2022高3統(tǒng)考數(shù)學文北師大版1輪教師文檔：第4章 含答案

第四章

DISIZHANG

平面向量與復數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

回顧教材-夯實基礎課本溫故追根求源

授課提示：對應學生用書第75頁

［基礎梳理］

1.向量的有關概念

(1)向量的定義：既有大小,又有方向的量叫向量,常用?；蛲ū硎?

(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向線段的自度叫作向量的模，記作同

或畫

(3)幾個特殊向量：

點

名萩、\長度(模)方向

零向量0任意

單位向量1任意

相等向量相等相同

相反向量相等相反

平行向量相同或相反

2.向量的加法、減法與數(shù)乘

定義法則(或幾何意義)運算律

石(1)交換律：

求兩個向量和的a~\~b=b~\~ai

加法

運算三角形法則(2)結(jié)杳詬(a+b)+c

=a+(b+c)

a

平廳四邊形法則

yy

向量。加上向量

減法力的相反向量叫a—b=a-\-(—b)

作。與b的差

三角眩法則

⑴附=1加1;

⑴兒⑷=a“)a；

實數(shù)A與向量a(2)當Z>0時，癡與。的方向

數(shù)乘(2)(2+〃)a=癡+〃a；

的積的運算相同;

(3)1(。+力)=癡+肪

當％<0時，及與。的方向和

反；

當2=0時，z?=0

3.共線向量定理

向量a(aWO)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使歸國.

4.平面向量基本定理

(1)定理：如果0，62是同一平面內(nèi)的兩個丕共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的

任意向量〃，有且只有一對實數(shù)21,丸2,使。=加￡1+22￡2.

(2)基底：不共線的向量&叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

5.平面向量的坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基

底，該平面內(nèi)的任一向量Q可表示成。=看+0,由于。與數(shù)對(%,y)是一一對應

的，把有序數(shù)對(x,y)叫作向量。的坐標，記作a=Cr,v),其中。在x軸上的坐

標是x,。在y軸上的坐標是y.

6.平面向量的坐標運算

設。=(xi,yi),b=g")，則a+==(xi+x2,y1+y2),a-b

向量的加法、減法

=(XL必w一￥2)

向量的數(shù)乘設。=(JGy),貝I]a/)

向量坐標的求法設A(xi,yi),8(x2,"),則AB=(X2—陽，Y2—yI)

7.向量共線的坐標表示

若。=(xi,yi),6=(X2,>2),則a%=xiy2—%2月=0.

一知識拓展提升思維能力

1.與向量。共線的單位向量為端

2.兩非零向量不共線求和時，兩個法則都適用；共線時，只適用三角形法則.

3.A,B,。三點共線，。為A,B,C所在直線外任一點，則所=2為+〃歷且

2+^=1.

4,若協(xié)=振，則4,B,。三點共線.

5.P為線段AB的中點所+兩.

6.G為△A3C的重心=6X+GA+G±=()=36=；(次+m+沆)(0是平面內(nèi)

任意一點).

7.尸為△ABC的外心=|成1=1而1=1的.

8.阿一步|區(qū)|。功|W|a|+|b|.

9.若。與。不共線，〃+/而=0,則2=〃=0.

［四基自測］

L(基礎點:向量共線與三點共線)已知能=(一m，-5n),BC=(-2mf8〃)，CD

=(3/n,—3w),貝！J()

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,力三點共線D.A,C,。三點不共線

答案：A

2.(基礎點：向量減法的坐標運算)已知向量。=(2,3),6=(3,2),則|a—臼=()

A.A/2B.2

C.5啦D.50

答案：A

3.（基礎點：平面向量基本定理）已知△ABC,設。是BC邊的中點，用篇與衣表

示向量而，則由）=.

答案：

4.（易錯點：向量加減法的幾何意義）在平行四邊形4BC。中，^\ABA-AD\=\AB

-ADI，則四邊形ABCQ的形狀為.

答案：矩形

考點分類-深度剖析名，幣導悟以例示法

授課提示：對應學生用書第76頁

考點一向量的基本概念

挖掘判斷向量有關概念的正確性/自主練透

［例］（1）給出下列五個命題：

①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；

②若|0|=步|,則。=5；

③在。48co中，一定有油=反；

④若m=〃，n=p,則，，2=p；

⑤若b〃c,則。〃c.

