蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.3探索三角形全等的條件(SSS與SAS)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.3探索三角形全等的條件（SSS與SAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——邊邊邊（SSS）（1）基本事實(shí)：三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）書寫強(qiáng)調(diào)：在書寫兩個(gè)三角形全等時(shí)的條件“邊角邊”時(shí)，要按照邊角邊的順序來書寫，即要把夾角寫在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等；在列舉三角形全等時(shí)，一般把同一個(gè)三角形的三個(gè)條件放在等號(hào)的同一側(cè)，并用大括號(hào)將其括起來【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——邊角邊（SAS）（1）基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】找等角和等邊常用途徑（1）找等角的常用途徑：①公共角相等；②對(duì)頂角相等；③等角加（減）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（補(bǔ)）角相等；⑤平行線的性質(zhì)得到相相等等.（2）找等角的常用途徑：①公共邊相等；②對(duì)頂角相等；③等邊加（減）等邊，其和（差）相等；④由中線得到的線段相等等等.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用SSS證明三角形全等【例1】（23-24八年級(jí)上·北京昌平·期末）已知：如圖，，是線段上兩點(diǎn)，，，．求證：．【變式1】如圖，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上兩點(diǎn)，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，則∠BCF的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【變式2】已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點(diǎn)，那么圖中共有對(duì)全等三角形．【題型2】用SSS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（21-22七年級(jí)下·寧夏中衛(wèi)·期末）如圖所示，，，，是上兩點(diǎn)，且．（1）試說明；（2）請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在和中，點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一條直線上，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在的上方有一點(diǎn)，連接，，，，，則的度數(shù)為．【題型3】用SAS證明三角形全等【例3】如圖，在中，D為上一點(diǎn)，E為中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)F，使得，連．（1）求證：；（2）若，連接，平分，平分，求的度數(shù)．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是平分線上的一點(diǎn)，，，，則的長不可能是（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據(jù)“”得到．【題型4】用SAS證明三角形全等與三角形性質(zhì)綜合【例4】（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）已知：平分，為中點(diǎn)，，求證：．證明：延長至點(diǎn)，使，連接，為中點(diǎn)，（______）在和中，（______）______，，（______），平分（______）（______），．【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，把兩個(gè)角的直角三角板放在一起，點(diǎn)B在上，A、C、D三點(diǎn)在一條直線上，連接延長線交于點(diǎn)F．若，則的面積為（）A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）和的位置如圖所示，交于點(diǎn)F，，，，，則的度數(shù)為°．

【題型5】通過用SSS和SAS證明三角形全等進(jìn)行求值【例5】（23-24七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）綜合與探究【操作探索】在生活中，我們常用實(shí)物體驗(yàn)圖形變換的過程．小穎同學(xué)利用一塊風(fēng)箏紙片完成了如下的操作：如圖1，已知四邊形，，．（1）操作一：沿所在的直線對(duì)折，如圖1．你認(rèn)為左右兩側(cè)對(duì)折后能完全重合嗎？并說明理由；（2）操作二：對(duì)折后，將風(fēng)箏紙片剪成兩個(gè)三角形（和），擺成如圖2所示的圖形，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．試說明．【應(yīng)用拓展】（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在線段上，，，若的面積為24，求與的面積之和．

