預習10講橢圓2024年高二數學暑假預習（人教A版2019選擇性）原卷版

2024年高二數學暑假預習（人教A版2019選擇性必修第一冊）預習10講橢圓（精講+精練）①橢圓的定義及其應用②橢圓的幾何性質③求橢圓的標準方程④橢圓的離心率一、橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.二、橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關系注：給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.三、橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，注：離心率常用變形：.（）當越接近1時，越接近，橢圓越扁；當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當且僅當時，圖形為圓，方程為四、直線與橢圓的位置關系1、直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯立成方程組，消元轉化為關于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、直線與橢圓的相交弦直線與橢圓問題（韋達定理的運用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；①橢圓的定義及其應用策略方法橢圓定義的應用類型及方法(1)探求軌跡：確認平面內與兩定點有關的軌跡是不是橢圓．(2)應用定義轉化：涉及焦半徑的問題，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a實現等量轉換．(3)焦點三角形問題：常把正、余弦定理同橢圓定義相結合，求焦點、三角形的面積等問題．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（

）A．6 B．3 C．4 D．22．（2324高二上·海南省直轄縣級單位·期中）已知坐標平面上的兩點和，動點P到A、B兩點距離之和為常數3，則動點P的軌跡是（

）A．射線 B．線段 C．圓 D．橢圓3．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．4．（2024高二上·全國·專題練習）已知為兩定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段5．（2324高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．且6．（2324高二上·山東煙臺·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，若過且斜率不為0的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（）A． B． C． D．7．（2324高二上·廣東佛山·期末）已知平行四邊形的頂點在橢圓上，頂點分別為的左、右焦點，則該平行四邊形的周長為（

）A． B．4 C． D．88．（2324高二上·吉林長春·期末）橢圓上的點到左焦點的距離為2，N為的中點，則（O為坐標原點）的值為（）A．8 B．2 C．4 D．9．（2324高二下·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10②橢圓的幾何性質策略方法利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構造函數或不等關系．(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關系求解．【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知下列橢圓的方程，分別求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標和頂點坐標．(1)；(2)．2．（2324高三上·西藏林芝·階段練習）已知橢圓的一個焦點為.(1)求出橢圓的方程；(2)求出橢圓的離心率及其長軸長.二、單選題3．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓上的點的橫、縱坐標的范圍分別為（

）A． B．C． D．4．（2324高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的短軸長為，焦距為，則橢圓的上頂點到右焦點的距離為（

）A． B． C． D．5．（2324高二上·云南昆明·期末）焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．6．（2324高二上·河南焦作·階段練習）橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（

）A． B． C．2 D．47．（2324高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A． B． C． D．8．（2324高二上·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知橢圓，則不隨參數的變化而變化的是（

）A．頂點坐標 B．離心率 C．焦距 D．長軸長9．（2324高二上·河南南陽·階段練習）已知A為橢圓的上頂點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．③求橢圓的標準方程策略方法待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·四川成都·階段練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經過點，求它的標準方程(2)長軸長是短軸長的3倍，且經過點；2．（2024高二上·全國·專題練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)長軸長是短軸長的5倍，且過點；(2)離心率，焦距為12.3．（2324高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；(2)焦點在y軸上，且經過兩個點和；(3)經過和點．4．（2024高三·全國·專題練習）分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3；(2)離心率為，且經過點．5．（2324高二上·福建福州·階段練習）回答下面兩個題(1)求經過點和點的橢圓的標準方程；(2)如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構成一個橢圓.此時拱頂離水面，水面寬，那么當水位上升時，求水面的寬度

④橢圓的離心率策略方法求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構造a，c的齊次式．離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·四川眉山·期中）若橢圓的離心率為e，則e的值為（

）A． B．2 C． D．2．（2324高二上·廣西·階段練習）已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或4．（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的離心率為，則（

）A．3 B． C．2 D．5．（2324高二下·北京·開學考試）橢圓的左右焦點分別為，過與長軸垂直的直線與橢圓交于兩點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2324高二上·福建福州·期末）已知短軸長為2的橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2324高二上·福建福州·期末）已知橢圓的左右焦點分別是，，過的直線與相交于A，B