2024-2025學年上海市寶山區(qū)大同中學高三（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市寶山區(qū)大同中學高三（上）開學數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.事件A與B獨立，A?、B?分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是(

)A.P(A∪B)=P(A)P(B) B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.P(AB?)=P(A)P(2.已知等差數(shù)列{an}中，|a6|=|a15|，且公差A(yù).8 B.9 C.10 D.113.經(jīng)過點P(1,?2)可以作與曲線2x3?3x?y=0相切的不同直線共有A.0條 B.1條 C.2條 D.3條4.如圖所示，四面體ABCD的體積為V，點M為棱BC的中點，點E、F分別為線段DM的三等分點，點N為線段AF的中點，過點N的平面α與棱AB、AC、AD分別交于O、P、Q，設(shè)四面體AOPQ的體積為V′，則V′V的最小值為(

)A.14

B.18

C.116二、填空題：本題共12小題，共54分。5.不等式|x2?2|>16.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=4i1?i，則Imz=7.(x8.若雙曲線x2+y2b=1的離心率為29.設(shè)a∈R，若拋物線y=14x2+a的焦點為坐標原點，則10.下表中是某公司一年中每月的廣告投入費用與銷售額的情況，設(shè)廣告投入費用為x(單位：萬元)，銷售額為y(單位：萬元)，則y關(guān)于x的回歸方程為______.(回歸系數(shù)精確到0.01)廣告費用(萬元)302621171118131617232529銷售額(萬元)84372562158748560852355460070372879211.設(shè)x∈R，若(3+x)5=a0+12.在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AC的中點，點P在直線EF上，若△ABC的面積為2，則PB?PC+13.將由曲線x|x|+y|y|=1、y=?1、x=0所圍成的封閉區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的旋轉(zhuǎn)體記為Ω，則該旋轉(zhuǎn)體Ω的體積為______．14.某醫(yī)藥研究所將在7天時間內(nèi)檢測3種不同抗生素類藥品、3種不同抗過敏類藥品、1種降壓類藥品.若每天只能檢測1種藥品，且降壓類藥不在第1天或第7天檢測，3種不同抗生素類藥品中恰有2種在相鄰兩天被檢測，則不同的檢驗時間安排方案的個數(shù)為______．15.如圖，半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓y2b2+x2c2=1(x<0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2=b16.已知三角形ABC的面積為2024，AC=110，34tanA+11tanB=23，則三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<π2．

(1)若cosπ4cosφ?sin3π4sinφ=0.求φ的值；

(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π18.(本小題14分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點，沿DE將△ADE折起，使得點A到點P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點，N是線段BC上的動點．

(1)求證：平面EMN⊥平面PBC；

(2)當三棱錐M?EBN與四棱錐P?EBCD的體積之比為VM?EBNVP?EBCD=16時，求直線EN19.(本小題14分)

某網(wǎng)站規(guī)定：一個郵箱在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該郵箱將被鎖定24小時.小王發(fā)現(xiàn)自己忘記了郵箱密碼，但是可以確定該郵箱的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該郵箱被鎖定．

(1)求當天小王的該郵箱被鎖定的概率；

(2)設(shè)當天小王嘗試該郵箱的密碼次數(shù)為X，求X的分布及E[X]，D[X]的值．20.(本小題18分)

已知雙曲線Γ：x2?y2=1的左、右頂點分別為點A、B，M為雙曲線Γ上的動點，點Q(0,2)．

(1)求點M到Γ的兩條漸近線的距離之積；

(2)求經(jīng)過點Q的雙曲線Γ的切線方程；

(3)設(shè)點P在第一象限，且在漸近線的上方，直線PA，PB分別與y軸交于點C，D.過點P作Γ的兩條切線，分別與y軸交于點E，F(xiàn)(E在F的上方)21.(本小題18分)

設(shè)a<e2，已知函數(shù)y=f(x)的解析為f(x)=(x?2)ex?a(x2?2x)+2．

(1)當a=0時，求函數(shù)y=f(x)的最小值；

(2)證明當a∈(?∞,0]時函數(shù)f(x)至多有兩個零點；

(3)如果函數(shù)y=f(x)有3個不同的零點，分別設(shè)為x1、x2、x3，求實數(shù)a的取值范圍；如果x1參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.(?1,1)∪(?∞,?6.2

