彈性力學優(yōu)化算法：靈敏度分析：靈敏度分析基礎

彈性力學優(yōu)化算法：靈敏度分析：靈敏度分析基礎1彈性力學基礎1.11彈性力學基本概念彈性力學是研究物體在外力作用下變形和應力分布的學科。物體在受力后，如果能夠恢復到原來的形狀和尺寸，這種變形稱為彈性變形。彈性力學主要關注材料的彈性性質，包括彈性模量、泊松比等，以及如何通過這些性質計算物體的應力、應變和位移。1.1.1彈性模量彈性模量是材料在彈性變形階段，應力與應變的比值，通常分為楊氏模量（E）和剪切模量（G）。楊氏模量描述了材料在拉伸或壓縮時的彈性性質，而剪切模量描述了材料在剪切力作用下的彈性性質。1.1.2泊松比泊松比（ν）是橫向應變與縱向應變的絕對值比，反映了材料在受力時橫向收縮的程度。對于大多數(shù)固體材料，泊松比的值在0到0.5之間。1.22應力與應變關系應力（σ）是單位面積上的內(nèi)力，而應變（ε）是物體在受力作用下尺寸的變化與原尺寸的比值。在彈性力學中，應力與應變之間的關系通常由胡克定律描述：σ對于三維問題，應力和應變的關系更為復雜，通常用應力張量和應變張量來表示，且關系由彈性矩陣決定。1.2.1應力張量應力張量是一個3x3的矩陣，描述了物體在任意方向上的應力分布。其元素包括正應力和剪應力。1.2.2應變張量應變張量同樣是一個3x3的矩陣，描述了物體在任意方向上的應變分布。應變張量的元素包括線應變和剪應變。1.33彈性力學方程彈性力學的基本方程包括平衡方程、幾何方程和物理方程。1.3.1平衡方程平衡方程描述了物體內(nèi)部的力平衡條件，即在任意點上，所有作用力的矢量和為零。1.3.2幾何方程幾何方程描述了位移與應變之間的關系，即物體的幾何變形。1.3.3物理方程物理方程，也稱為本構方程，描述了應力與應變之間的關系，即材料的物理性質。1.44有限元方法簡介有限元方法（FEM）是一種數(shù)值求解彈性力學問題的常用方法。它將復雜的連續(xù)體結構離散為有限數(shù)量的單元，每個單元用簡單的數(shù)學模型來近似，然后通過求解整個系統(tǒng)的方程組來得到結構的應力、應變和位移。1.4.1有限元方法步驟結構離散化：將結構劃分為多個小的單元。單元分析：對每個單元建立局部的平衡方程和本構方程。整體分析：將所有單元的方程組合成一個整體的方程組。求解：通過數(shù)值方法求解整體方程組，得到結構的應力、應變和位移。1.4.2代碼示例：使用Python進行簡單有限元分析importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義單元剛度矩陣

defunit_stiffness_matrix(E,nu,L,A):

"""

計算單元的剛度矩陣

:paramE:彈性模量

:paramnu:泊松比

:paramL:單元長度

:paramA:單元截面積

:return:單元剛度矩陣

"""

k=(E*A/L)*np.array([[1,-1],[-1,1]])

returnk

#定義全局剛度矩陣

defglobal_stiffness_matrix(units):

"""

計算全局剛度矩陣

:paramunits:單元列表，每個單元包含剛度矩陣和節(jié)點信息

:return:全局剛度矩陣

"""

n_nodes=max([max(unit[1])forunitinunits])+1

K=np.zeros((n_nodes,n_nodes))

forunitinunits:

k,nodes=unit

K[nodes[0],nodes[0]]+=k[0,0]

K[nodes[0],nodes[1]]+=k[0,1]

K[nodes[1],nodes[0]]+=k[1,0]

K[nodes[1],nodes[1]]+=k[1,1]

returnK

#定義單元

unit1=(unit_stiffness_matrix(E,nu,1,0.1),[0,1])

unit2=(unit_stiffness_matrix(E,nu,1,0.1),[1,2])

#計算全局剛度矩陣

units=[unit1,unit2]

K=global_stiffness_matrix(units)