其中不正確的個數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.5

［解析］兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不

一定有相同的起點和終點，故①不正確；|。|=|可，但4,方方向不確定，所以明

方不一定相等，故②不正確：③、④正確；零向量與任一非零向量都平行，當力

=0時，Q與C不一定平行，故⑤不正確.

［答案］B

（2）給出下列命題：

①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.

②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.

③腦=0（2為實數(shù)），則義必為零.

④九"為實數(shù)，若%=〃兒則。與力共線.

其中錯誤的命題的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］①錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.

②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為

實數(shù)，故可以比較大小.

③錯誤.當。=0時，不論2為何值，〃=0.

④錯誤.當五="=0時，）M=jJb=0f此時，。與8可以是任意向量.

［答案］C

［破題技法］把握向量有關概念的關鍵點

(1)定義，方向和長度，二者缺一不可.

⑵非零共線向量，方向相同或相反，長度沒有限制，與直線平行不同；與起點

無關；非零向量的平行也具有傳遞性.

⑶相等向量，方向相同且長度相等，與共線向量不同；相等向量具有傳遞性.

(4)單位向量，方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；言是與a同方向的單位

向量.

(5)零向量，方向沒有限制，長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.

(6)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等的向量.解題時，不要把它與

函數(shù)圖像的平移混淆.

考點二共線向量定理及其應用

挖掘1判定點或向量共線/芻主練透

［例1］(1)已知平面內(nèi)一點P及△48C,若成+而+無=通，則點。與△ABC

的位置關系是()

A.點P在線段AB上

B.點”在線段8c上

C.點P在線段AC上

D.點P在△A3。外部

［解析］由成+兩+無=卷知：成+而+無=而一戌，即比?=一2成，故點P

在線段AC上.

［答案］C

(2)已知向量eir0,2ER,a=e\+Xe2,b=2e\t若向量a與向量b共線，則()

A.2=0B.€2=0

C.e\//D.ei〃C2或2=0

［解析］設a=kb,

J2火=1,

.?.61+融2=2履1,.*.1,

，=().

當4=0時,a=e\f；?b=2ei.

a與方共線，

當ei〃e2時，。與b也共線.

［答案］D

［破題技法］兩向量共線有兩種應用形式：

(1)幾何形式:a=勸.

(2)代數(shù)形式:a=3,yi),b=g").a//b^>x\y2—xiy\=0,其實質(zhì)都是等式

關系.故〃〃方等價于存在不全為零的實數(shù)為，22,使力。+九26=0成立.

挖掘2應用向量共線求參數(shù)/互動探究

［例2］⑴已知點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若點M滿足|/L藐7一卷一公|

=0且S^\ABC=3S^\ABMf則實數(shù)2=.

A

［解析］如圖，設。為8C的中點,

則感+屐?=2病，

因為|/L藐/一麴一危|=0,

所以XAM-AB-AC=0f

所以癡初=屈+成:=2歷,

AM\2

于是A,M,。三點共線，JL-一閡,

\AD\

1

又SAABC=3SAABM,所以q

、八ABCy

q閏班C-lc口ShARM?2

又因為—八AABC,且。——11,

2S/^ABDH：I

所以.=3X條,解得2=±3.

J2SMBD2|X|

［答案］±3

(2)如圖所示，在△ABC中，點。是BC的中點，過點。的直線分別交直線AB,

4c于不同的兩點M,N,若法=而拓AC=nANt則機+〃的值為()

A.1B.2

C.3D.4

［解析］由。是BC的中點，可得歷=；輻+加由題意知

AO^mAM^nAN,因為O,M,N三點共線，

所以5〃+/〃=1,則加+〃=2.

(3)(2018?高考全國卷HI)已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(l,A).若c〃Qa

+3，則2=________.

［解析］20+〃=(4,2),因為?！?2〃+b),所以力=2,得24

［答案1I

［破題技法］共線向量定理是解決三點共線問題的有利工具

解題過程中常用到結(jié)論：“P.4,8三點共線”等價于“對直線外任意一點

。，總存在非零實數(shù)人使9=2昂+（1-#麗成立”.即蘇與協(xié)的系數(shù)和為

1.

