北師大版高中數(shù)學(xué)必修一課件2.6習(xí)題課函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用（共26張）

習(xí)題課——函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用一、函數(shù)的奇偶性是函數(shù)定義域上的概念,而函數(shù)的單調(diào)性是區(qū)間上的概念,因此在判定函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候,一定要指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二、在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函數(shù)都是奇函數(shù);f(x)=x2n(n∈Z)型函數(shù)及常函數(shù)都是偶函數(shù).三、設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么它們?cè)诠捕x域上,滿足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.四、若f(x)為奇函數(shù),且在區(qū)間[a,b](a<b)上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上是增(減)函數(shù);若f(x)為偶函數(shù),且在區(qū)間[a,b](a<b)上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上是減(增)函數(shù),即奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同;而偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反.五、若f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0;若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(|x|).做一做1

若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),則f(x)(

)

A.在[1,7]上是增函數(shù)

B.在[-7,2]上是增函數(shù)C.在[-5,-3]上是增函數(shù) D.在[-3,3]上是增函數(shù)解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),所以m=1.所以f(x)=-x2+2,結(jié)合函數(shù)f(x)可知選C.答案:C做一做2

若奇函數(shù)f(x)滿足f(3)<f(1),則下列各式中一定成立的是(

)

A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)解析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1).答案:A做一做3

導(dǎo)學(xué)號(hào)91000083定義在R上的偶函數(shù)f(x),對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,則f(3),f(-2),f(1)按從小到大的順序排列為

.

解析:由已知條件可知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(3)<f(2)<f(1).再由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)<f(-2)<f(1).答案:f(3)<f(-2)<f(1)探究一探究二探究三思想方法探究一利用函數(shù)的奇偶性求解析式

【例1】

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函數(shù)的定義求f(0);探究一探究二探究三思想方法解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.(3)函數(shù)f(x)在R上的解析式為探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練1

本例中若把“奇函數(shù)”換成“偶函數(shù)”,求x<0時(shí)f(x)的解析式.

解:設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x).∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.探究一探究二探究三思想方法探究二應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判定

函數(shù)值的大小

【例2】

設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),∴f(2)<f(3)<f(π).∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.答案:A探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練2

若將本例中的“增函數(shù)”改為“減函數(shù)”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系如何?

解:因?yàn)楫?dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是減函數(shù),所以有f(2)>f(3)>f(π).又f(x)是R上的偶函數(shù),故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).探究一探究二探究三思想方法探究三應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解函數(shù)不等式

【例3】

導(dǎo)學(xué)號(hào)91000084設(shè)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:因?yàn)閒(x)在[-2,2]上為奇函數(shù),且在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[-2,2]上為減函數(shù).又f(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法延伸探究:在本例中,把“奇函數(shù)f(x)”改為“偶函數(shù)f(x)”,其余條件不變,結(jié)果又如何?解:因?yàn)閒(-x)=f(x),f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以y=f(x)在[-2,0]上是單調(diào)遞增的.因?yàn)閒(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練3

若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),且f(a+1)>f(3-a),求a的取值范圍.

解:∵f(x)是偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),∴f(a+1)>f(3-a),∴f(-|a+1|)>f(-|3-a|).∴-|a+1|>-|3-a|.∴|a+1|<|3-a|.∴a2+2a+1<9-6a+a2.∴a<1,即a的取值范圍為(-∞,1).探究一探究二探究三思想方法化歸思想在解抽象不等式中的應(yīng)用典例已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),且滿足下列條件:①f(x)為奇函數(shù);②f(x)在定義域上單調(diào)遞減;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】

要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求實(shí)數(shù)a的取值范圍,應(yīng)利用函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性去掉“f”,建立關(guān)于a的不等式組求解.探究一探究二探究三思想方法解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(1-a2)=-f(a2-1).∴f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a)<-f(1-a2)?f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定義域(-1,1)上是單調(diào)遞減的,∴a的取值范圍為(0,1).探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),實(shí)數(shù)a滿足不等式f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:∵f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),∴f(x)的圖像在y軸左側(cè)遞減.又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,則在y軸右側(cè)同樣遞減.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,∴f(x)的圖像在R上遞減.∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).123451.設(shè)f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù),且f(4)>f(1),則下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)解析:∵f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù),∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).答案:D123452.已知x>0時(shí),f(x)=x-2017,且知f(x)在定義域R上是奇函數(shù),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式是(

)A.f(x)=x+2017 B.f(x)=-x+2017C.f(x)=-x-2017 D.f(x)=x-2017解析:設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x-2

017.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=x+2

017.故選A.答案:A123453.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=

.解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.答案:-26123454.若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),則