7.160

8.?3

9.?1

10.y11.31

12.213.2π

14.2016

15.(116.46或18417.解：(1)由cosπ4cosφ?sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ?sinπ4sinφ=0．

即cos(π4+φ)=0又|φ|<π2，∴φ=π4．

(2)解法一：由(1)得f(x)=sin(ωx+π4)，依題意，T2=π3，又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin(3x+π4)，

函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=sin[3(x+m)+π4]

又g(x)是偶函數(shù)當且僅當3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，即m=kπ3+π12(k∈Z)，

從而，最小正實數(shù)m=π12．18.解：(1)證明：由題意可知，四邊形EBCD是正方形，AE⊥DE(折疊后PE⊥DE)，

因為PE⊥EB，DE∩EB=E，DE，EB?平面EBCD，所以PE⊥平面EBCD，

因為BC?平面EBCD，所以PE⊥BC，

因為BC⊥EB，PE∩EB=E，PE，EB?平面PBE，所以BC⊥平面PBE，

因為EM?平面PBE，所以BC⊥EM，

因為PE=EB，M是PB的中點，所以EM⊥PB，

又BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，所以EM⊥平面PBC，

因為EM?平面EMN，所以平面EMN⊥平面PBC；

(2)設(shè)AB=2DC=2BC=4，由(1)得EM⊥平面PBC，所以∠MNE是直線EN與平面PBC所成角，

依題意得：VM?EBNVP?EBCD=13S△EBN?12PE13SEBCD?PE=19.解：(1)設(shè)“當天小王的該郵箱被鎖定”為事件A，

則P(A)=56×45×34=12．

(2)由題意，X可能取到1，2，3，

則X123P112所以E[X]=1×16+2×1620.解：(1)設(shè)點M(x1,y1)，所以x12?y12=1，兩個漸近線方程為x±y=0，

所以點M到Γ的兩條漸近線的距離之積為|x1?y1||x1+y1|2×2=|x12?y12|2=12；

(2)由題意得切線方程斜率存在，設(shè)經(jīng)過點Q的切線方程為y=kx+2，

聯(lián)立x2?y2=1y=kx+2，消去y得(1?k2)x2?4kx?5=0，

因為直線與雙曲線相切，所以Δ=?4k2+20=0，

所以k=±5，所以切線方程為y=±5x+2；

(3)證明：設(shè)P(x2,y2)，x2?y2<0，因為A(?1,0)，B(1,0)，

所以直線PA的方程為y=y2x2+121.解：(1)當a=0時，f(x)=(x?2)ex+2，則f′(x)=(x?1)ex，

當x<1時，f′(x)<0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，

當x>1時，f′(x)>0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=f(x)的最小值為f(1)=2?e；

(2)f(x)=(x?2)ex?a(x2?2x)+2，則f′(x)=(x?1)ex?2a(x?1)=(x?1)(ex?2a)，

a≤0時，ex?2a>0恒成立，

當x<1時，f′(x)<0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，

當x>1時，f′(x)>0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，

故當a∈(?∞,0]時函數(shù)f(x)至多有兩個零點；

(3)f(x)=(x?2)ex?a(x2?2x)+2，

則f′(x)=(x?1)ex?2a(x?1)=(x?1)(ex?2a)，

由(2)可知，a∈(?∞,0]時不合題意，

當0<a<e2時，ln2a<1，

f′(x)>0，解得x<ln2a或x>1，f′(x)<0，解得ln2a<x<1，

函數(shù)y=f(x)在(?∞,ln2a)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(ln2a,1)上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=f(x)有3個不同的零點，則f(1)=2+a?e<0f(ln2a)>0，

又f(ln2a)=?a(ln2a?2)2+2=?eln2a2(ln2a?2)2+2，

令t=ln2a∈(?∞,1)，記f(ln2a)=?(t)，

則?(t)=?et(t?2)22+2，其中t<1，

則?′(t)=?t(t?2)2et2，

當t∈(0,1)時，?′(t)>0，函數(shù)?(t)單調(diào)遞增，

當t∈(?∞,0)時，?′(t)<0，函數(shù)?(t)單調(diào)遞減，

所以?(t)≥g(0)=0，即f(ln2a)≥0，當且僅當a=12時取等號，

故不等式組f(1)=2+a?e<0f(ln2a)>0的解集為(0,12)∪(12,e?2)，

因為f(2)=2>0，f(?1a)<0，

故當a∈(0,12)∪(12,e?2)時函數(shù)y=f(x)