2.5.1等腰三角形的軸對稱性等腰三角形的性質(zhì)與判定（5大題型提分練）

2.5.1等腰三角形的軸對稱性：等腰三角形的性質(zhì)與判定題型一等腰三角形的性質(zhì)——兩腰相等1．等腰三角形的周長為，其中一邊長為．則該等腰三角形的底長為A．3或5 B．3或7 C．3 D．5【詳解】解：①是腰長時(shí)，底邊，，不能組成三角形；②是底邊時(shí)，腰長，能夠組成三角形；綜上，該等腰三角形的底長為．故本題選：．2．如果等腰三角形的各邊長是整數(shù)，周長為9，那么這樣的等腰三角形有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【詳解】解：設(shè)等腰三角形的腰長為，則底邊長為，由題意可得：，解得：，為整數(shù)，或4，當(dāng)時(shí)，，等腰三角形的三邊長分別為3，3，3；當(dāng)時(shí)，，等腰三角形的三邊長分別為4，4，1；綜上，這樣的等腰三角形有2個(gè)．故本題選：．3．定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，腰的長為4，則底邊的長為．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L是腰長的2倍時(shí)，腰長，底邊的長為8，，不能組成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L是底邊長的2倍時(shí)，腰長，底邊的長為2；綜上，底邊的長為2．故本題答案為：2．4．已知等腰三角形的周長為，一腰上的中線把等腰三角形分成周長之差為的兩個(gè)三角形，求等腰三角形的腰長．【詳解】解：設(shè)腰長為，底邊長為，①若腰比底邊長，則，解得：；②若底邊比腰長，則，解得：；綜上，這個(gè)三角形的腰長是或．5．如圖，和都是等腰直角三角形，與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．證明：（1）；（2）．【詳解】證明：（1），，即，在和中，，，；（2），，，，，即．題型二等腰三角形的性質(zhì)定理——等邊對等角1．已知等腰三角形的一個(gè)外角等于，則它的頂角是A． B． C．或 D．不能確定【詳解】解：①若是頂角的外角，則頂角；②若是底角的外角，則底角，那么頂角．故本題選：．2．如圖，，，則等于A． B． C． D．【詳解】解：，，，，，，，，．故本題選：．3．定義：我們將等腰三角形的頂角與一個(gè)底角的度數(shù)的比值叫做這個(gè)等腰三角形的“特征值”，記作．若，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【詳解】解：設(shè)該等腰三角形的頂角的度數(shù)為，則該等腰三角形的底角度數(shù)為，，解得：．故本題答案為：36．4．已知：如圖，在中，，是的外角，．求證：平分．【詳解】證明：，，，，，，平分．5．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，的周長為18，求的周長．【詳解】解：（1）在中，，，，是的垂直平分線，，，；（2）的周長為18，，，，，得垂直平分線交于，，的周長是．6．如圖，在中，，，（1）若，，則；（2）若，求的度數(shù)．【詳解】解：（1），，，，，，，故本題答案為：；（2）設(shè)，，，，．7．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，，，點(diǎn)在底邊上，，連接．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)在（點(diǎn)、除外）上運(yùn)動時(shí)，試猜想并探究與的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若，試就圖②探究與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，，，，，，；（2）設(shè)，，，，，；（3）設(shè)，，，，，，，，，，，．題型三等腰三角形的性質(zhì)定理——三線合一1．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿上一點(diǎn)往地面拉兩條長度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)，到桿腳的距離相等，且，，在同一直線上時(shí)，電線桿就垂直于．工程人員這種操作方法的依據(jù)是A．等邊對等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形“三線合一” D．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等【詳解】解：，，，故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”．故本題選：．2．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，，垂足分別為、，且．求證：是的中點(diǎn)．【詳解】證明：，，且，是的角平分線，，是的中點(diǎn)．3．如圖，中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，且，求證：．【詳解】證明：如圖，連接，中，，是的中點(diǎn)，，，，又，垂直平分，．4．已知：如圖，是等腰三角形，是底邊上的中線，和分別垂直于、，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．【詳解】證明：是等腰三角形，是底邊上的中線，平分，，，，，在和中，，，．題型四等腰三角形的判定——兩邊相等、判定定理——等角對等邊1．如圖，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，則長是A．4 B．5 C．6 D．8【詳解】解：，，，，，，．故本題選：．2．如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③；④的周長；⑤．其中正確的有A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【詳解】解：，，，是的平分線，是的平分線，，，，，，都是等腰三角形，，，，的周長，①②④正確．故本題選：．3．如圖，已知的面積為18，平分，且于點(diǎn)，則的面積是．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，，，∠BAD=∠BDA，AB=DB，，，，．故本題答案為：9．4．如圖，在中，，點(diǎn)、、分別在、、邊上，且，．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【詳解】證明：，，在和中，，，，是等腰三角形；（2）如圖，，，，，，，，．5．如圖，已知點(diǎn)，分別是的邊和延長線上的點(diǎn)，作的平分線，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）作的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，平分，，，．6．如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，與相交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）求證：為等腰三角形．【詳解】證明：（1）在和中，，，；（2），，，，，為等腰三角形．題型五等腰三角形的存在性問題1．如圖，已知中，，，在直線取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【詳解】解：分三種情況：①，②，③PA=PB，如圖，①以點(diǎn)為圓心，長為半徑交直線于點(diǎn)和，②以點(diǎn)為圓心，長為半徑交直線于點(diǎn)和，③線段垂直平分線與直線的交點(diǎn)記為點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)共有4個(gè)．