解三角形滿分突破10講-解析版

專題一三角形中基本量的計(jì)算問題 2=c2+a2-2cacosB；2=a2+b2-2abcosC.cosAcosA=b2+c2-a2；cosB=；cosC=a2+b2-c2 S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==+b+c)·r(r，R為別是△ABC內(nèi)切圓半徑和 在△ABC中，A+B+C=π;變形：=-. ②A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.③若△ABC為銳角三角形，則A+B>，sinA>cosB，cosA<si④c2=a2+b2?C為直角；c2>a2+b2?C為鈍角；c2<a2+b2?C為銳角.⑤a+b>c，b+c>a，c+a>b. 1考點(diǎn)一計(jì)算三角形中的角或角的三角函數(shù)值即可解決．中等難度的問題要結(jié)合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要11)A.B.C.D. .、、33A.B.-C.±D.() 2B-1=. A.B.C.D. ()A.B.C.D.66()A.B.C.D.2=2b2 7E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF=.【解析】如圖，設(shè)AB=6，則AE=EF=FB=2．因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以AC=BC= 由余弦定理得cosA====-. B的值為()D.A.B.C.D.44故cosB===. =+=，所以+=== 、A.-B.、A.-B.C.-D. 22a+b6b+c=4k|c+a=5k，解得{b=a+b=6k|a+b6b+c=4k|c+a=5k，解得{b=a+b=6k|A.B.C.D.A.B.C.D.5cosB=() A.B.C.D. 、、=.A.-3B.1C.1或-1D.-3992B=2+c2-b2)tanB=、3ac，則角B的大小為()A.B.C.或D.或 . A.B.C.D.2+BC2-AC2=2==，∴sinA=1-cos2A=、1-=:，∴tanA==.===，∴C= ==-CF2+BC2-FB212+22-(、6)2 ==-=(a+b)2-c2，則tanC=()A.B.C.-D.-值為()A.B.C.D. 2+c2-、2ac=b2=2．又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B=45°A=()2=b2+c2+bc．由余弦定理()A.B.C.D.2、、()bc+232+2c-a2=-bc+232+b2-c22+b2-c2= ()A.B.C.D.A.B.C.D.2=2a2==1.3 【解析】====4，所以 a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4.sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC22 . =sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=．又a=1，所以33A.6sin(A++3B.6sin(A++3 ()A.2B.3C.22+22-255()2-1=-．在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2 2=a22=6377 . 2AD2+DC2-AC21=-AD2+DC2-AC21=-ABADABAD882=AD2+BD2-2AD·BD·co =2、3==a2+b2-2abcosC=4+16-8、、、32=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=2+6-2 2、、、【解析】由tanA=2得sinA=2cosA．又222或B=a=b或B=a=bsinB=2sinA， -(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．由正弦定理知=，∴c===. A.B.C.D. A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右邊=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAc A.3-1B.23+2C.23-2D.2+6 +6 +6/6.A.1B.化簡得AC2+3AC-4=0，解得AC=1或AC=-4(舍去)．故選A.A.2B.C.3D.BD的長為()A.3B.3C.2D.22+32-22=3 .A.5B.5C.2據(jù)余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2+2=5，∴AC=5，此時△ABC為鈍角三角=1，此時AB2+AC2=BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC=5.()A.2B.3C.4D.6則A=，=.2+22-2×12+22-2×1 b+c=a=、3=2.sinB+sinCsinA/32A.1+/7B.2+7C.4+7D.5+72=7+3ab=()()A.2B.C.3D.4A.2B.3C.2故選A.A.6B.5C.4D.3=-，于是可得到=6．故選A.2-2- .=AB2+ .33==32AC=.224477/3==/322=BC2+CD2-2BC·CDcosC=a2+4a2-2=【解析】由=?=?a=c，①,由S△ABC=acsinB=且sinB=得ac=5，則c=，B=.、、A.2 ,故選D.專題二三角形的三線兩圓及面積問題2+AC2=BC2+2AD2.