3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（第1課時函數(shù)的單調(diào)性）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)第1課時函數(shù)的單調(diào)性人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.2.理解函數(shù)單調(diào)性的含義,掌握利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法.3.能夠利用定義或圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性的概念1.

定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D:如果?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是

的

函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是

的

圖示

<>上升

下降

2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間

叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

函數(shù)的局部性質(zhì)名師點(diǎn)睛1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì),這個區(qū)間可能是整個定義域,也可能是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個子集.2.對于單獨(dú)一點(diǎn),由于它對應(yīng)的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時,可以包括端點(diǎn),也可以不包括端點(diǎn),但在某些點(diǎn)無意義時,單調(diào)區(qū)間不能包括這些點(diǎn).I思考辨析若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)在R上就是增函數(shù)嗎?提示

不一定,例如f(x)=x2滿足f(2)>f(1),但函數(shù)f(x)在R上是先減后增.自主診斷1.若函數(shù)f(x)=ax-3在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為

.

(0,+∞)解析

因?yàn)閒(x)=ax-3在R上單調(diào)遞增,所以a>0.2.[蘇教版教材習(xí)題]設(shè)a為實(shí)數(shù),已知函數(shù)y=f(x)在定義域R上是減函數(shù),且f(a+1)>f(2a),求a的取值范圍.解

由題意得a+1<2a,所以a>1,即a的取值范圍是(1,+∞).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】

(1)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C(2)函數(shù)y=x2+x+2,x∈(-5,5)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)D(3)函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1]B作出函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0]和[1,+∞).故選B.規(guī)律方法1.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性.(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當(dāng)k>0時,該函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時,該函數(shù)在R上是減函數(shù).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對稱軸x=-為分界線.(3)反比例函數(shù)y=(k≠0)的單調(diào)性如下表所示.k的符號單調(diào)性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減k<0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增2.對于含絕對值的函數(shù)可以去掉絕對值號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或作出函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性.3.注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.變式訓(xùn)練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].

探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】

[人教B版教材例題]求證:函數(shù)y=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù).規(guī)律方法利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒

作差變形的常用技巧(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項式函數(shù)時,作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時,作差后往往進(jìn)行通分,然后對分子進(jìn)行因式分解.(3)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時,作差后往往考慮分子有理化.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷這個函數(shù)在(-∞,-2)上的單調(diào)性并證明.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-2}.(2)f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.證明如下:∵x1,x2∈(-∞,-2),x1<x2,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.探究點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小【例3—1】

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.★★【例3—2】

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對于任意x1,x2∈R(x1≠x2)均有

<0成立,若f(1-a)>f(2a-1),則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)B規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時,要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.變式訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在(-∞,0]上的增函數(shù),且f(-2)=3,則滿足f(2x-3)

<3的x的取值范圍是(

)A解析

因?yàn)閒(-2)=3,所以由f(2x-3)<3?f(2x-3)<f(-2),因?yàn)閒(x)是定義在(-∞,0]上的增函數(shù),C解析

由題意得當(dāng)x≥0時,f(x)=-x2,則函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(x)≤f(0)=0,當(dāng)x<0時,f(x)=x2,則函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(x)>f(0)=0,所以函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),(3)已知g(x)的定義域是[-2,2],且在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.解

∵g(x)的定義域是[-2,2]且在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),角度2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例3—3】

函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A規(guī)律方法含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應(yīng)明確若函數(shù)在某一區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的子集,即I?D.變式訓(xùn)練4如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A圖象開口向上,∴函數(shù)在區(qū)間(-∞,1-a]上單調(diào)遞減,要使f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則1-a≥4,解得a≤-3.角度3.含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性問題【例3—4】

已知f(2x)=|x-a|,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)A所以f(x)在區(qū)間(-∞,2a]上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,所以2a≥2,得a≥1.故選A.規(guī)律方法

判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時不要忽視分段函數(shù)定義域的分界點(diǎn)的大小,由于分段函數(shù)是一個函數(shù),因此對于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小應(yīng)滿足函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),否則求出的參數(shù)的取值范圍會出現(xiàn)錯誤.變式訓(xùn)練5若函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1.(多選題)若函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD解析

由圖象可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,故選AD.

2.已知函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-2]C解析

∵函數(shù)f(x)