#打印全局剛度矩陣

print(K)在這個例子中，我們定義了兩個單元，每個單元的長度為1米，截面積為0.1平方米，材料的彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。我們首先計算了每個單元的剛度矩陣，然后將這些單元組合起來，計算了整個結構的全局剛度矩陣。這個矩陣可以用來求解結構在給定載荷下的位移，進而計算應力和應變。2優(yōu)化算法概覽2.11優(yōu)化算法基本原理優(yōu)化算法是解決尋找函數(shù)最小值或最大值問題的一系列方法。在工程設計中，特別是彈性力學領域，優(yōu)化算法被用來尋找結構的最佳設計參數(shù)，以滿足特定的性能指標，如最小化結構的重量或成本，同時確保結構的強度和穩(wěn)定性。2.1.1原理優(yōu)化算法通?；诘^程，從一個初始點開始，逐步調(diào)整設計變量，直到找到滿足優(yōu)化目標的解。這個過程涉及到目標函數(shù)的評估，以及設計變量的更新。目標函數(shù)反映了設計的性能，而設計變量的更新則依賴于算法的搜索策略。2.1.2方法梯度下降法：基于目標函數(shù)的梯度信息，沿著梯度的反方向更新設計變量，以逐步減小目標函數(shù)的值。遺傳算法：模擬自然選擇和遺傳過程，通過交叉、變異和選擇操作，生成新的設計變量組合，尋找最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化：受鳥群覓食行為啟發(fā)，通過粒子在搜索空間中的移動和信息共享，尋找最優(yōu)解。2.22常用優(yōu)化算法介紹2.2.1梯度下降法梯度下降法是一種迭代優(yōu)化算法，用于尋找函數(shù)的局部最小值。它通過計算目標函數(shù)的梯度，然后沿著梯度的反方向更新設計變量，以減小目標函數(shù)的值。2.2.1.1示例代碼importnumpyasnp

defobjective_function(x):

#目標函數(shù)，例如彈性結構的重量

returnx[0]**2+x[1]**2

defgradient(x):

#目標函數(shù)的梯度

returnnp.array([2*x[0],2*x[1]])

defgradient_descent(start,learning_rate,num_iterations):

x=start

foriinrange(num_iterations):

grad=gradient(x)

x-=learning_rate*grad

print(f"Iteration{i}:x={x},f(x)={objective_function(x)}")

returnx

#設計變量的初始值

x0=np.array([5.0,3.0])

#學習率

lr=0.1

#迭代次數(shù)

iterations=100

#運行梯度下降法

result=gradient_descent(x0,lr,iterations)

print(f"Optimizedx={result}")2.2.2遺傳算法遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳學原理的全局優(yōu)化方法。它通過模擬生物進化過程，包括選擇、交叉和變異，來搜索最優(yōu)解。2.2.2.1示例代碼importrandom

deffitness_function(x):

#目標函數(shù)，例如彈性結構的強度

return-x[0]**2-x[1]**2

defcrossover(parent1,parent2):

#交叉操作

child=[0,0]

child[0]=parent1[0]

child[1]=parent2[1]

returnchild

defmutation(child):

#變異操作

ifrandom.random()<0.1:

child[0]+=random.gauss(0,1)

ifrandom.random()<0.1:

child[1]+=random.gauss(0,1)

returnchild

defgenetic_algorithm(population_size,num_generations):

population=[[random.uniform(-10,10),random.uniform(-10,10)]for_inrange(population_size)]

forgeninrange(num_generations):

population=sorted(population,key=lambdax:fitness_function(x),reverse=True)

new_population=population[:2]

foriinrange(population_size-2):

parent1=random.choice(population[:5])

parent2=random.choice(population[:5])

child=crossover(parent1,parent2)

child=mutation(child)

new_population.append(child)

population=new_population

print(f"Generation{gen}:Bestfitness={fitness_function(population[0])}")

returnpopulation[0]

