2.3.1兩條直線的交點坐標(biāo)2.3.2兩點間的距離公式課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.3.1兩條直線的交點坐標(biāo)2.3.2兩點間的距離公式自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、兩條直線的交點坐標(biāo)1.直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)的位置關(guān)系如表所示.2.直線x-2y+3=0與直線2x-y+3=0的交點坐標(biāo)為(

)A.(-1,1) B.(1,-1)C.(1,1) D.(-1,-1)答案:A二、兩點間的距離公式②當(dāng)P1P2∥x軸,即y1=y2時,|P1P2|=|x2-x1|.③當(dāng)P1P2∥y軸,即x1=x2時,|P1P2|=|y2-y1|.2.已知點M(2,1),N(-1,5),則|MN|等于(

)答案:A合作探究釋疑解惑探究一兩直線的交點問題【例1】

判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交,求出交點的坐標(biāo):(1)l1:2x-y=7,

l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0,

l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0,

l2:y=-2x+3.分析:通過聯(lián)立方程,解方程組確定解的個數(shù),判定直線的位置關(guān)系.反思感悟

方程組有唯一解,說明兩條直線相交;方程組無解,說明兩直線沒有公共點,即兩條直線平行;方程組有無數(shù)組解,說明兩條直線重合.【變式訓(xùn)練1】

若三條直線x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一點,則k的值是(

)答案:B探究二直線系方程【例2】

(1)求經(jīng)過點P(1,0)和兩條直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0的交點的直線方程;(2)求證:不論m取何實數(shù),直線(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0都經(jīng)過一個定點,并求這個定點的坐標(biāo).分析:(1)法一:求出交點坐標(biāo),應(yīng)用兩點式寫出直線方程;法二:設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.(2)法一:對m取特殊值,得到兩條直線的方程,定點即為兩條直線的交點;法二:將方程整理為關(guān)于m的方程,由方程的解為全體實數(shù),求出定點.故直線經(jīng)過點P(1,0),(0,1),由兩點式可得所求直線的方程為x+y-1=0.解法二:∵直線l2不經(jīng)過點P,∴設(shè)所求的直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.(2)證法一:令m=0,得x+y-1=0,①令m=1,得4x-y+2=0,②證法二:方程可化為(x+y-1)+m(3x-2y+3)=0.反思感悟

經(jīng)過兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線方程可寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,λ∈R(它不能表示直線l2).反之,當(dāng)直線的方程寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0時,直線一定經(jīng)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點.【變式訓(xùn)練2】

(1)經(jīng)過直線2x+3y+8=0和直線x-y-1=0的交點,且與直線x+2y=0垂直的直線方程為

.

(2)不論m為何實數(shù),直線l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒過一定點,則此定點坐標(biāo)為

.

由點斜式得y+2=2(x+1),即2x-y=0.(方法二)由題意可設(shè)所求的直線方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0.由題意得2+λ+2(3-λ)=0,解得λ=8.故所求的直線方程為10x-5y=0,即2x-y=0.(2)直線l的方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5可化為m(x+2y-1)-x-y+5=0.則此定點坐標(biāo)為(9,-4).答案:(1)2x-y=0

(2)(9,-4)探究三兩點間距離公式的應(yīng)用【例3】

在直線l:3x-y+1=0上求一點P,使點P到A(1,-1),B(2,0)兩點的距離相等.分析:解答本題有兩種思路:(1)設(shè)點P坐標(biāo)(x,y),由點P在直線上和|PA|=|PB|,根據(jù)兩點間距離公式建立關(guān)于x,y的方程,解方程組得點P的坐標(biāo).(2)由|PA|=|PB|知點P在線段AB的垂直平分線上,再解由兩條直線的方程組成的方程組得交點P的坐標(biāo).解法一:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).由點P在直線l上和點P到A,B兩點的距離相等建立方程組解法二:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).A(1,-1),B(2,0)兩點連線所得線段的垂直平分線方程為x+y-1=0,①已知3x-y+1=0,②所以點P的坐標(biāo)為(0,1).反思感悟

利用坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間的距離公式可以求平面上任意兩個已知點間的距離.反過來,已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練3】

已知點A(4,12),P為x軸上的一點,且點P與點A的距離等于13,則點P的坐標(biāo)為

.

解得x=-1或x=9.所以點P的坐標(biāo)為(-1,0)或(9,0).答案:(-1,0)或(9,0)【思想方法】

【典例】

如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是邊BC上異于點B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.審題視角:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出各頂點的坐標(biāo),應(yīng)用兩點間的距離公式證明.證明:以邊BC的中點為原點O,邊BC所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).由題意知,B(-b,0).由兩點間的距離公式,得|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2.∵|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.方法點睛

1.用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題時,關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.坐標(biāo)系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運算.(2)