［拓展］共線定比例

（1）坐標成比例，即若兩向量共線，則它們的坐標對應成比例（假設其中一向量兩

坐標均不為零）；

（2）基底分解成比例，即已知方不共線，c=pa+qb,d=ma-\-nb,若?！╠,則

'=，（如?WO）,即pn—mq=O.

—同源異考重在觸類旁通

己知4,4,A3為平面上三個不共線的定點，平面上點加滿足與后=人（信2+

加3）（2是實數(shù)），且示1+/2+而3是單位向量，則這樣的點用有（）

A.0個B.1個

C.2個D.無數(shù)個

解析：法一：由題意得，麻|=一〃m2+啟3）,MA2=M4I-FA7A2,MA3=MAI

+A/3,???示1+麻2+雨3=（1—3/1）（汨12+/3）,設。為A2A3的中點，.*.（1

一3人）（由2+4/3）是與加力共起點且共線的一個向量，顯然直淺40與以A1為圓

心的單位圓有兩個交點，故2有兩個值，即符合題意的點M有兩個，故選C.

法二：以4為原點建立平面直角坐標系（圖略），設A2（4,份，?。ㄏ?，/?）,則12+

413=（。+m，8+〃），.\M（x.（a+/n）,A（Z?+n））,

/.MAi=（-+th）,—2S+〃）），^7^2=（。-2（。+"。，/?—2（8+九）），MA3=（m—X（a

+m）,〃—"％+〃）），

???麻1+麻2+血3=（（1—3"。+機），（1-3QS+”））.丁麻i+雨2+必3是單位

向量，

?*.（1-3A）2［（a+w）2+（Z>+n）2］=1,

VAi,A2,A3是平面上三個不共線的定點，???m+M2+s+及）2>0,所以關于2

的方程有兩解，故滿足條件的M有兩個，故選C.

答案：C

考點三平面向量的線性運算與基本定理

挖掘1數(shù)形結(jié)合法解決基本定理的應用/自主練透

［例1］（1）（2018?高考全國卷【）在△A8C中，AO為BC邊上的中線，E為49的

中點，則磅=（）

B.^AB—^AC

D.^ABA-^AC

［解析］作出示意圖如圖所示.

A

夠=舒+初=地+班

=^X^（A&4-AC）+^（AB—AC）

=彳八一故選A.

［答案］A

（2）（2020?南昌模擬）如圖所示，平面內(nèi)有三個向量殖，OB,OC,其中所與畫的

夾角為120。，所與反的夾角為30。，且|殖|=|麗|=1,|沆|二2/，若歷=7宓

+〃彷（九〃￡R）,則/1+〃的值為.

［解析］如圖所示，構(gòu)造平行四邊形，VZOCD=90°,\OC\=2yj3fNCOO=30。,

???|曲=2小又坐

［答案16

（3）給定兩個長度為1的平面向量宓和麗，它們的夾角為120。，點C在以。為

圓心的園弧4A上運動,若次?="^+），加.貝心+），的最大值是（）

A.jB.1

c

近2D.2

［解析］以。為原點，0A所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

則A(l,0),《一今啜

C(cosasin

9

：dc=xOA^-yOB9

1ri

cos0=x—^y,x=］sin<9+cos/

{sin6=率'，［y=^sin/

.?.x+y=去sin夕+cos9+錄sin。=小sin夕+cos9=2sin(9+看.

又知OWewjjr,?飛++翡上1,J當。=鼻時，x+y取最大值2,故選D.

［后題技法］數(shù)形結(jié)合法適用于已知平面幾何圖形或向量等式，利用向量的模的

幾何意義，求解模的最值或取值范圍的問題.破解此類題的關鍵點：

⑴借形研究，即利用條件并結(jié)合圖形，將相關向量用基底表示，確定相關向量

的幾何意義，或?qū)⑾嚓P向量坐標化，在平面直角坐標系中表示出相關向量.

(2)用形解題，即利用圖形的直觀性，運用向量的運算法則、運算律等進行計算，

即可求出向量模的最值或取值范圍.

挖掘2代數(shù)法(方程)求解向量/互動探究

［例2J(1)(2020?河北武邑中學期中測試)已知在RtAABC中，NBAC=90。，AB

=1,AC=2f。是△ABC內(nèi)一點，且NOAB=60。，設崩=派+/疵(九〃WR),

則什()

A.乎B,坐

C.3D.2小

［解析］

如圖，以A為原點，A8所在直線為/軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標

系，則B點的坐標為(1,0),。點的坐標為(0,2),因為ND4B=60。，所以設。

點的坐標為(加，小加)(m20).