#運行遺傳算法

best_design=genetic_algorithm(100,100)

print(f"Optimizeddesign={best_design}")2.33優(yōu)化算法在彈性力學中的應用在彈性力學中，優(yōu)化算法被廣泛應用于結構優(yōu)化設計。例如，可以使用優(yōu)化算法來調(diào)整結構的幾何形狀、材料屬性或連接方式，以達到最小化結構重量、成本或應力分布的目標，同時確保結構的強度和穩(wěn)定性滿足設計要求。2.3.1應用場景形狀優(yōu)化：通過調(diào)整結構的形狀參數(shù)，如截面尺寸或幾何形狀，來優(yōu)化結構的性能。拓撲優(yōu)化：在給定的設計空間內(nèi)，確定材料的最佳分布，以滿足特定的性能指標。尺寸優(yōu)化：優(yōu)化結構的尺寸參數(shù)，如厚度或直徑，以達到最佳性能。2.3.2示例假設我們有一個簡單的梁結構，需要通過優(yōu)化算法來調(diào)整其截面尺寸，以最小化結構的重量，同時確保其最大應力不超過材料的許用應力。2.3.2.1示例代碼importnumpyasnp

defstress(x):

#計算梁的最大應力

returnx[0]**2/x[1]

defweight(x):

#計算梁的重量

returnx[0]*x[1]

defoptimize_beam(start,learning_rate,num_iterations,max_stress):

x=start

foriinrange(num_iterations):

current_stress=stress(x)

ifcurrent_stress>max_stress:

x[0]-=learning_rate*(current_stress-max_stress)

else:

x[1]-=learning_rate*(weight(x)-min_weight)

print(f"Iteration{i}:x={x},weight={weight(x)},stress={current_stress}")

returnx

#設計變量的初始值

x0=np.array([1.0,1.0])

#學習率

lr=0.01

#迭代次數(shù)

iterations=100

#材料的許用應力

max_stress=100

#運行優(yōu)化算法

optimized_design=optimize_beam(x0,lr,iterations,max_stress)

print(f"Optimizeddesign={optimized_design}")以上代碼示例展示了如何使用梯度下降法來優(yōu)化梁的截面尺寸，以達到最小化重量和控制應力的目標。通過調(diào)整學習率和迭代次數(shù)，可以找到滿足設計要求的最優(yōu)解。3靈敏度分析基礎3.11靈敏度分析概念靈敏度分析是研究系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)性能影響的一種方法。在彈性力學優(yōu)化算法中，靈敏度分析用于評估結構設計參數(shù)（如材料屬性、幾何尺寸）的微小變化如何影響結構的響應（如應力、位移）。這種分析對于理解設計參數(shù)與結構性能之間的關系至關重要，有助于在優(yōu)化過程中確定哪些參數(shù)對性能有顯著影響，從而指導優(yōu)化方向。3.22靈敏度分析在優(yōu)化設計中的作用在優(yōu)化設計中，靈敏度分析的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：指導優(yōu)化搜索：通過識別對目標函數(shù)影響最大的設計變量，優(yōu)化算法可以更高效地搜索最優(yōu)解。參數(shù)優(yōu)化：幫助確定設計參數(shù)的最優(yōu)值，以達到最佳的結構性能。設計驗證：在設計修改后，通過靈敏度分析驗證修改是否有效，以及是否需要進一步調(diào)整。不確定性分析：評估設計參數(shù)的不確定性對結構性能的影響，為設計提供風險評估。3.33靈敏度分析方法分類靈敏度分析方法主要可以分為兩大類：數(shù)值方法和解析方法。數(shù)值方法：包括有限差分法和擾動法，通過在設計變量上施加微小的擾動，計算結構響應的變化，從而得到靈敏度信息。解析方法：如直接微分法和拉格朗日乘子法，通過數(shù)學推導直接計算設計變量對結構響應的導數(shù)，這種方法通常更準確但計算成本較高。3.44直接微分法詳解直接微分法是一種解析方法，用于計算設計變量對結構響應的靈敏度。這種方法直接對結構的平衡方程進行微分，得到關于設計變量的靈敏度方程，然后求解這些方程得到靈敏度信息。3.4.1原理考慮一個彈性結構，其平衡方程可以表示為：K其中，K是剛度矩陣，u是位移向量，F(xiàn)是外力向量。如果設計變量為x，則K和F都可能依賴于x。直接微分法的目標是求解u對x的導數(shù)，即靈敏度。3.4.2步驟微分平衡方程：對平衡方程進行微分，得到關于x的靈敏度方程。?求解靈敏度方程：將已知的K、u和F代入，求解?u3.4.3代碼示例假設我們有一個簡單的彈簧系統(tǒng)，其剛度K依賴于設計變量x，我們使用Python來計算位移u對x的靈敏度。importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

defK(x):

returnnp.array([[x,0],[0,1]])

defF():

returnnp.array([10,5])

