江蘇專用2024年秋季高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷01含解析

2024年秋季高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷一、單選題1．設(shè)集合，，，則A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【分析】先求，再求．【詳解】因?yàn)?，所?故選D．【點(diǎn)睛】集合的運(yùn)算問(wèn)題，一般要先探討集合中元素的構(gòu)成，能化簡(jiǎn)的要先化簡(jiǎn)，同時(shí)留意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運(yùn)算．2．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則，所以.故選：A3．已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱柱的體積為，，，，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，求出，再求出外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積.【詳解】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，∴，∴∵，∴.設(shè)外接圓的半徑為R，則，∴.∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)柱體體積求棱長(zhǎng)，考查幾何體外接球有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)得，令，求出對(duì)稱軸即可推斷.【詳解】，令，，解得，，則可得是的一條對(duì)稱軸.故選：A.5．橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，是的中點(diǎn)，則等于（）A．2 B．4 C．6 D．1.5【答案】B【分析】設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為,依據(jù)橢圓定義，故，再結(jié)合中位線定理即可得答案.【詳解】設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為,依據(jù)橢圓定義，故，中,是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，故是中位線，.故選：B.6．已知，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)得到再利用同角的平方關(guān)系求解.【詳解】由題得所以因?yàn)?，所以因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三變（變角、變名、變式）.7．若，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，從而得出.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由圖象易知，令，則由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則在上有唯一解，故在上有唯一解即當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減即，即故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小關(guān)系.8．算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國(guó)人在長(zhǎng)期運(yùn)用算籌的基礎(chǔ)上獨(dú)創(chuàng)的，是中國(guó)古代一項(xiàng)宏大的、重要的獨(dú)創(chuàng)，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為運(yùn)用的計(jì)算工具．“珠算”一詞最早見(jiàn)于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位、……，上面一粒珠（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡(jiǎn)稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。F(xiàn)從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)共有32個(gè)，其中能夠被3整除的整數(shù)有16個(gè)，進(jìn)而依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可解．【詳解】解：從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠，得到的整數(shù)共有32個(gè)，分別為：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的整數(shù)有16個(gè)，分別為：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率為．故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是利用列舉法把從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠所得到的整數(shù)列舉出來(lái).二、多選題9．已知在數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某校學(xué)生的成果聽(tīng)從正態(tài)分布，其中分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有（附：隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則）（）A．該校學(xué)生成果的期望為 B．該校學(xué)生成果的標(biāo)準(zhǔn)差為C．該校學(xué)生成果的標(biāo)準(zhǔn)差為 D．該校學(xué)生成果及格率超過(guò)【答案】ABD【分析】依據(jù)正態(tài)分布的數(shù)字特征可推斷ABC選項(xiàng)的正誤，計(jì)算出，可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)樵撔W(xué)生的成果聽(tīng)從正態(tài)分布，則，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，，.所以，該校學(xué)生成果的期望為，該校學(xué)生成果的標(biāo)準(zhǔn)差為，該校學(xué)生成果及格率超過(guò).所以，ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.10．中，為邊上的一點(diǎn)，且滿意，若為邊上的一點(diǎn)，且滿意，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】依據(jù)平面對(duì)量共線定理可知A錯(cuò)誤；依據(jù)，利用基本不等式可求得最大值，知B正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知C錯(cuò)誤；利用基本不等式可得，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，三點(diǎn)共線，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），B正確；對(duì)于C，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），C錯(cuò)誤；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡(jiǎn)單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)覺(jué)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿意．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是，（）A．