另外已知兩邊及其夾角也可表述為：4AD2=AB2+AC2+2AB?AC?cosA.2=AB2+AC2+2AB?AC?cosA.3=3+623+62A.B.C.D.422在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC邊的中線AD=，則BC=.BC互相平分，所以四邊形ACEB是平行四邊形，所以BE=AC=7．又AB=4，AE=2AD=7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2=49=AB2+BE2-2AB·BE·cos∠ABE=AB2+AC2- 2=a2+b2-2abcosC= =，所以A=．設(shè)BC邊上的中線為AM，則AM=2、2，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以A—=A662=．由+b+c)r=bcsinA，得r=.∴S內(nèi)切圓=πr2=. 2+c2-1，則△ABC外接圓的面積為 =99 . ,所以A—=A+B=A+B=A+A—-A)，即A—=A+A—，兩邊同時點(diǎn)乘圖1圖2圖3 2AsinB=、2R2sinA-A(=2R2sinAcosA+sinA(=R2(sinAcosA+sin2A)=2. .7x=7x=x2-8x+15=0，解得x=3或x=5.∴AB=21或AB=35．在Rt△ADB中，AD=A.B.C.-D.-A.B.C.-D.-2==a．所以cosA==2a2+a2-a2=-BC，DC=另解設(shè)BC邊上的高AD交BC于點(diǎn)D，由題意知BBC，DC=1+2=-3，所以cosA=-1+2=-3，所以cosA=-AD的長為.sinA=得ADsinA=得AD2=4(AB2+AC2+2AB?ACcosA)=19，即AD=194△ABC，可得A=，在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB?ACcosA=28，即BC=27，cosB=AB2+BC2-AB2=2，所以在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-【解析】設(shè)BC=a，則BM=CM=．在△ABM中，AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB，=AM2+CM2-.△ABC的邊BC上的中線，所以BC=2BD=82．在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2=BE2+×x．解得x=1或x=-=2.2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=，即AC=．又 777A.-777A.-C.B.D.±C.B.7∠ADB=1．故選B.+c2-2bccosAD2+c2-BD2+c2-2bccosAD2+c2-BD2,即3=AD2+16-7,即3=AD2+16-7以AD>BD=7，所以AD=33，所以cos∠ADB=DA2+DB2-AB2=27+7-選B.△ABC的面積S=.π>B，∴B=π>B，∴B= A.1B.C.3D.A.1B.C.3D.A.B.C.D. 2把面積作為已知條件之一，與正弦定理、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他各量．面積公式中涉及面11 2=12 55 . 2B=1-= 【解析】∵在△ABC中，C=，∴B=-A，B-A=-2A882=AD2+DC2-2AD·DCcosD A.3B.2C.3D.616-22)=3. 為()A.3+1B.3-1C.4D.2 ===、 2 +/6acsinB=sinAcosC++/6acsinB=sinAcosC+cosAsinC=42 2+/6=4 面積為()A.23+2B.3+1C.23-2D.3-1D.A.B.2D.484 ab55sinA=2=a=sinA=2=a=由正弦定理=△ABC=absinC=×由正弦定理=、、、、、、=12=a2+b2-2abcos=a22=absinC=+b2-ab2=absinC=4438=bcsinA=438=bcsinA=4c=的面積S=.()2=9+x2-2×3x×,解得x=3．故BD=BC，在等腰△ABD=AB·BD=4四邊形ABCD=3+43=53. △ABC是直角三角形；若c2>2+b211()A.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形2=a2+b2()()C.鈍角三角形D.無法確定A.C.鈍角三角形D.無法確定A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形44()A.等邊三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形b+c2b-b3+a2c+2+c2=a2，故A=9055A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形()sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-2=2或2A=π-2B，∴A=B或A+B=.∴△ABC為等22+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，66()A.等邊三角形B.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.77()A.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形D.直角三角形+c2-b22+c2===88 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2-c2=3b2=b=c．所以△ABC為等邊三角形.=sinAcosB+cosAsinB，所以sin(A-B)=0．