圓的有關(guān)性質(zhì)教案

圓的有關(guān)性質(zhì)適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)九年級(jí)適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長（分鐘)60知識(shí)點(diǎn)圓的對(duì)稱性、垂徑定理、圓周角定理、等對(duì)等定理教學(xué)目標(biāo)理解圓的軸對(duì)稱性，會(huì)運(yùn)用垂徑定理、等對(duì)等定理、圓周角定理解決有關(guān)的證明、計(jì)算和作圖問題教學(xué)重點(diǎn)理解并掌握垂徑定理及其推論、等對(duì)等定理、圓周角定理,應(yīng)用解題的能力教學(xué)難點(diǎn)感受類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展邏輯思維能力和識(shí)圖能力.教學(xué)過程課堂導(dǎo)入圓是日常生活中最為常見和最為常用的圖形，近幾年的中考考試頻率較高，其中圓的相關(guān)性質(zhì)考察較多,所以掌握它的基本解題思路和方法尤為重要。今天這堂課重在熟悉不同類型問題，靈活添加輔助線，提高思維應(yīng)變能力二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)圓的定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓圓的旋轉(zhuǎn)不定性：圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形又是一個(gè)________對(duì)稱圖形，圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性．圓的相關(guān)概念：圓心、半徑、直徑、弦、?。▋?yōu)弧和劣?。┒⒅R(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：垂徑定理（構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧知識(shí)點(diǎn)2、等對(duì)等定理（等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角﹑兩條弧或兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等知識(shí)點(diǎn)3、圓周角定理（角的轉(zhuǎn)化）在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半三、例題精析【例題1】【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝8，OP＝3,則⊙O的半徑為（）A．10B．8C．5D．3【解析】：連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長．【答案】：連接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4,在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3,∴OC＝＝＝5．故選C．【例題2】【題干】如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（)A．2B．8C．2D．2【解析】：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB=8，∴AC=AB=4，設(shè)⊙O的半徑為r,則OC=r﹣2,在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2,∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2)2,解得r=5,∴AE=2r=10，連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6,BC=4，∴CE===2．【答案】：D【例題3】【題干】如圖，點(diǎn)A,B,C,在⊙O上,∠ABO＝32°,∠ACO＝38°，則∠BOC等于()A．60°B．70°C．120°D．140°【解析】過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出θ＝2α＋2β．【答案】:過A作⊙O的直徑，交⊙O于D；△OAB中，OA＝OB，則∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．【例題4】【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上,∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；（2)若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．【解析】(1）要證明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根據(jù)=可以確定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P根據(jù)題意可知∠P=∠CAB，則sin∠CAB=,即=，所以可以求得圓的直徑【答案】(1）證明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2)解:連接AC∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB,∴=，∴∠P=∠CAB,∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直徑為5．四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上,頂點(diǎn)C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為（)A．36°B．46°C．27°D．63°【解析】：根據(jù)BE是直徑可得∠BAE=90°，然后在?ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，繼而可求得∠AEB的度數(shù)．【答案】:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°，∵BE為⊙O的直徑，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故選A．2、如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm,水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【解析】:過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA,由垂徑定理可知AD=AB，設(shè)OA=r，則OD=r﹣2,在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．【答案】：如圖所示：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，設(shè)OA=r，則OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2,即r2=（r﹣2）2+42,解得r=5cm．故選C．【鞏固】1、如圖,半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC,則AD的長為（）A．cmB．cmC．cmD．4cm【解析】：連接OD，OC,作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運(yùn)用圓周角定理,可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E=AF=3cm，根據(jù)勾股定理,得DE=4cm,在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長．【答案】：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F,∵∠CAD=∠BAD（角平分線的性質(zhì))，∴弧CD=弧BD，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD,∴△AOF≌△OED，∴OE=AF=AC=3cm，在Rt△DOE中，DE==4cm，在Rt△ADE中,AD==4cm．故選A．【拔高】如圖,AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為．CCABCGHEF【解析】本題考查圓心角與圓周角的關(guān)系應(yīng)用，中位線及最值問題.連接OA，OB，因?yàn)椤螦CB=30°，所以∠AOB=60°，所以O(shè)A=OB=AB=7，因?yàn)镋、F中AC、BC的中點(diǎn)，所以EF==3.5，因?yàn)镚E+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF為定值，所以GH取最大值時(shí)GE+FH有最大值.【答案】當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí),GE+FH有最大值．當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，∴AC也是直徑,AC=14．∵∠ABC是直徑上的圓周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°,∴AB=AC=7．∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF=AB=3.5，∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10。5．故答案為10.5．課程小結(jié)垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧①構(gòu)造直角三角形,垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合是計(jì)算弦長、半