河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）.1．假如α＝﹣2，則α終邊所在象限為（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001，002，…599，600從中抽取60個(gè)樣本，現(xiàn)供應(yīng)隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第7個(gè)樣本編號(hào)（）A．522 B．324 C．535 D．5783．下列四個(gè)數(shù)中，數(shù)值最小的是（）A．25（10） B．54（4） C．10110（2） D．10111（2）4．?dāng)S鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動(dòng)．如圖是一位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員在打算擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量此時(shí)兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，估算這位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員兩手掌心之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米5．已知sinθ＝3cosθ，則＝（）A． B． C． D．6．下列說法中正確的是（）A．若事務(wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)，則P（A）+P（B）＝1 B．若事務(wù)A與事務(wù)B滿意條件：P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，則事務(wù)A與事務(wù)B是對(duì)立事務(wù) C．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事務(wù)“至少有一次中靶”與事務(wù)“至多有一次中靶”是對(duì)立事務(wù) D．把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”是互斥事務(wù)7．已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿意，則可表示為（）A． B． C． D．8．如圖程序框圖是為了求出滿意3n﹣2n＞2024的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）A．A＞2024和n＝n+1 B．A＞2024和n＝n+2 C．A≤2024和n＝n+1 D．A≤2024和n＝n+29．已知，，那么等于（）A． B． C． D．10．2024年某省實(shí)施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即為語文、數(shù)學(xué)、英語3科必選，“1”即為從物理和歷史中任選一科，“2”即為從化學(xué)、生物、地理、政治中任選2科，則該省某考生選擇全理科（物理、化學(xué)、生物）的概率是（）A． B． C． D．11．已知單位向量，滿意⊥，若向量＝+，則向量與向量夾角的正弦值為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．則y＝f（x）的圖象，可由函數(shù)y＝cosx的圖象怎樣變換而來（縱坐標(biāo)不變）（）A．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個(gè)單位 B．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位 C．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位 D．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖是一個(gè)邊長為3的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為．14．已知＝（2，0），＝（1，2），實(shí)數(shù)λ滿意||＝，則λ＝．15．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成果（百分制）的莖葉圖如圖所示．①甲同學(xué)成果的中位數(shù)小于乙同學(xué)成果的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成果的方差小于乙同學(xué)成果的方差．上面說法正確的是．16．已知P、M、N是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn)，且滿意，則的取值范圍是．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟共6小題，共70分.17．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三點(diǎn)共線．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ的值；（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐標(biāo)；（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．18．某公司餐廳為了完善餐廳管理，提高餐廳服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名就餐的公司職員．依據(jù)這50名職員對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．（I）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）若采納分層抽樣的方式從評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司職員中抽取10人，則評(píng)分在[60，80）內(nèi)的職員應(yīng)抽取多少人？（Ⅲ）該公司規(guī)定：假如職員對(duì)公司餐廳服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分低于75分，將對(duì)公司餐廳進(jìn)行內(nèi)部整頓．用每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)該公司職員對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分，并據(jù)此回答餐廳是否須要進(jìn)行內(nèi)部整頓．19．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）若，且，求sin2α的值．（Ⅲ）畫出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象（完成列表并作圖）．20．某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin212°+cos242°+sin12°cos42°；②sin215°+cos245°+sin15°cos45°；③sin220°+cos250°+sin20°cos50°；④sin230°+cos260°+sin30°cos60°．（Ⅰ）試從上述式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．21．如圖，單位圓O：x2+y2＝1與x軸的非負(fù)半軸相交于點(diǎn)P，圓O上的動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P動(dòng)身沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周回到點(diǎn)P，設(shè)∠POQ＝x（0≤x＜2π），△OPQ的面積為y（當(dāng)O，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，y＝0），y與x的函數(shù)關(guān)系為如圖所示的程序框圖．（Ⅰ）寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）若輸出的y值為，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．