C的方程為（x+4）2+y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D，E，使得C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|＝2|MA|【答案】BC【分析】設(shè)P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得P的軌跡方程，可推斷A；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D，E，使得，設(shè)出D，E的坐標(biāo)，求得軌跡方程，比照P的軌跡方程可得D，E，可推斷B；當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，由，由角平分線定理的逆定理，可推斷C；若在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|＝2|MA|，可設(shè)M（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得M的軌跡方程，聯(lián)立P的軌跡方程，即可推斷D．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿意，設(shè)P（x，y），則，化簡(jiǎn)可得（x+4）2+y2＝16，故A錯(cuò)誤；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D，E，使得，可設(shè)D（m，0），E（n，0），可得2，化簡(jiǎn)可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的軌跡方程為x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正確；當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，由，可得射線PO是∠APB的平分線，故C正確；若在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|＝2|MA|，可設(shè)M（x，y），即有2，化簡(jiǎn)可得x2+y2x0，聯(lián)立x2+y2+8x＝0，可得方程組無(wú)解，故不存在M，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查圓方程的求法和運(yùn)用，以及兩點(diǎn)距離公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．12．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A．與所成角的余弦值為B．過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．正方體中，點(diǎn)在底面（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)并且使，那么點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】AB【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由異面直線方向向量的夾角為與所成角的余弦值推斷A的正誤；同樣設(shè)結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)表示，且由等角的余弦值相等可得，進(jìn)而推斷P的軌跡知D的正誤；由立方體的截面為梯形，分別求，進(jìn)而得到梯形的高即可求面積，推斷B的正誤；由四面體的體積與內(nèi)切球半徑及側(cè)面面積的關(guān)系求內(nèi)切球半徑r，進(jìn)而求內(nèi)切球表面積，推斷C的正誤.【詳解】A：構(gòu)建如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則有：，∴，，故正確.B：若N為的中點(diǎn)，連接MN，則有，如下圖示，∴梯形AMND’為過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面，而，可得梯形的高為，∴梯形的面積為，故正確.C：如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)直棱錐的體積，∴，而四面體的棱長(zhǎng)都為，有表面積為，∴若其內(nèi)切圓半徑為，則有，即，所以內(nèi)切球的表面積為.故錯(cuò)誤.D：正方體中，點(diǎn)在底面（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)且，即的軌跡為面截以AM、AP為母線，AC’為軸的圓錐體側(cè)面所得曲線，如下圖曲線，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，，若，則，∴，，即，整理得，即軌跡為雙曲線的一支，故錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示求異面直線的夾角，并結(jié)合等角的余弦值相等及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，綜合立方體的性質(zhì)求截面面積，分割幾何體應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球半徑，進(jìn)而求內(nèi)切球的表面積.三、填空題13．已知是定義在上的周期為3的奇函數(shù)，且，則___________.【答案】1【分析】利用函數(shù)的周期性得，由已知條件可知，即可求值.【詳解】由題意知：，而，∴，即，∴，故.故答案為：114．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作斜率為的直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則拋物線的方程是________.【答案】【分析】本題首先可設(shè)、，則、，然后兩式相減，可得，再然后依據(jù)、兩點(diǎn)在斜率為的直線上得出，最終依據(jù)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減得，即，因?yàn)?、兩點(diǎn)在斜率為的直線上，所以，即，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則，，拋物線的方程是，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線相交的相關(guān)問(wèn)題的求解，考查中點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)，考查直線斜率的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，是中檔題.15．已知函數(shù)，，若，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】先證明據(jù)，結(jié)合，求出，令，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】，即，①，，②，又在，上單調(diào)遞增，故由①②得，故，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調(diào)區(qū)間；其次步：解；第三步：比較方程的根同區(qū)間端點(diǎn)的大小；第四步：求極值；第五步：比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與極值的大?。?6．格點(diǎn)是指平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”（如：，則點(diǎn)到原點(diǎn)的格點(diǎn)距離為）.格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為“格點(diǎn)圓”，該定值稱為格點(diǎn)圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有______條（用數(shù)字作答）.【答案】252【分析】由題設(shè)，易知格點(diǎn)圓上的格點(diǎn)都在上，其中每個(gè)象限有5個(gè)，且相互關(guān)于x、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱，分析可得每個(gè)格點(diǎn)半徑條數(shù)為，進(jìn)而可求全部格點(diǎn)的半徑條數(shù).