2.5二次函數(shù)與一元二次方程課件北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊

2.5二次函數(shù)與一元二次方程（第一課時）——二次函數(shù)與根的判別式的關(guān)系

我們已經(jīng)知道，豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關(guān)系可以近似地用公式h

=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是拋出時的高度，v0(m/s)是拋出時的速度．一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起，小球距離地面的高度h(m)與運動時間t(s)的關(guān)系如圖所示.(1)h與t的關(guān)系式是什么？(2)小球經(jīng)過多少秒落地？

你有幾種求解方法？活動一分析：(1)方法一：把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，可知v0=40，h0=0.因此，可直接寫出關(guān)系式h

=-5t2+40t

(0≤t≤8).方法二：觀察圖象可知，拋物線經(jīng)過點（0,0）和（8,0）,代入公式h

=-5t2+v0t+h0

，求出v0=40，h0=0即可.分析：把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，小球落地就是小球高度h=0，可用兩種方法求小球落地的時間.方法一：從“形”的角度看.觀察圖象可知，當(dāng)h=0時，t1=0(舍去),t2=8.因此，小球經(jīng)過8秒后落地.方法二：從“數(shù)”的角度看.當(dāng)h=0時，可得方程-5t2+40t

=0，解得t1=0(舍去),t2=8.把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，數(shù)形結(jié)合，是解決本題的關(guān)鍵.(1)h與t的關(guān)系式是什么？(2)小球經(jīng)過多少秒落地？你有幾種求解方法？二次函數(shù)y=x2+2x

,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如圖所示，(1)探索發(fā)現(xiàn)，填寫下表：活動二二次函數(shù)的圖象拋物線與x軸的交點一元二次方程根的判別式Δ一元二次方程的根拋物線y=x2+2x與x軸有()個交點，分別是()、()

x2+2x=0

Δ0方程x2+2x=0有

()的實數(shù)根.x1=,x2=拋物線y=x2-2x+1與x軸有()個交點(

)

x2-2x+1=0

Δ0方程x2-2x+1=0有()的實數(shù)根.x1=x2=拋物線y=x2-2x+2與x軸()交點

x2-2x+2=0

Δ0方程x2-2x+2=0()實數(shù)根.兩-2,00,0一1,0＞兩個不相等-20=兩個相等1沒有＜沒有(2)思考：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數(shù)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式及根有什么關(guān)系？拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點有三種情況：一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三種情況：有兩個交點有一個交點沒有交點有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根Δ＞0Δ=0Δ＜0從“形”的角度看從“數(shù)”的角度看二次函數(shù)的圖象拋物線與x軸的交點一元二次方程根的判別式Δ一元二次方程的根拋物線y=x2+2x與x軸有(兩)個交點，分別是(-2,0)、(0,0)

x2+2x=0

Δ

＞0方程x2+2x=0有

(兩個不相等)的實數(shù)根.x1=-2,x2=0拋物線y=x2-2x+1與x軸有(一

)個交點(

1,0

)

x2-2x+1=0

Δ

=

0方程x2-2x+1=0有(兩個相等)的實數(shù)根.x1=x2=1

拋物線y=x2-2x+2與x軸(沒有

)交點

x2-2x+2=0

Δ

＜0方程x2-2x+2=0(

沒有

)實數(shù)根.(3)思考：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系？二次函數(shù)的圖象拋物線與x軸的交點一元二次方程根的判別式Δ一元二次方程的根拋物線y=x2+2x與x軸有(兩)個交點，分別是(-2,0)、(0,0)

x2+2x=0

Δ

＞0方程x2+2x=0有

(兩個不相等)的實數(shù)根.x1=-2,x2=0拋物線y=x2-2x+1與x軸有(一

)個交點(

1,0

)

x2-2x+1=0

Δ

=

0方程x2-2x+1=0有(兩個相等)的實數(shù)根.x1=x2=1

拋物線y=x2-2x+2與x軸(沒有

)交點

x2-2x+2=0

Δ

＜0方程x2-2x+2=0(

沒有

)實數(shù)根.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(拋物線)與x軸(直線y=0)交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸(直線y=0)交點的橫坐標(biāo).1.拋物線y=x2-x+2與x軸的交點情況是（）A.兩個交點

B.一個交點

C.沒有交點

D.不能確定3.拋物線y=2023x2+bx-c與x軸的兩個交點分別為（12.6，0），（-9.8，0），不解方程2023x2+bx-c=0，直接寫出它的解為x1=

，x2=

.2.若方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1和x2=3，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點坐標(biāo)是.

