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橢圓的簡單幾何性質第1課時橢圓的簡單幾何性質根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質,并正確地畫出它的圖形,是解析幾何的基本問題之一.本節(jié)就是根據(jù)橢圓的標準方程來研究它的幾何性質.其性質可分為兩類:一類是與坐標系無關的本身固有性質,如長軸長、短軸長、離心率、焦距等;一類是與坐標系有關的性質,如頂點、焦點等.1.對橢圓的簡單幾何性質的認識(1)橢圓的焦點決定橢圓的位置.(2)橢圓的范圍決定橢圓的大小.(3)橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度.(4)對稱性是圓錐曲線的重要性質,橢圓的頂點是橢圓與對稱軸的交點,是橢圓上重要的特殊點,在畫圖時應先確定這些點.

探究點一

橢圓的簡單幾何性質

D(2)求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率.

[素養(yǎng)小結]由橢圓的標準方程研究橢圓的性質時要注意兩點:(1)已知橢圓的方程討論橢圓的性質時,若不是標準形式的方程,則先化成標準形式的方程,再確定焦點的位置,進而確定橢圓的類型.(2)焦點位置不確定的要分類討論,找準a與b,正確利用a2=b2+c2求出焦點坐標,再寫出頂點坐標.同時要注意長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應是2a,2b,2c.探究點二

由幾何性質求橢圓的標準方程

C

D

C

探究點三

求橢圓離心率的值或范圍

D

A

C(2)以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為

.

[素養(yǎng)小結]求橢圓離心率的值(或范圍)的步驟:(1)利用條件建立關于a,b,c的關系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,轉化為關于a,c的齊次方程或不等式;(3)將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或范圍.

D(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8,兩個頂點坐標分別是(-6,0),(6,0),求焦點在x軸上的橢圓的

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