故本題選：．2．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的的網(wǎng)格中，點(diǎn)，在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)，連接和，使是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)．【詳解】解：如圖，分兩種種情況：①當(dāng)在，，，位置上時(shí)，；②5當(dāng)在，位置上時(shí)，；綜上，滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)有6個(gè)．故本題答案為：6．3．有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)放在上，移動三角板，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)移動的過程中，點(diǎn)、、始終保持在一條直線上．若直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的度數(shù)為【詳解】解：由題意可知：，，，①如圖，時(shí)，，，，；②如圖，時(shí)，，，，，；綜上，的度數(shù)為或．故本題答案為：或．4．已知：在中，，．（1）如圖，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)．求證：；（2）若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，在與中，，，，；（2）解：，，，由（1）可知：，，設(shè)，則，，，是等腰三角形，故分三種情況討論：①．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，解得：，即；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，解得：，即；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，不合題意，舍去；綜上，或．1．如圖，中，，的角平分線于，為的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值A(chǔ)．1.5 B．3 C．4.5 D．9【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為．故本題選：．2．如圖，在中，，．若某個(gè)三角形與能拼成一個(gè)等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【詳解】解：在中，，，則，（1）取一個(gè)和全等，其中，，，，此時(shí)有兩種拼圖方法：①如圖1，將與拼接在一起，，，點(diǎn)，，在一條直線上，為等腰三角形，且，；②如圖2，將于拼接在一起，，，點(diǎn)，，在一條直線上，為等腰三角形；（2）取一個(gè)，使，，，，如圖3，將于拼接在一起，，點(diǎn)，，在一條直線上，此時(shí)，，為等腰三角形；（3）取一個(gè)，使，，，，如圖4，將與拼接在一起，，點(diǎn)，，在一條直線上，此時(shí)，，為等腰三角形；（4）取一個(gè)，使，，，，如圖5，將與拼接在一起，，點(diǎn)，，在一條直線上，此時(shí)，，為等腰三角形；（5）取一個(gè)，使，，，，如圖6，將與拼接在一起，，，，點(diǎn)，，在一條直線上，此時(shí)，，為等腰三角形；（6）取一個(gè)，使，，，，如圖7，將與拼接在一起，，，，點(diǎn)，（E），在一條直線上，此時(shí)，為等腰三角形；綜上，拼成的等腰三角形有7種．故本題選：．3．如圖，在中，，，在中，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，使其兩邊分別交于交于點(diǎn)，連接，那么的周長為．【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，在中，，，，在中，，，，，，，在和中，，，，，，，，，即，在和中，，，，，，，即的周長為10．故本題答案為：10．4．已知關(guān)于、的方程組．（1）求方程組的解（用含的代數(shù)式表示）；（2）若方程組的解滿足條件，求的取值范圍；（3）若、是等腰三角形的兩條邊，且等腰三角形的周長為9，求的值；（4）若無論取何值，等式總成立，求的值．【詳解】解：（1），①②得：，解得：，將代入①得：，該方程組的解為：；（2），，化簡為：，解得：；（3）、是等腰三角形的兩條邊，且等腰三角形的周長為9；①，解得：，，，不能組成三角形；②，解得：，，，能組成三角形；；（4），可化為：，當(dāng)，即時(shí)，無論取何值，等式總成立．5．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè)．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線、上．活動一：如圖甲所示，從點(diǎn)開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，為第1根小棒．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）小棒能無限擺下去嗎？答：；（填“能”或“不能”）（2）設(shè)，；活動二：如圖乙所示，從點(diǎn)開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第1根小棒，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，；（用含的式子表示）（4）若只能擺放5根小棒，求的范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)已知條件可知：小棒兩端能分別落在兩射線上，小棒能繼續(xù)擺下去，故本題答案為：能；（2），，，，，；（3），，，，同理可得：，，故本題答案為：；（4）由題意可得：，．6．如圖①，中，、的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行線交、于、．試說明：．探究一：請寫出圖①中線段與、間的關(guān)系，并說明理由．探究二：如圖②，若的平分線與的外角平分線交于，過點(diǎn)作的平行線交于，交于．這時(shí)與、的關(guān)系又如何？請直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由．【詳解】證明：平分，，，，，；探究一：，理由如下：，同理可得：，；探究二：，理由如下：平分，，，，，，同理可得：，．7．如果一個(gè)三角形被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個(gè)三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時(shí)，為的等腰分割線．（1）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：是的一條等腰分割線．（2）在中，為的等腰分割線，，，請你畫出所有可能的圖形并求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：如圖2，是線段的垂直平分線，，即是等腰三角形，，，，，即是等腰三角形，是是一條等腰分割線；（2）解：線段即為所求分割線，和都是等腰三角形，①如圖3，，，，，；②如圖4，，，，，，，；③如圖5，，，，，，；綜上，的度數(shù)為或或．8．如圖1，在中，，，的平分線交邊于點(diǎn)．（1）求證：為