G；

AD=(mf,〃z)=派+/充=2(1,0)+〃(0,2)=(2,2〃)=4=m，〃=與加，則心

2小兒吟人

—3.故選A.

［答案］A

(2)如圖所示，在△A3O中，OC=^OAfOD=^OB,AO與8C相交于點M,設為

=a,彷=力.試用°和8表示句量加f.

［解析］設5/="7。+也

則AM=OM—蘇="也+，力一a=(m—1)。+汕.

AD=db—dA=^OB—dA=—a-^^b.

又?.?4,M,。三點共線，???/(而與屐)共線.

.,.存在實數(shù)力使得

即（加一1）。+〃方="—a+g".

，（機-1）。+nb=—ta+^b.

?1t消去，得，m—1=—2n,

n=y

即m+2n=1.①

又?:CM=OM—OC=ma+nb—^a=\m—

CB=OB-OC=b—\a=~\a-\-b.

又???C,M,8三點共線，???CM與CB共線.

???存在實數(shù)力，使得詼=力昂，

〃方=△(-%+8)，

11

.g=一加

n=t\.

消去力得，4加+〃=1.②

13

由①?得加=',〃=亍

［破題技法］方程法是指利用平面向量共線或垂直的線性運算或坐標運算，建立

關于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)值的方法.破解此類題的關鍵點：

(1)向量問題代數(shù)化，即利用平面向量平行或垂直的線性運算或坐標運算進行轉(zhuǎn)

化，得到含參數(shù)的方程；

(2)解決直角三角形、等邊三角形、矩形等特殊圖形中的向量問題時，建立合適

的平面直角坐標系可以快速打開思路.

挖掘3直線的方向向量/互動探究

［例3］求過點尸0。0,”)與向量42)平行的直線方程.

［解析］當mWO時，則。=0(1,第，

則所求直線的斜率k=~

ait

a)

??直線方程為y—>x)="(x—xo),

即a”-aiy+aiyo-。2%0=0.①

當〃i=0時，直線〃y軸，方程為x=xo,適合①.

綜上，所求直線方程為azx—niy+aiyo—々2X0=0.

［破題技法］運算遵法則，基底定分解

(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進行向量的加、減或數(shù)乘運算.一般將向量歸結(jié)到相關的三角形中，利用三角形

法則列出三個向量之間的關系.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用該組基

底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量

在不同基底下的分解是不同的，但在每組基底下的分解都是唯一的.

第二節(jié)平面向量的數(shù)量積

回顧教材-夯實基礎課本溫故追根求源

授課提示：對應學生用書第78頁

［基礎梳理1

1.向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

己知兩個非零向量

設夕是。與〃的夾。=0。或0=

Q和〃，作蘇=訪

角，則。的取值范180。。。〃"0=

OB=b,則N40B圍是0。忘。忘180。暨

就是a馬b的夾角0a4

2.平面向量的數(shù)量積

設兩個非零向量。，力的夾角為仇則數(shù)量㈤固cos9叫作。與b的數(shù)

定義

量積，記作。力

lalcos/叫作向量。在b方向上的投影，lOlcos1叫作向量〃在。方向

投影

上的投影

幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度⑷與匕在a的方向上的投影畫cos。的乘積

3.數(shù)量積的性質(zhì)

設。，b都是非零向量，e是單位向量，。為a與伙或e)的夾角.則

(l)e-a=a-e=lfl|cos0.

ah

⑵COS。=麗.

(3)a?W|a|固.

4.數(shù)量積的運算律

(1)交換律:ab=ba.

(2)數(shù)乘結(jié)合律：(〃)力=她面=絲曲.

(3)分配律：a(b-\~c)=ab-\-ac.

5.平面向量數(shù)量積的坐標表示

設向量。=(巾，yi),b=g戶)，向量。與1的夾角為仇則

數(shù)量積ah=xiX2-^y\y2

模\a\=A/XT+VI

人工Xi2+yi)2

夾角C°遮+麗+-

向量垂直的

a_Lboab=0<=>—+)'1￥2=0

充要條件

■知識拓展提升思維能力

1.向量的夾角問題

(1)“向量。與〃的夾角為鈍角”等價于“〃ivo且出b不共線”.