22．設(shè)某城市的公交公司為了便利市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個(gè)人員密集流淌地段增個(gè)起點(diǎn)站，為了探討車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x（分鐘）101112131415等候人數(shù)y（人）232526293032調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回來方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回來方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的肯定值不超過1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回來方程”．（Ⅰ）從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)后，求剩下的2組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間不相鄰的概率；（Ⅱ）若選取的是前面4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回來方程，并推斷程是否是“恰當(dāng)回來方程”．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：＝＝，＝﹣，．

參考答案一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）.1．假如α＝﹣2，則α終邊所在象限為（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵，∴α終邊所在象限為第三象限．故選：C．2．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001，002，…599，600從中抽取60個(gè)樣本，現(xiàn)供應(yīng)隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第7個(gè)樣本編號(hào)（）A．522 B．324 C．535 D．578解：第6行第6列的數(shù)起先的數(shù)為808，不合適，436，789不合適，535，577，348，994不合適，837不合適，522，535重復(fù)不合適，578，324；所以抽取的7個(gè)編號(hào)為436，535，577，348，522，578，324；即第7個(gè)樣本編號(hào)為324．故選：B．3．下列四個(gè)數(shù)中，數(shù)值最小的是（）A．25（10） B．54（4） C．10110（2） D．10111（2）解：∵對(duì)于B，54（4）＝20+4＝24（10）；對(duì)于C，10110（2）＝0+2+4+16＝22（10）；對(duì)于D，10111（2）＝1+2+4+16＝23（10）；故四個(gè)數(shù)中10110（2）最小，故選：C．4．?dāng)S鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動(dòng)．如圖是一位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員在打算擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量此時(shí)兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，估算這位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員兩手掌心之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米解：依據(jù)題意作出下圖，弧AD的長為，，所以．故選：B．5．已知sinθ＝3cosθ，則＝（）A． B． C． D．解：因?yàn)閟inθ＝3cosθ，所以＝sin2θ＝＝＝．故選：C．6．下列說法中正確的是（）A．若事務(wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)，則P（A）+P（B）＝1 B．若事務(wù)A與事務(wù)B滿意條件：P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，則事務(wù)A與事務(wù)B是對(duì)立事務(wù) C．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事務(wù)“至少有一次中靶”與事務(wù)“至多有一次中靶”是對(duì)立事務(wù) D．把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”是互斥事務(wù)解：把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”由互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的概念可推斷兩者不行能同時(shí)發(fā)生，故它們是互斥事務(wù)，故選：D．7．已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿意，則可表示為（）A． B． C． D．解：因?yàn)椤鰽BC的邊BC上有一點(diǎn)D滿意，所以，則，所以＝，故選：A．8．如圖程序框圖是為了求出滿意3n﹣2n＞2024的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）A．A＞2024和n＝n+1 B．A＞2024和n＝n+2 C．A≤2024和n＝n+1 D．A≤2024和n＝n+2解：∵程序框圖為當(dāng)型循環(huán)，∴當(dāng)A滿意條件，才會(huì)進(jìn)行循環(huán)，明顯推斷框中，不能填A(yù)＞2024，故解除A、B，∵輸出n為偶數(shù)，且n的初始值為0，∴處理框中應(yīng)填n＝n+2．故選：D．9．已知，，那么等于（）A． B． C． D．解：由于，，所以tan（）＝tan[（α+β）﹣（）]＝＝．故選：A．10．2024年某省實(shí)施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即為語文、數(shù)學(xué)、英語3科必選，“1”即為從物理和歷史中任選一科，“2”即為從化學(xué)、生物、地理、政治中任選2科，則該省某考生選擇全理科（物理、化學(xué)、生物）的概率是（）A． B． C． D．解：“3+1+2”高考改革方案，“3”即為語文、數(shù)學(xué)、英語3科必選，“1”即為從物理和歷史中任選一科，“2”即為從化學(xué)、生物、地理、政治中任選2科，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝＝12，該省某考生選擇全理科（物理、化學(xué)、生物）包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m＝1，則該省某考生選擇全理科（物理、化學(xué)、生物）的概率是P＝＝．故選：D．11．已知單位向量，滿意⊥，若向量＝+，則向量與向量夾角的正弦值為（）A． B． C． D．解：依據(jù)題意，設(shè)向量與向量夾角為θ，向量＝+，則||＝＝3，?＝2+?＝，則有cosθ＝＝，又由0≤θ≤π，則sinθ＝＝；故選：B．12．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．則y＝f（x）的圖象，可由函數(shù)y＝cosx的圖象怎樣變換而來（縱坐標(biāo)不變）（）A．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個(gè)單位 B．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位 C．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位 D．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位解：由圖知，A＝1，最小正周期T＝4×[﹣（﹣）]＝π，∴T＝＝π，即ω＝2，把點(diǎn)（，1）代入函數(shù)中，有1＝sin（2?