又因?yàn)锳與2+A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.銳角非等邊三角形D.鈍角三角形2=b22A=，所以A=B=，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B. ①若tanA+tanB+tanC>0，則△ABC是銳角三角形；④若==，則△ABC是等邊三角形.tanB=tanC，∴④正確. 2=A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2==， A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.無法確定 A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形 A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形所以2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形. A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形 A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形+ycosA+cosB=0與ax+ycosB+cosA.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形2+c2-a2A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2BA.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形A.A=B.c=2aC.C=D.△ABC是等邊三角形()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形三角形．故選A.A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形1=602B2C22=1B1C1是銳角三角形，2B2C2是鈍角三角形．故選D. 112<b2+c2，則角A的取值范圍是)22() <b<3，根據(jù)余弦定理cosC=(a2+b2-c2)=(4+b2-1)=(3+b2)=+=-b2+≥.所以0<C≤.故選A. 4444=a2+b2-=a2+b2-≥2a2b2(-=·6-2，故6-2≤ =-3．由已知條件及大邊對大角可知0<A<<C<π,從而由A+B+C=π可知tanB=-tan(A+C)=-tanC)≥2×(-tanC)=23(當(dāng)且僅當(dāng)tanC=-3時取等號)，從而tanB≤=， 值是()tanB+tanC=2tanBtanC．又三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanBtanC=，∴tanAtanBtanC=tanA·,令tanA-2=t，得tanAtanBtanC= 2(B+C)<2B+sin2C，則角A的取值范圍為()2A+cos2A)=2sinA，所以sinB=2=≥=(當(dāng)且僅當(dāng)c2=3a2，即c=·3a時取等號)，因?yàn)锳為△ABC的<A≤,故角A的取值范圍是(0，.()A.B.C.D.A.B.C.D.-的最大值為A.2B.C.1B，又B為鈍角，∴B=A+，sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A=-2(sinA-2+，∴sinA+sinC的最大值為. 角B的值為.【解析】由acosB-bcosA=c及正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=sinC=A+B0．所以tan(A-B)===≤=，當(dāng)且僅當(dāng)=3tanB，即tanB=A-B)取得最大值，所以B=. 所以C=，A=-B，所以sin2Atan2B=cos2Btan2B=．令1+tan2B=t，其 =2，cos2A+cos2B=+=+= tan2A+tan2B+2=(tanA+tanB)2-2tanAtanB+2=(tanAtanB)2+tan2A+tan2B+1(tanAtanB)2+(tanA+tanB)2-2tanAtanB+1-2tanAtanB+5>0，所以令6- -82tanAtanB=t(t>0)，則cos2A+cos2B==t+-8≤23=22+1(當(dāng)且僅當(dāng)t -8解法2由解法1得tanA+tanB=2，令tanA=1+t，tanB=1-t，則cos2A+cos2B=+d+d-4d+d-42A+cos2B=+=1+cos(A+B)cos(A-B)=1-cosC(sinC+cosC-=-4tanA．因?yàn)閠anA>0，所以tanB=-tan(A+C)=--=-=-4tanA-14tanA+24424【解析】因?yàn)閟inA=sin(B+C)=2sinBsinC，所以tanB+tanC=2tanBtanC，因此tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC，所以tanAtanBtanC≥8.2-a2=actanAtanB tanAtanB解法1原式可化為-=-==．由b2-sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sin(B-A)，由于△ABC為銳角三角形，所以有A=B-A，即B=2A，故-=，在銳角三角形ABC中易知2-a2=AD2-BD2=(AD+BD)(AD-BD)=c(AD-BD)=ac，所以AD-BD=a，而AD+BD=c，所以BD=，則c>a，即>1，在銳角三角形ABC中有b2+a2>c2，則a2+a2+ac>c2，即2--2<0，解得-1<<2，因定理及正弦定理可得cosC====，又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=代入tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得tanB=，所以++= ++=+，因?yàn)锳∈(0所以tanA>0，所以+ 以++的最小值為.