(2)“向量。與》的夾角為銳角”等價于“。/>0且出力不共線”.

(3)向量的夾角首先使兩個向量共起點，

在△A8C中，〈磊，BC>=兀-5,而不是角丘

2.兩種投影

a在b上的投影為胃.

力在。上的投影為整.

3.幾個結(jié)論，對于向量凡b

(1)(4+〃)2=。2+2。5+)2.

(2)(。+b)-(a—b)=a*12—b2.

(3)。，。同向時，a-b=\a\\b\f

af)反向時，a-b=—\a\\b\.

(4)0是△ABC的垂心u>昂?麗沆=沆?蘇.

/+加一a2

(5)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,則Q?危=~~?——.

［四基自測］

1.(基礎點：向量夾角)設〃=(5，—用，則向量。冷的夾角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案：B

2.(基礎點：數(shù)量積坐標運算)已知筋=(2,3),危=(3,3),則筋?反：=()

A.—3B.—2

C.2D.3

答案：C

3.（易錯點：向量的投影）己知〃=（2,3）,。工（-4,7）,則Q在。方向_L的投影

為（）

A.^13B.

D.y[65

答案：C

4.（基礎點：求模）已知。與》的夾角為60。，同=2,|例=1,則M+》|=.

答案：巾

考點分類-深度剖析名帥導傳以例示法

授課提示：對應學生用書第79頁

考點一平面向量數(shù)量積的運算

挖掘1定義法、坐標法求數(shù)量積/自主練透

［例1］(1)已知筋=(2,3),危=(3,r),|反1=1,則福?求=()

A.—3B.—2

C.2D.3

2

［解析］'：BC=AC-AB=(3f/)-(2,3)=(1,/~3),|BC|=1,(r-3)

=

—1,t3f?*.BC—［\,0),

：.ABBC=2X1+3X0=2.故選C.

［答案］C

(2)(2018?高考全國卷II)己知向量a,b滿足⑷=1,ab=-1,則a?(2a—b)=()

A.4B.3

C.2D.0

［解析］a\2a-b)=2ai—a-b=2\a^—a-b.

V|a|=l,ab=-lf???原式=2XF+I=3.故選B.

［答案］R

(3)(2018?高考天津卷)如圖所示，在平面四邊形ABCQ中，ABLBC,ADA.CD,

NBAD=120。,AB=AO=1.若點E為邊CD上的動點，則危?礪的最小值為()

CA

on

3

?21-

A?而B.2

C空

c16D.3

［解析］如圖所示，以。為坐標原點建立直角坐標系.

連接AC,由題意知NCAQ=/CAB=60。，

NACO=NAC8=30。，則D(0,0),A(l,0),B(|,坐)，C(0,回設E(0,

y）（0WyW?。瑒t屈=（—1,y）,

夠=（v廠叫

卷崩='+）?—察'=（）'一用+福

/.當y=乎時，病?能有最小值得.

故選A.

［答案］A

［編題技法］1.定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解,

即ab=|a||b|cos0（0是。與b的夾角）.

2.坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行

求解.

挖掘2用基底計算數(shù)量積/互動探究

［例2］（1）在如圖所示的平面圖形中，己知OM=1,ON=2,NMON=120。，BM

=2而，CN=2NA,則心?說的值為（）

A.-15

C.一6

［解析］

如圖，連接MN.

VBA/=2M4,CN=2NAf

.AM_1_AN

??7B=3=AC,

MN1

:.MN〃BC,且正=1,

，BC=3MN=3（而一OM）,

/.BC-OM=3（ON-OM—OM2）=3（2X1Xcos120。一12）=—6.故選C.

［答案］C

（2）（2019?高考天津卷）在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=2小,AD=5fZA=

30。，點E在線段C8的延長線上，且AE=8E,則防?能=.

［解析］法一：VZB/1D=3OC,AD//BC,.?.NABE=30。，又EA=EB,；./EAB

在AEAB中，AB=2?：.EA=EB=2.

以A為坐標原點，直線A￡＞為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

BC

則A(0,0),D(5,0),E(l,回8(3,小),

：.BD=(2f一小),AE=(1,V§),

：.BDAE=(21一巾)?(1,V3)=-l.