#定義設計變量x和位移u

x=5

u=np.linalg.solve(K(x),F())

#計算K和F關于x的導數(shù)

defdK_dx(x):

returnnp.array([[1,0],[0,0]])

defdF_dx():

returnnp.array([0,0])

#求解靈敏度方程

delta_u=np.linalg.solve(K(x),dF_dx()-dK_dx(x)@u)

print("位移u:",u)

print("位移u對x的靈敏度delta_u:",delta_u)3.4.4解釋在這個例子中，我們首先定義了剛度矩陣K和外力向量F，其中K依賴于設計變量x。然后，我們計算了x=5時的位移u。接下來，我們定義了K和F關于x的導數(shù)，即dK/dx和dF/dx直接微分法雖然計算成本較高，但能提供更準確的靈敏度信息，對于復雜的彈性力學優(yōu)化問題，這種方法是不可或缺的。4靈敏度分析在彈性力學中的應用4.11彈性結構的靈敏度分析4.1.1原理在彈性力學中，靈敏度分析主要用于研究結構響應（如位移、應力等）對設計變量（如材料屬性、幾何尺寸等）變化的敏感程度。這種分析對于優(yōu)化設計至關重要，因為它可以幫助工程師理解哪些參數(shù)的微小變化會導致結構性能的顯著變化，從而在設計過程中做出更明智的決策。4.1.2內(nèi)容靈敏度分析通常涉及以下步驟：建立彈性結構模型：使用有限元方法或其他數(shù)值技術建立結構的數(shù)學模型。定義設計變量：確定哪些參數(shù)（如材料的彈性模量、泊松比、幾何尺寸等）將作為設計變量進行分析。計算響應：在給定的設計變量下，計算結構的響應。計算靈敏度：使用數(shù)值或解析方法計算響應對設計變量的導數(shù)，即靈敏度。4.1.3示例假設我們有一個簡單的梁結構，其長度為L，截面寬度為b，高度為h，材料的彈性模量為E。我們想要分析梁的最大位移對截面寬度b的靈敏度。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportapprox_fprime

#定義梁的參數(shù)

L=1.0#梁的長度

b=0.1#截面寬度

h=0.1#截面高度

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

F=1000#施加的力，單位：N

#定義計算最大位移的函數(shù)

defmax_deflection(b):

I=b*h**3/12#截面慣性矩

k=F*L**3/(3*E*I)#剛度系數(shù)

returnk#返回最大位移

#使用數(shù)值方法計算靈敏度

b0=0.1#初始截面寬度

sensitivity=approx_fprime([b0],max_deflection,1e-6)

print(f"最大位移對截面寬度的靈敏度為:{sensitivity[0]}")在這個例子中，我們使用了scipy.optimize.approx_fprime函數(shù)來數(shù)值計算最大位移對截面寬度的靈敏度。通過改變設計變量b，我們可以觀察到結構響應的變化，從而進行優(yōu)化設計。4.22靈敏度分析與材料屬性4.2.1原理材料屬性，如彈性模量和泊松比，對彈性結構的性能有直接影響。靈敏度分析可以幫助我們理解這些屬性的微小變化如何影響結構的應力、應變和位移等響應。4.2.2內(nèi)容在進行材料屬性的靈敏度分析時，關鍵點包括：材料屬性的定義：確保材料屬性的準確性和適用性。響應的計算：在不同的材料屬性下，使用有限元分析計算結構的響應。靈敏度計算：通過響應對材料屬性的導數(shù)來量化靈敏度。4.2.3示例考慮一個由兩種不同材料組成的復合梁，我們想要分析梁的最大應力對材料A的彈性模量E_A的靈敏度。importnumpyasnp

#定義復合梁的參數(shù)

