1.1.9偏導(dǎo)數(shù)與全微分

新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)（微分學(xué)積分學(xué)）第五版PAGEPAGE11.1.9偏導(dǎo)數(shù)與全微分課題偏導(dǎo)數(shù)與全微分（4學(xué)時(shí)）時(shí)間年月日教學(xué)目的要求理解偏導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)。會(huì)求二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。會(huì)求二元函數(shù)的極值、全微分。了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。重點(diǎn)會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法手段精講多練主要內(nèi)容時(shí)間分配偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)10分鐘偏導(dǎo)函數(shù)5分鐘例1-例310分鐘幾何意義5分鐘高階偏導(dǎo)數(shù)10分鐘例4-例510分鐘復(fù)合函數(shù)的微分法10分鐘例610分鐘隱函數(shù)的微分法10分鐘例710分鐘二、二元函數(shù)的極值1、定義5分鐘2、必要條件10分鐘3、充分條件10分鐘例810分鐘三、全微分1、定義5分鐘2、必要條件10分鐘3、充分條件10分鐘例9-例1110分鐘4、在近似計(jì)算中的應(yīng)用例12-例1320分鐘作業(yè)備注偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而在處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，記為。如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或即類似地，函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為記為，或即2、偏導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是、的函數(shù)，就稱它為對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記為，或即類似地，可以定義函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記為，或即注：（1）在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值；就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。（2）對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)和，不能理解為與或與的商，它只是一個(gè)整體記號(hào)，與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可看作是兩個(gè)微分與之商是不同的。（3）以后在不至于混淆的時(shí)候也把偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)。（4）偏導(dǎo)數(shù)的定義可以推廣到三元及以上的函數(shù)。（5）由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變化，而另一個(gè)自變量暫時(shí)被看作常量，所以仍是一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題?！纠?】求函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。解因?yàn)?，所以【?】求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解，【例3】求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解，注：對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使其所有偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)時(shí)連續(xù)的；而一元函數(shù)如果在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則其在該點(diǎn)一定是連續(xù)的。如函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，即但在點(diǎn)處不連續(xù)。3、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義在空間直角坐標(biāo)系中，函數(shù)表示一曲面，如果把中的固定，設(shè)，則表示曲面與平面相交的一曲線。由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知是交線上點(diǎn)處切線的斜率，即時(shí)這條曲線上點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率，這就是偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。同理，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面與平面相交曲線在處的切線對(duì)軸的斜率。4、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)、都是、的函數(shù)。如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)。依照對(duì)變量求導(dǎo)數(shù)的次序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，分別表示如下：其中第三、第四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。同樣可得到三階及三階以上的更高階的偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)?！纠?】求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。解因?yàn)?，所以，定?如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)、在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等。注：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)?！纠?】證明函數(shù)滿足方程。解因?yàn)樗?，所以因?、二元復(fù)合函數(shù)微分法設(shè)函數(shù)，而、都是、的函數(shù)，，，于是是、的函數(shù)，稱函數(shù)為與、的復(fù)合函數(shù)。定理2設(shè)，在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)，在相應(yīng)點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)，且，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以敘述為：多元復(fù)合函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)各個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)與中間變量對(duì)該自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積之和。這一法則稱為鎖鏈法則或鏈法則。【例6】設(shè)，求，。解因?yàn)樗?、隱函數(shù)的微分法設(shè)方程確定了隱函數(shù)，將其代入方程，得兩端對(duì)求導(dǎo)，得若，則有若方程確定了隱函數(shù)，將代入方程，得兩端對(duì)、求偏導(dǎo)數(shù)，得，若，則有，【例7】設(shè)，求，。解令，則，，代入公式得二元函數(shù)的極值1、二元函數(shù)極值的定義如果二元函數(shù)對(duì)于點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)所有點(diǎn)，總有則稱為函數(shù)的極大值；如果總有則稱為函數(shù)的極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。極值的必要條件定理3如果函數(shù)在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，那么，。使函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn)。注：與一元函數(shù)類似，駐點(diǎn)不一定時(shí)極值點(diǎn)。極值的充分條件定理4如果函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且為駐點(diǎn)。記，,則（1）當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處有極小值；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處有極大值。（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)極值。（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處可能有極值，也可能無(wú)極值，另需作討論?！纠?】求函數(shù)的極值。解，，,解方程得兩個(gè)駐點(diǎn)，在駐點(diǎn)處，所以點(diǎn)不是極值點(diǎn)；在駐點(diǎn)處，且所以點(diǎn)是極大值點(diǎn)，極大值為注：二元可微函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是偏導(dǎo)數(shù)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)。全微分定義如果二元函數(shù)在點(diǎn)處的改變量（稱為全微分）可以表示為其中不依賴于，而僅與有關(guān)，。則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分，記為，即如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱這函數(shù)在內(nèi)可微。必要條件定理5如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必存在，且，。即函數(shù)在點(diǎn)處的全微分為3、充分條件定理6若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微。【例9】求函數(shù)的全微分。解因?yàn)?，所以【?0】求函數(shù)在點(diǎn)處當(dāng)時(shí)的全增量與全微分。解因?yàn)橛忠驗(yàn)椋?，所以【?1】求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。解因?yàn)樗?，在近似?jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，在