法二：同法一，求出所=E4=2,

以筋，而為一組基底，

則8ZXAO—初，AE=AB+BE=AB-^Abf

2

：.BDAE=(Ab-AB)(AB-^Ab)

27

=ADAB-AB2^ABAb—^Ab2

=日又5義2小X坐-12-|x25=-1.

［答案］一?

［后題技法］基向量法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律,

最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解.

考點二向量的模、夾角、垂直問題

挖掘1向量的夾角/互動探究

［例1］(1)(2019?高考全國卷I)已知非零向量〃，〃滿足⑷=2步且3—b)J_b,

則。與b的夾角為()

3

57r

~6

［解析］由（a-〃）_Lb,可得（。一））。=0,b=b2.

xabb11

V\a\=2\b\,cos〈明b）=\a\-\b\=2^=2'

,.?0W〈a,b〉，，???a與》的夾角為全故選B.

［答案］B

(2)(2019?高考全國卷HI)已知a,b為單位向量，且ab=0,若c=2a—小b,則

cos〈a,c〉=________.

［解析］由題意,得cos〈a,C〉=［落_嚅

2a2—小ab______2______2

一⑷?標［力薪一］x也不一予

［答案］f2

(3)(2020.石家莊模擬)若兩個豐零向量m)滿足|a+"=|a—臼=2網(wǎng)，則向量a+

〃與。的夾角為()

?！?兀

A-3B?不

-5兀一兀

CTD.飛

［解析］設步1=1,則M+"=|a一"=2.

由|“+例=|0一"，得?！?0,故以％分為鄰邊的平行四邊形是矩形，且同=小,

設向量a+b與〃的夾角為8,

(a+b)⑷小

則C0S3=\a\-\a^~b\=\a\-\a+b\=\a+b\=2，

7T

,??0<0<兀，，0=不故選D.

［答案］D

［破題技法］求向量夾角的方法

方法解讀適合題型

定義法8s如,b)一聞一適用于向量的代數(shù)運算

數(shù)形結(jié)

轉(zhuǎn)化為求三角形的內(nèi)角適用于向量的幾何運算

合法

［拓展］設儲，b>=仇當J為銳角時，cos6>0,即。》>0,當。為鈍角時,

cosJVO,即。?bV0,反之不成立，要注意a〃〃的情況.

—同源異考重在觸類旁通

已知非零向量機，〃滿足4|枷=3|川，cos〈機，〃〉=y若“與〃%一〃夾角為鈍

角，則實數(shù)r的取值范圍是()

A.Z<4B.fV4且fWO

C.，W4D.W4且樣0

解析：n與tm—n夾角為鈍角等價于n(tm—n)<0且〃與tm—n不共線，所以

tmn—n2<0且樣0,

31

即/義干尸乂§一層vo,且岸0,解得［V4且1W0.

答案：B

挖掘2向量模的計算/互動探究

［例2］(1)在等腰三角形ABC中，點。是底邊4B的中點，若筋=(1,2),CD=

(2,0，則|詼|=()

A.小B.5

C.2小D.20

I解析］由題意知檢J_麗，???1X2+27=0,

/./=-1,|CD|=^22+(-1)2=^5.

［答案］A

(2)(2020.湖北武漢模擬)已知向量mb滿足同=4,b在。方向上的投影為一2,

則|a—3臼的最小值為()

A.12B.1()

C.V10D.2

［解析］設。與b的夾角為。.

由于》在。方向上的投影為一2,

a-h

所以|0|cos。=?。踾=—2,所以0。=—8,

又向cos夕=一2,所以煙22,則一3例=-6a所+9從=，64+9必

2、64+9義22=10,即|0一3川的最小值為10,故選B.

［答案］B

(3)如圖，在△4BC中，ZBAC=^fAD=2DBfP為CD上一點,且滿足份=加危

+短，若△A8C的面積為2vL則的的最小值為()

3

[解析]:歷=2訪，：.AB=^ADf

AP—mAC+^AB,.'.AP=wAC+^Ab,

VC,P,。三點共線，

31.]*]j

即機=不,\AP=^AC-^2^B,

：.AP2=^AC2+^AB2+^AC-AB^2X||AC||AB|+||AC||AB|cos|=||AC||AB|,

???5八詆=；|德麗si吟=24，

???|危］麗1=8,.*.AP2^|X8=3,

：.\AP\^y［39故選B.

