AC．【點睛】函數(shù)圖象常見對稱性：（1）若，則的圖象關(guān)于對稱；（2）若，則的圖象關(guān)于對稱.三、填空題43．（2324高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）不等式的解集是.【答案】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意知，，又指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，解得，即原不等式的解集為.故答案為：44．（2324高一下·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，則.【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)，列出相應(yīng)方程，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，故,解得,故,故答案為；145．（2324高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】設(shè)，利用奇函數(shù)的定義可得出，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算可得出實數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，可得，即函數(shù)的定義域為，則，即，即，解得.故答案為：.46．（2324高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，且在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性求出，不等式變?yōu)樵谏虾愠闪栴}，求出的最大值即可.【詳解】因為，①得，又和分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，設(shè)，則只需，易知在上為增函數(shù)，，所以，故答案為：.四、解答題47．（2324高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知函數(shù)，其中.(1)求，并計算的值；(2)作出該函數(shù)的圖象，并求函數(shù)的值域.【答案】(1)；0；(2)作圖見解析，【分析】（1）直接代入式子計算、即可；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分離常數(shù)法求函數(shù)值域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性作出的圖象.【詳解】（1），；（2）由（1）知，，，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，且，為增函數(shù)，因為，所以，得函數(shù)的值域為.的圖象如下圖，48．（2324高一上·河南洛陽·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的定義域及實數(shù)a的值；(2)用單調(diào)性定義判定的單調(diào)性．【答案】(1)定義域為，(2)在、上單調(diào)遞減【分析】（1）借助奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；（2）借助函數(shù)單調(diào)性的定義作差判斷即可得.【詳解】（1）由：，得，所以的定義域為，因為是奇函數(shù)，則，即，即，所以，則，所以；（2），，則，當(dāng)時，，，，則，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，，，則，即，所以在上單調(diào)遞減，故在、上單調(diào)遞減.49．（2324高一上·安徽宿州·期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過點．(1)求實數(shù)，的值并指出的