【詳解】設(shè)格點(diǎn)為，格點(diǎn)半徑為6，則，∴對(duì)應(yīng)格點(diǎn)圓圖象如下，每條邊上有(不含端點(diǎn))5個(gè)格點(diǎn)，以第一象限為例，格點(diǎn)有，其中的半徑有6條，的半徑有15條，的半徑有20條，的半徑有15條，的半徑有6條，∴共有62條，即對(duì)于隨意格點(diǎn)，其半徑條數(shù)有條，∴由上，四個(gè)象限共有條半徑，另外數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)，半徑共有條，綜上，格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有條.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：畫(huà)出格點(diǎn)圓的圖象，確定各象限中格點(diǎn)坐標(biāo)，分析格點(diǎn)半徑條數(shù)與坐標(biāo)值之間的關(guān)系，應(yīng)用對(duì)稱性求格點(diǎn)圓半徑總條數(shù)即可.四、解答題17．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，前n項(xiàng)和為Sn，正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，且滿意，前n項(xiàng)和為a3＝2b2，S5＝b2＋b4．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前26項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）328.【分析】（1）依據(jù)題設(shè)可得關(guān)于公差和公比的方程組，求出其解后可得兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)相消法和分組求和可求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意得：即，∴，∵是正項(xiàng)等比數(shù)列，∴，則，∴，.（2），則∴的前26項(xiàng)和為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.18．濰坊市為切實(shí)保障疫情防控期間全市食品質(zhì)量平安，實(shí)行食品平安監(jiān)督抽檢和第三方托管快檢室相結(jié)合的方式，全面加強(qiáng)食品平安檢驗(yàn)檢測(cè)據(jù)了解，灘坊市市場(chǎng)監(jiān)管部門組織開(kāi)展對(duì)全市部分生產(chǎn)企業(yè)、農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)、大型商超、餐飲服務(wù)場(chǎng)所生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的小麥粉、大米、食用油、調(diào)味品、肉制品、乳制品等與人民群眾日常生活關(guān)系親密且消費(fèi)量大的食品進(jìn)行監(jiān)督抽檢組織抽檢400批次，抽檢種類涵蓋8大類31個(gè)品種全市各快檢室快檢60209批次，其中不合格53批次．某快檢室在對(duì)乳制品進(jìn)行抽檢中，發(fā)覺(jué)某品牌乳制品質(zhì)量不合格，現(xiàn)隨機(jī)抽取其5個(gè)批次的乳制品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知其中有1個(gè)批次的乳制品質(zhì)量不合格下面有兩種檢測(cè)方案：方案甲：逐批次進(jìn)行檢測(cè)，直到確定質(zhì)量不合格乳制品的批次；方案乙：先任取3個(gè)批次的乳制品，將他們混合在一起檢測(cè)．若結(jié)果不合格，則表明不合格批次就在這3個(gè)批次中，然后再逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定不合格乳制品的批次；若結(jié)果合格，則在另外2批次中，再任取l個(gè)批次檢測(cè)．（1）方案乙中，任取3個(gè)批次檢測(cè)，求其中含有不合格乳制品批次的概率；（2）求方案甲檢測(cè)次數(shù)X的分布列；（3）推斷哪一種方案的效率更高，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）方案乙的效率更高．理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意即可求解；（2）先求出的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可以求解；（3）設(shè)方案乙的檢測(cè)次數(shù)為，求出的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，再求出方案甲和乙的數(shù)學(xué)期望，比較大小即可求解．【詳解】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率，（2）依題意知檢測(cè)次數(shù)的可能取值為1，2，3，4，，，，，故方案甲檢測(cè)次數(shù)的分布列為：1234（3）設(shè)方案乙檢測(cè)次數(shù)為，則的可能取值為2，3．當(dāng)時(shí)的狀況為先檢測(cè)3個(gè)批次為不合格，再?gòu)闹兄鹨粰z測(cè)時(shí)，恰好1次檢測(cè)出，或先檢測(cè)3個(gè)批次為合格，再?gòu)钠渌?個(gè)批次中取出1個(gè)批次檢測(cè)．則，所以．故方案乙檢測(cè)次數(shù)的分布列為：23，則，因?yàn)?，所以方案乙的效率更高?9．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）依據(jù)，利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，又，由求解；（2）依據(jù)，的面積為，由面積公式得到，再結(jié)合余弦定理求得即可.【詳解】（1）因?yàn)樗?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，的面積為，所以，解得，由余弦定理，得，所以，所以．所以的周長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．（2）解題中留意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制．20．如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，且底面，.

（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)由底面是菱形，，可得為等邊三角形，再加上點(diǎn)是中點(diǎn)可證，進(jìn)而可得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可求證所求證；(2)由題意及(1)可以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可求解.【詳解】證明：在菱形中，，為等邊三角形.又為的中點(diǎn)，.//，.底面，平面，.，平面，平面.是棱上的點(diǎn)，平面..（2）解：底面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.，，，，，.由，得.設(shè)是平面的法向量，由，得令，則，則.又平面的法向量為，.由題知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明及空間向量法求二面角，考查考生的邏輯推理實(shí)力、空間想象實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力及方程思想，屬于中檔題.21．已知等軸雙曲線C：(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)B(0，1).①過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求∠EBF最小時(shí)k的值；②點(diǎn)A是C上肯定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）①；②或者.【分析】（1）由題意，代入已知點(diǎn)建立方程，解之可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①由對(duì)稱性可設(shè)，且，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示，