［答案jB

［最題技法］求向量的模的方法

(1)公式法：利用⑷=，就及(4±〃)2=|aF±2a?b+步『，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量

積運算.

(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三

角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

挖掘3向量的垂直問題/互動探究

［例3］(1)已知向量。=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)〃=cJL(a+

b),貝ijc=()

eg,目D.V，T)

［解析］設c=(m，n),貝4a+c=(l+/〃，2+〃)，a+松=(3,—1),因為(c+a)〃瓦

77

則有一3(1+6)=2(2+〃)；又c_L(a+b),則有3〃z—〃=0,解得加=一§,〃=一1.

77

-

所以c=(一一-3

夕

［答案1D

⑵(2019?高考北京卷)已知向量a=(—4,3),。=(6,tn),且0_1_人則m=.

［解析］???Q_Lb,：.ab=(-4f3)(6,〃。=一24+3相=0,Z./n=8.

［答案18

［破題技法］1.當已知兩個向量的夾角為90。時，即。，5時，則。功=0.反之也成

立，(aWO且6W0).

2.如果。=(為，yi),b=(X2,*)，a±b<^>x\X2-\-y\yi=0.

*同源異考重在觸類旁通

如圖所示，|成|=5,|油=小，ABA￡=O,且油=2茄，AC=3AE,連接BE,

CO交于點尸，則|而=.

A

解析：由三點共線可知，AF=/AB+(i-A)AE=2AAD+(l-A)AE(A^R)t①

同理，酢=〃屐)+(1—〃)病

=〃病+3(1一〃)畫WR),②

4=22,r5，

則①得2w.3解得1d

f2f3f

故病=5筋+-^AE.

??\AF\=A/^|AB|2+^|A￡］2+Z|AB-AE=火"

答案：呼

考點三數(shù)量積運算的最值或取值范圍

［例］已知3c是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則成?（成+

心的最小值是（）

A.-2B.-z

如圖，麗+危=2防（。為5c中點），則慶?（而+危）=2用）/,

A

第二步：確定尸點的大致位置使成?用最小.

要使成?用最小，需成，用方向相反，即P點在線段AO上，所以（2歷?"）min

=一2|成卜|①|(zhì),即求I歷卜|成I最大值.

第三步：利用基本不等式求最值.

又國|+|歷1=1屐）|=2X曰=小，則I的兩經(jīng)陷；PDI2=（當2號,

33

所以（2疝?可）1而1=-2乂4=一3故選B.

法二：坐標法.

第一步：建立平面直角坐標系.

以8c中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則A(0,S),8(—1,0),C(l,

0).

第二步：設出戶點的坐標(x,y),將向量成，兩，元:表示出來.

設尸。，y),則"=(一x,^3-y),而=(一Lx,—y),PC=(l-xt-y),第三

步：用x,)，表示慶?(而+無)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關系式求最值.

???成?(兩+元)=2?—2S)，+2)2=2/+°—羋了一(,其最小值為2義(一胃=

一/,此時x=0,?故選艮

[答案]B

[破題技法]求解平面向量數(shù)量積最值或取值范圍問題的2個策略

(1)圖形化策略

所謂圖形化策略，是指解決向量問題時，利用圖形語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，

借助圖形思考解決問題.圖形化策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時，化歸與轉(zhuǎn)化思

想和函數(shù)與方程思想也深蘊其中.

利用圖形化的策略方法，各種數(shù)量關系在圖形中非常明了，能起到事半功倍的作

用.如果沒有圖形的幫助，要用代數(shù)化策略，這樣即使是坐標化處理，也可能陷

入“僵局

(2)代數(shù)化策略

所謂代數(shù)化策略，是指解決向量問題時，利用代數(shù)語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，

借助代數(shù)運算解決所面臨的問題.代數(shù)化策略體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方

程思想.通過平面向量基本定理演變而來的代數(shù)運算和坐標化的代數(shù)運算，是解

決向量問題的一般方法.

—同源異考重在觸類旁通

平行四邊形A5CO中，AB=4fAD=2f筋屐)=4,點P在邊CD上，則鬲?麗

的取值范圍是()

A.[-1,8]B.[-1,+8)

C.[0,8]D.[-1,0]

解析：由題意得油?疝=麗?|衲＜05/840=4,解得.以A為原點，

A8所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0),5(4,0),C(5,小)，

D(l,小)，因為點P在邊CQ上，所以不妨設點尸的坐標為3,小)(1W〃W5),

則成?麗=（一出一?。?（4一〃，一?。?/-4。+3=（。-2）2—1,則當〃=2時,

成.而取得最小值一1,當4=5時，成.兩取得最大值8,故選A.