C（-1,0）（3,0）12.6-9.8針對訓(xùn)練：在本節(jié)一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60m？你是如何知道的？h

=-5t2+40t(0≤t≤8)分析：把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，小球離地面的高度是60m，就是h=60m.法一：從“數(shù)”的角度看.當(dāng)h=60時，-5t2+40t=60，解得t1=2,t2=6因此，2s和6s時小球離地面的高度是60m.法二：從“形”的角度看.當(dāng)h=60時，過點(0，60)作縱軸的垂線，如圖，拋物線h

=-5t2+40t與直線h=60有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)2和6就是小球離地面高度是60m時的時間.h

=60拋物線h

=-5t2+40t與直線h=60兩個交點的橫坐標(biāo)就是方程-5t2+40t=60的兩個不相等的實數(shù)根.反之，亦成立活動三

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(拋物線)與直線y=m(m是實數(shù))交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根．

一元二次方程ax2+bx+c=m(m是實數(shù))的根就是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m交點的橫坐標(biāo).一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=-4.9t2＋19.6t來表示．其中t（s）表示足球被踢出后經(jīng)過的時間．（1）畫出函數(shù)h=-4.9t2＋19.6t的圖象；（2）當(dāng)t=1，t=2時，足球距地面的高度分別是多少？（3）方程-4.9t2＋19.6t=0,-4.9t2＋19.6t=14.7的根的實際意義是什么？你能在圖上表示嗎?針對訓(xùn)練：t01234h014.719.614.70當(dāng)t=1時，h=14.7；當(dāng)t=2時，h=19.6∴當(dāng)

t=1，t=2時，足球距地面的高度分別是14.7m，19.6m.

解:

當(dāng)足球落地時，h=0，得-4.9t2＋19.6t=0解得t1=0，t2=4∴自變量t的取值范圍是0≤t≤4h=-4.9t2＋19.6t=-4.9(t-2)2+19.6列表描點、連線，如圖：h=-4.9t2+19.6t(0≤t≤4)19.614.7（1）畫出函數(shù)h=-4.9t2＋19.6t的圖象；（2）當(dāng)t=1，t=2時，足球距地面的高度分別是多少？

方程-4.9t2＋19.6t=0的根就是拋物線h=-4.9t2＋19.6t與x軸交點的橫坐標(biāo)，表示足球離開地面及落地的時間，如圖.h=-4.9t2+19.6t(0≤t≤4)19.614.7h=14.7（3）方程-4.9t2＋19.6t=0,-4.9t2＋19.6t=14.7的根的實際意義是什么？你能在圖上表示嗎?方程-4.9t2＋19.6t=14.7的根就是拋物線h=-4.9t2＋19.6t與直線h=14.7交點的橫坐標(biāo)，表示足球高度是14.7m時的時間，如圖.課堂總結(jié)：

通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的個數(shù)是一致的.當(dāng)Δ＞0時，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個不同的交點，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根.反之亦成立.當(dāng)Δ=0時，拋物線

y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有一個交點，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根.反之亦成立.當(dāng)Δ＜0時，拋物線

y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒有交點，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根.反之亦成立.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(拋物線)與直線y=m(m是實數(shù))交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根．一元二次方程ax2+bx+c=m(m是實數(shù))的根就是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m交點的橫坐標(biāo).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(拋物線)與x軸(直線y=0)交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸(直線y=0)交點的橫坐標(biāo).注意事項：1.遇到實際問題，要注意實際問題和數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化.2.畫與實際問題相關(guān)聯(lián)的二次函數(shù)圖象時，一要注意自變量的取值范圍，二要注意同一數(shù)軸上的單位長度一定要統(tǒng)一.3.注意數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想以及由特殊到一般得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法的使用.布置作業(yè)：基礎(chǔ)達標(biāo)作業(yè)1.二次函數(shù)y=x2-2x+m的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為

．2.求拋物線

y=-x2-x+6與x軸的交點坐標(biāo)．能力提升作業(yè)1.一元二次方程2x2-x-2=0的根可以看做是下列哪兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)（

）A.y=2x2和y=x+2

B.y=2x2和y=-x-2C.y=-2x