L=1.0

b=0.1

h=0.1

E_A=200e9#材料A的彈性模量

E_B=100e9#材料B的彈性模量

F=1000

#定義計算最大應力的函數(shù)

defmax_stress(E_A):

I=b*h**3/12#截面慣性矩

#假設應力分布均勻，最大應力發(fā)生在梁的底部

max_stress=F*h/(2*b*I)*E_A/(E_A+E_B)

returnmax_stress

#使用數(shù)值方法計算靈敏度

E_A0=200e9#初始彈性模量

sensitivity=approx_fprime([E_A0],max_stress,1e-6)

print(f"最大應力對材料A彈性模量的靈敏度為:{sensitivity[0]}")在這個例子中，我們定義了一個復合梁，并計算了最大應力對材料A彈性模量的靈敏度。通過調(diào)整E_A，我們可以觀察到最大應力的變化，從而優(yōu)化材料的選擇。4.33靈敏度分析與幾何參數(shù)4.3.1原理幾何參數(shù)，如結構的尺寸和形狀，對結構的力學性能有顯著影響。靈敏度分析可以揭示這些參數(shù)如何影響結構的響應，從而指導設計優(yōu)化。4.3.2內(nèi)容進行幾何參數(shù)的靈敏度分析時，應考慮：幾何參數(shù)的定義：明確哪些幾何尺寸將作為設計變量。響應的計算：在不同的幾何參數(shù)下，使用有限元分析計算結構的響應。靈敏度計算：通過響應對幾何參數(shù)的導數(shù)來量化靈敏度。4.3.3示例假設我們有一個圓柱形壓力容器，我們想要分析容器的最大應力對容器壁厚t的靈敏度。importnumpyasnp

#定義壓力容器的參數(shù)

r=0.5#內(nèi)半徑

t=0.01#壁厚

P=100e5#內(nèi)部壓力

#定義計算最大應力的函數(shù)

defmax_stress(t):

#最大應力發(fā)生在內(nèi)壁，公式為：σ_max=P*r/t

max_stress=P*r/t

returnmax_stress

#使用數(shù)值方法計算靈敏度

t0=0.01#初始壁厚

sensitivity=approx_fprime([t0],max_stress,1e-6)

print(f"最大應力對容器壁厚的靈敏度為:{sensitivity[0]}")在這個例子中，我們定義了一個圓柱形壓力容器，并計算了最大應力對容器壁厚的靈敏度。通過調(diào)整t，我們可以觀察到最大應力的變化，從而優(yōu)化容器的設計。通過這些例子，我們可以看到，靈敏度分析在彈性力學優(yōu)化設計中扮演著關鍵角色，它幫助我們理解設計變量如何影響結構的性能，從而做出更優(yōu)的設計決策。5案例研究與實踐5.11實例分析：橋梁結構優(yōu)化在橋梁結構優(yōu)化中，靈敏度分析是關鍵步驟，用于評估設計參數(shù)變化對結構性能的影響。例如，考慮一座簡支梁橋，其設計參數(shù)包括梁的截面尺寸、材料屬性和支撐位置。優(yōu)化目標可能是最小化結構的重量，同時確保其滿足安全性和穩(wěn)定性的要求。5.1.1設計參數(shù)與目標函數(shù)設計參數(shù)：梁的寬度w和高度h，材料的彈性模量E。目標函數(shù)：橋梁的總重量W，可表示為W=ρ?A?L，其中5.1.2靈敏度分析靈敏度分析通過計算目標函數(shù)對設計參數(shù)的偏導數(shù)來實現(xiàn)，這有助于理解參數(shù)變化如何影響結構的性能。例如，對于橋梁的總重量W，我們計算其對寬度w和高度h的靈敏度：?5.1.3優(yōu)化策略基于靈敏度分析的結果，可以調(diào)整設計參數(shù)以優(yōu)化橋梁結構。例如，如果發(fā)現(xiàn)寬度w的靈敏度遠高于高度h，則可能優(yōu)先調(diào)整寬度以實現(xiàn)更顯著的重量減少。5.22實踐操作：使用有限元軟件進行靈敏度分析有限元軟件如ANSYS、ABAQUS或NASTRAN，提供了強大的工具來執(zhí)行靈敏度分析。以下是一個使用Python和FEniCS（一個開源有限元軟件包）進行橋梁結構優(yōu)化的示例。5.2.1Python代碼示例fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(8,8)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義設計參數(shù)