答案：A

第三節(jié)平面向量的綜合應用

回顧教材-夯實基礎課本溫故追根求源

授課提示：對應學生用書第82頁

［基礎梳理］

1.向量在平面幾何中的應用

（1）用向量解決常見平面幾何問題的技巧：

問題類型所用知識公式表示

線平行、點共a//b^>a=x^<=>xiV2-X2Vi=0,

共線向量定理

線等問題其中。=(xi,yi),b=(x2,*),5WO

a_Lb=a,b=0<=?xiX2+yiy2=0,

垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)

其中。=3，yi),b=(X2fV2),且a,b

為非零向量

cos"=尚曾（。為向量。，b的夾角），其中

夾角問題數(shù)量積的定義

a，力為非零向量

|a|=V?=y/e+y2,其中。=a，y），a

長度問題數(shù)量積的定義

為非零向量

（2）用向量方法解決平面幾何問題的步驟

平面兒何問題幽堇向量問題立邕解決向量問題必里解決幾何問題.

2.向量在解析幾何中的應用

向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主

要強調(diào)向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解

答，坐標的運算是考查的主體.

3.平面向量在物理中的應用

（1）由丁物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法

和減法相似,可以用向量的知識來解決.

（2）物理學中的功是一個標量，是力尸與位移s的數(shù)量積，即卬=尸$=|尸Iklcos伙。

為尸與s的夾角）.

4.向量與相關知識的交匯

平面向量作為一種工具，常與函數(shù)（三角函數(shù)）、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線

性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關問題.

IS知識拓展提升思維能力

1.向量與平面幾何綜合問題的解法

（1）坐標法

把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能

進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

⑵基向量法

適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構(gòu)造關于未知量的

方程進行求解.

2.平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解題思路

(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等

式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，再利用三角恒等變換對三南函數(shù)式進行化簡，

結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行求解.

(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，求向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解

題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.

［四基自測］

1.(基礎點：向量在平面幾何中的應用)已知aABC的三個頂點的坐標分別為A(3,

4),8(5,2),C(-l,-4),則該三角形為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

解析：A&=(2,-2),AC=(-4,-8),BC=(-6,-6),

：.\AB\=也2+(―2)2=2啦,|而=216+64=4小,|反1=，36+36=6也,

.二麗F十畫三曲?，

???△ABC為直角三角形.

答案：B

2.(基礎點：向量在物理中的應用)如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力Fl,尸2,尸3(單

位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知Fl,尸2成60。角，且凡的大小分別

為2和4,則正3的大小為()

A.2巾B.2小

C.2D.6

解析：如題圖所示，由已知得尸1+尸2+尸3=0,則尸3=一(尸］+正2),

即F3=FT+F2+2FI-F2=FT+F2+2|FIMF2|-COS60。=28.故|尸3|=2幣.

答案：A

3.(基礎點：向量在平面解析幾何中的應用)平面直角坐標系中，若定點4(1,

2)與動點尸。，y)滿足決?①=4,則點尸的軌跡方程是.

解析：由成?宓=4,得(x,y).(l,2)=4,即x+2y=4.

答案：x+2y—4=0

4.(基礎點：向量在三角函數(shù)中的應用)已知向量機=QinA,與向量〃=(3,sin

4+小cosA)共線，其中4是△4BC的內(nèi)角，則角A的大小為.

解析：因為相〃凡所以sinA(sinA+，§cosA)—1=0,

所以2sin2A+2，5sinAcosA=3,

可化為l-cos2A+小sin2A=3,

所以sin(24—詈=1,

因為AW(O,7i),所以3—W￡(一去制.

IFTTJT

因此24一親=會解得4=宗

答案：|

^■_考點分類-深度剖析名帥導悟以例示法

授課提示：對應學生用書第83頁

考點一向量在平面幾何中的應用

挖掘用向量表示三角形的“心”/自主練透

［例］(1)己知。，N,尸在△ABC所在平面內(nèi)，且|醇|=|彷|=|戌1，