+φ），∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴函數(shù)f（x）＝sin（2x+）＝sin（2x﹣+）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），函數(shù)y＝cosx的圖象橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到y(tǒng)＝cos2x，再將其向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝cos2（x﹣）．故選：B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖是一個(gè)邊長為3的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為5．解：依據(jù)題意，設(shè)黑色部分的面積為S，正方形二維碼的邊長為3，則其面積S′＝3×3＝9，則有＝＝1﹣，解可得S＝5，故答案為：5．14．已知＝（2，0），＝（1，2），實(shí)數(shù)λ滿意||＝，則λ＝或1．解：∵；∴由得，λ2﹣4λ＝5；∴5λ2﹣4λ﹣1＝0；解得或1．故答案為：．15．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成果（百分制）的莖葉圖如圖所示．①甲同學(xué)成果的中位數(shù)小于乙同學(xué)成果的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成果的方差小于乙同學(xué)成果的方差．上面說法正確的是①③④．解：依據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)知，對(duì)于①，甲同學(xué)成果的中位數(shù)是×（80+82）＝81，乙同學(xué)成果的中位數(shù)是×（87+88）＝87.5，所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，①正確；對(duì)于②，甲同學(xué)的平均分為×（72+76+80+82+86+90）＝81，乙同學(xué)的平均分為×（69+78+87+88+92+96）＝85，所以甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低，③正確；對(duì)于④，計(jì)算甲的方差為×[（﹣9）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+52+92]＝，乙的方差為×[（﹣16）2+（﹣7）2+22+32+72+112]＝，所以甲的方差小于乙的方差，④正確．所以正確的命題序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．16．已知P、M、N是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn)，且滿意，則的取值范圍是．解：如圖：設(shè)圓心為O，由圓的性質(zhì)以及，可設(shè)∠MPO＝∠MPN＝α，，連接OP，OM，ON，則OP＝OM＝ON＝1，且PM＝PN＝2cosα，即，∠MPN＝2α，所以＝4cos2α?cos2α＝2（1+cos2α）?cos2α＝2（cos2α）2+2cos2α＝，cos2α∈（﹣1，1），由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)cos2α→1時(shí)，原式→4，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，故的取值范圍是．故答案為：．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟共6小題，共70分.17．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三點(diǎn)共線．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ的值；（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐標(biāo)；（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．解：（Ⅰ），因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，即，得，因?yàn)?，是平面?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得，；（Ⅱ）；（Ⅲ）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)A（x，y），則，因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，7）．18．某公司餐廳為了完善餐廳管理，提高餐廳服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名就餐的公司職員．依據(jù)這50名職員對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．（I）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）若采納分層抽樣的方式從評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司職員中抽取10人，則評(píng)分在[60，80）內(nèi)的職員應(yīng)抽取多少人？（Ⅲ）該公司規(guī)定：假如職員對(duì)公司餐廳服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分低于75分，將對(duì)公司餐廳進(jìn)行內(nèi)部整頓．用每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)該公司職員對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分，并據(jù)此回答餐廳是否須要進(jìn)行內(nèi)部整頓．解：（Ⅰ）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在[40，60），[60，80），[80，100]內(nèi)公司職員人數(shù)之比為：（0.004+0.006）×10：（0.022+0.028）×10：（0.022+0.018）×10＝1：5：4，所以評(píng)分在[60，80）內(nèi)的公司職員應(yīng)抽?。ㄈ耍á螅┯深}中數(shù)據(jù)可得公司職員對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分為：×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10＝76.2．因?yàn)?6.2＞75．所以餐廳不須要內(nèi)部整頓．19．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）若，且，求sin2α的值．（Ⅲ）畫出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象（完成列表并作圖）．解：（Ⅰ）∵函數(shù)，∴．∴ω＝2．∴函數(shù)的解析式為：，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，即sin（）＝得：．∵∴故得sin2α＝2sinαcosα＝．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，于是有（1）列表x0πy﹣1010描點(diǎn)，連線，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[0，π]上圖象如下：20．某同學(xué)在一次探討性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin212°+cos242°+sin12°cos42°；②sin215°+cos245°+sin15°cos45°；③sin220°+cos250°+sin20°cos50°；④sin230°+cos260°+sin30°cos60°．（Ⅰ）試從上述式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）由④式可得，（Ⅱ）由（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果可得推廣的三角恒等式為．證明：左邊＝sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）＝＝＝＝＝＝右面，∴原式得證．21．如圖，單位圓O：x2+y2＝