++=++=++=+≥.當(dāng)且僅當(dāng)11. .αα2<AB<6+2. 2+c2-b2) . 2+c2-b2)2+c2-b2)ca=c>ca=c>1tanAa1tanAa+=2. 66≥+b)2 +c的取值范圍是()<B+30°< C以+=1，則4a+c=(4a++=5++≥5+2、·= +b2-c2(c+2-c2 .l=a+2c+=a+-+=+=3(a-1)+++≥32(a-1)×++，當(dāng)且僅當(dāng)a-1=時， A.2B.3C.2=．由S△ABC=acsinB=1+2，得ac=22+4．又b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2ac=(2- .AC2=AD2+22-4AD·cos∠ADC，且(6-、2AC)2=AD2+22-4AD·cos∠ADB，∵∠ADB=π-2+(6-2AC)2=2AD2+8，∴AD2==，當(dāng)33<B<30°, 【解析】A=3B?====5=a25()A.2-1B.2C.2+1D.2+2-2bccosA=a2=2bcsinA，令t=，于是t2+1-2tcosA=2tsinA．于是2tsinA+2tcosA=t2+1， 2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，則a+b的取值范圍為. sinB．又∵B=-A，∴a+b=sinA+sinB=sinA+-A(=77A.1B.C.3D.A.1B.C.3D. ABBCACsinA=sinB3sinA=4=ABBCACsinA=sinB3sinA=4=4，則AC+3BC=4sinB+43=以AC+3BC的最大值為47.A.3B.C.32D.A.3B.C.32D.A.B.C.D. 2+c2的取值范圍是()cosA=C)=4sin2B+sin2(A+B)]=4+=、3sin2B-cos2B+4= =2sinC，又△ABC的周長l=BC+AB+AC=2sinA+2sinC+、3=2sin(120°-C)+2sinC+3 值為() 2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc33=332 2-(a-b)2【解析】S=c2-(a-b)2=c2-a2-bmax=. 2AsinB=2R2sinA-A(=2R2sinAcosA+sinA(=R2(sinAcosA+sin2A)=2.66A.4+53A.48+53B.4C.3D.4+52D. 2-b2=c2-bc，∴b2+c2-a2=bc，∴===2+c2- A.2B.2C.3D.3 2C.B.2C.B.42+c2-a2≥1-9=1-若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值為()A.22B.C.D.x1-cos2B128-(x2-12)2①,得S△ABC=x1-(128-(x2-12)2①,得S△ABC=x1-(42(2=A.B.C.2D.A.B.C.2D.2=b2+2c2的 弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結(jié)合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決.在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理 2=sin2A-sinBsinC.2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. +=，變形可得sinAsinB=si在△ABC中，由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC．所以sinAsinB=sinC.cosA==.所以sinB=cosB+sinB．故tanB==4. 可得sinCcosB+sinBcosC+sinC=2sinB，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.2=4b2-366a+b+ca+ca+ba+ca+b+ca+b+ca+ca+ba+ca+b+ca+b2+c2-a2=bc，++c-a2=，因?yàn)?<A<π,所以A=.tanB32tanB+cosA=tanB32tanB+cosA=+=+3，/3/3277=acsinB=ac．又S△ABC=2，則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×× 22+b2+ab=(a+b)2-ab=99故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A-B).<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以A=2B.當(dāng)B+C=時，A=；當(dāng)C-B=時，A=．綜上，A=或A=. btanA得(2)解由sinC-sinAcosB=A+B)-sinAcosB=，∴cosAsinB=.sinB=，B=，∴C=π-(A+ 2+b2=λab. 因?yàn)?<A<，所以sinA<，所以sinA=.==1．又因?yàn)?-b2-c2).2-b2-c2)，2+c2-a2=-55ac=-5=asinA=、=asinA=、=6c2+c2-4c2=6=6c2+c2-4c2=6A-1=-，sin2A= -3 -32A.2A2A，解得cosA=或cosA=-2(舍去)．因?yàn)?<A<π,所以A=.