E=Constant(1e3)#彈性模量

rho=Constant(1)#材料密度

w=Constant(0.1)#寬度

h=Constant(0.1)#高度

L=1.0#長度

#定義目標函數(shù)（總重量）

W=rho*w*h*L

#定義靈敏度分析的偏導數(shù)

dW_dw=derivative(W,w)

dW_dh=derivative(W,h)

#執(zhí)行優(yōu)化（此處簡化，實際優(yōu)化可能涉及迭代過程）

w_new=w-0.1*dW_dw

h_new=h-0.1*dW_dh

#更新設計參數(shù)

w.assign(w_new)

h.assign(h_new)

#輸出優(yōu)化后的參數(shù)

print("Optimizedwidth:",w.vector().get_local()[0])

print("Optimizedheight:",h.vector().get_local()[0])5.2.2代碼解釋網(wǎng)格和函數(shù)空間：創(chuàng)建一個單位正方形網(wǎng)格，并定義一個線性有限元函數(shù)空間。邊界條件：定義所有邊界上的位移為0。設計參數(shù)：初始化彈性模量、材料密度、寬度、高度和長度。目標函數(shù)：計算橋梁的總重量。靈敏度分析：使用FEniCS的derivative函數(shù)計算目標函數(shù)對寬度和高度的偏導數(shù)。優(yōu)化策略：通過簡單的梯度下降方法調(diào)整寬度和高度。更新參數(shù)：將優(yōu)化后的寬度和高度賦值給原參數(shù)。輸出結果：打印優(yōu)化后的寬度和高度。5.33結果解讀與優(yōu)化策略調(diào)整5.3.1結果解讀在上述示例中，優(yōu)化后的寬度和高度將顯示為更新后的數(shù)值。這些數(shù)值反映了在給定的優(yōu)化策略下，設計參數(shù)如何變化以減少橋梁的總重量。5.3.2優(yōu)化策略調(diào)整步長調(diào)整：在梯度下降中，步長（0.1）的選擇至關重要。過大的步長可能導致優(yōu)化過程跳過最優(yōu)解，而過小的步長則會減慢收斂速度。多參數(shù)優(yōu)化：在實際應用中，可能需要同時優(yōu)化多個參數(shù)。這要求更復雜的優(yōu)化算法，如共軛梯度法或牛頓法。約束條件：橋梁設計可能受到安全性和穩(wěn)定性的約束。在優(yōu)化過程中，必須確保設計參數(shù)的變化不會違反這些約束。5.3.3進一步的實踐建議迭代優(yōu)化：靈敏度分析通常作為迭代優(yōu)化過程的一部分，需要多次調(diào)整參數(shù)并重新分析，直到達到最優(yōu)解。軟件選擇：根據(jù)項目規(guī)模和復雜性，選擇合適的有限元軟件。對于大型項目，商業(yè)軟件如ANSYS或ABAQUS可能提供更高級的功能和更好的技術支持。驗證與確認：優(yōu)化結果應通過實驗或更詳細的分析進行驗證，確保優(yōu)化后的設計在實際應用中可行且安全。通過上述案例研究與實踐操作，可以深入理解如何在彈性力學優(yōu)化算法中應用靈敏度分析，以及如何根據(jù)分析結果調(diào)整優(yōu)化策略，以實現(xiàn)更高效、更安全的結構設計。6總結與展望6.11靈敏度分析在彈性力學優(yōu)化中的重要性在彈性力學優(yōu)化領域，靈敏度分析扮演著至關重要的角色。它不僅幫助工程師理解設計參數(shù)對結構性能的影響，還為優(yōu)化算法提供了關鍵的梯度信息，從而加速了優(yōu)化過程。靈敏度分析的核心在于計算設計變量（如材料屬性、幾何尺寸等）對目標函數(shù)（如結構的重量、應力、位移等）的偏導數(shù)。這些偏導數(shù)反映了設計變量微小變化對目標函數(shù)的影響程度，是優(yōu)化算法迭代更新設計變量的基礎。6.1