專題11 解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想壓軸題七種模型全攻略（原卷版）

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 8【考點(diǎn)三巧妙割補(bǔ)求面積】 10【考點(diǎn)四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】 14【考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】 20【考點(diǎn)六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】 25【考點(diǎn)七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】 28【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)是，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為13，底邊長(zhǎng)為24，那么它底邊上的高為（

）A．12 B．24 C．6 D．53．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期末）如圖所示，在邊長(zhǎng)為單位的網(wǎng)格中，是格點(diǎn)圖形，求中邊上的高．

5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，，是斜邊上高．(1)求的面積；(2)求斜邊；(3)求高．【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為_(kāi)_________．【類型三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．3．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校考階段練習(xí)）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費(fèi)20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？4．（2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求線段與的長(zhǎng)；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【類型四“勾股樹(shù)”及其拓展類型求面積】例題：（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為_(kāi)__________．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．4．（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹(shù)”．在如圖7所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問(wèn)題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．32．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．

3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)分別在邊上（不與端點(diǎn)重合）．將沿折疊，點(diǎn)A落在的位置．

(1)如圖①，當(dāng)與點(diǎn)重合且．①直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；②求的面積．(2)當(dāng)．①與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)．如圖②，直接寫(xiě)出的大小；②與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，且的一邊與平行，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問(wèn)題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_(kāi)______．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【類型七實(shí)際問(wèn)題中的方程思想】例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開(kāi)雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高短2尺；斜放，門對(duì)角線長(zhǎng)恰好是竿長(zhǎng)的倍．問(wèn)門高、門寬各為多少？3．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．4．（2022·浙江·浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）圖