專題04 全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略（原卷版）

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】 1【解題模型二一線三等角模型】 5【解題模型三三垂直模型】 12【解題模型四倍長中線模型】 18【解題模型五倍長中線模型】 26【典型例題】【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數量關系，并證明你的猜想．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【解題模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．已知是經過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經過的內部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數量關系，并證明你的結論；(2)如圖3，若直線經過的外部，，題（1）②中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結論再給予證明．3．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【解題模型三三垂直模型】例題：問題1：在數學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．2．如圖，已知：在中，，，直線經過點，，．（1）當直線繞點旋轉到圖（1）的位置時，求證：；（2）當直線繞點旋轉到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系：____________．【解題模型四倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【變式訓練】1．如圖，在中，是邊上的中線．延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)與的數量關系是：____________，位置關系是：____________；(3)若，猜想與的數量關系，并加以證明．2．（1）方法呈現：如圖1，在中，若，，D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在中，D為的中點，，，且線段的長度為整數．求的長度．

3．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據所要求的結論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．4．閱讀理解在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數量關系，請直接寫出你的結論．【解題模型五倍長中線模型】例題：如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數量及位置關系并證明；（3）若，求的度數．【變式訓練】1．問題發(fā)現：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．2．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數．3．如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．5．將兩個全等的直角三角形△ABC和△DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF＝DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角