【變式1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式2】（22-23八年級(jí)上·陜西寶雞·期末）如圖，是外一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，，，，則的度數(shù)為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．【例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知E、C是線段上兩點(diǎn)，滿足，A，D為線段上方兩點(diǎn)，連接，滿足．（1）求證：；（2）若五邊形的面積為10，的面積為4，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積：________．【例2】（23-24八年級(jí)上·四川廣元·期末）如圖①，連接和的頂點(diǎn)A、B和C、D交于點(diǎn)P，和交于點(diǎn)E，其中，，．（1）求證：；（2）在（1）的條件下，如圖②，若A，O，D三點(diǎn)在同一條直線上，求證：專題1.3探索三角形全等的條件（SSS與SAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——邊邊邊（SSS）（1）基本事實(shí)：三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）書寫強(qiáng)調(diào)：在書寫兩個(gè)三角形全等時(shí)的條件“邊角邊”時(shí)，要按照邊角邊的順序來書寫，即要把夾角寫在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等；在列舉三角形全等時(shí)，一般把同一個(gè)三角形的三個(gè)條件放在等號(hào)的同一側(cè)，并用大括號(hào)將其括起來【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——邊角邊（SAS）（1）基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.（2）書寫格式：如圖，在△ABC和△中，（3）重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】找等角和等邊常用途徑（1）找等角的常用途徑：①公共角相等；②對(duì)頂角相等；③等角加（減）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（補(bǔ)）角相等；⑤平行線的性質(zhì)得到相相等等.（2）找等角的常用途徑：①公共邊相等；②對(duì)頂角相等；③等邊加（減）等邊，其和（差）相等；④由中線得到的線段相等等等.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用SSS證明三角形全等【例1】（23-24八年級(jí)上·北京昌平·期末）已知：如圖，，是線段上兩點(diǎn)，，，．求證：．【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五種判定方法是解題關(guān)鍵．利用“”證明即可．證明：，，.在和中，，．【變式1】如圖，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上兩點(diǎn)，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，則∠BCF的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】由SSS證明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性質(zhì)得∠DAE＝∠AEB?∠ADB＝70°．解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF=DE又∵AD＝BC，AE＝CF．∴△AED≌△CFB（SSS），∴∠BCF＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEB?∠ADB＝100°-30°=70°∴∠BCF＝70°．故選C．【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和等知識(shí)．【變式2】已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點(diǎn)，那么圖中共有對(duì)全等三角形．【答案】3【分析】由已知條件，結(jié)合圖形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3對(duì)．找尋時(shí)要由易到難，逐個(gè)驗(yàn)證．解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB；∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．∴圖中共有3對(duì)全等三角形．故答案為3．【題型2】用SSS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（21-22七年級(jí)下·寧夏中衛(wèi)·期末）如圖所示，，，，是上兩點(diǎn)，且．（1）試說明；（2）請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，然后結(jié)合已知條件即可證明；（2）根據(jù)，得出，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得證．（1）證明：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）證明：，理由如下，∵，∴，∴．【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在和中，點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一條直線上，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)：根據(jù)題意可得，再證明，可得，進(jìn)而即可求解解：∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在的上方有一點(diǎn)，連接，，，，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意直接證明，即可得出，即可求解．解：在中，，∴，又，∴，故答案為：．【題型3】用SAS證明三角形全等【例3】如圖，在中，D為上一點(diǎn)，E為中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)F，使得，連．（1）求證：；（2）若，連接，平分，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．（1）證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)（1）求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．（1）證明：∵E為中點(diǎn)，∴，∵在和中，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是平分線上的一點(diǎn)，，，，則的長不可能是（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】在上取，然后證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊即可求解.在上截取連接,

，，∵點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn)，，在和中,，，，，解得故選A.【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系；通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件，可以根據(jù)“”得到．【答案】【分析】此題考查了添加條件證明兩個(gè)三角形全等，正確掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等推出，結(jié)合已知條件，若根據(jù)“”得到，則應(yīng)添加的條件為．解：∵，∴，若，則在和中∴，故答案為：．【題型4】用SAS證明三角形全等與三角形性質(zhì)綜合【例4】（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）已知：平分，為中點(diǎn)，，求證：．證明：延長至點(diǎn)，使，連接，為中點(diǎn)，（______）在和中，（______）______，，（______），平分（______）（______），．【答案】線段中點(diǎn)的定義，，，兩直線平行，同位角相等，角平分線的定義，等量代換【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，延長至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．證明：延長至點(diǎn)，使，連接，為中點(diǎn)，（線段中點(diǎn)的定義），在和中，，，，，（兩直線平行，同位角相等），，平分（角平分線的定義），（等量代換），，．故答案為：線段中點(diǎn)的定義，，，兩直線平行，同位角相等，角平分線的定義，等量代換．【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，把兩個(gè)角的直角三角板放在一起，點(diǎn)B在上，A、C、D三點(diǎn)在一條直線上，連接延長線交于點(diǎn)F．若，則的面積為（）A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先通過和都是等腰直角三角形，得出再證明，結(jié)合面積公式代入數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．解：∵和都是等腰直角三角形，，∴在和中，，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）和的位置如圖所示，交于點(diǎn)F，，，，，則的度數(shù)為°．

【答案】30【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．由三角形內(nèi)角和定理可得，由可證，可得，由三角形的外角性質(zhì)可求．解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：30．【題型5】通過用SSS和SAS證明三角形全等進(jìn)行求值【例5】（23-24七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）綜合與探究【操作探索】在生活中，我們常用實(shí)物體驗(yàn)圖形變換的過程．小穎同學(xué)利用一塊風(fēng)箏紙片完成了如下的操作：如圖1，已知四邊形，，．（1）操作一：沿所在的直線對(duì)折，如圖1．你認(rèn)為左右兩側(cè)對(duì)折后能完全重合嗎？并說明理由；（2）操作二：對(duì)折后，將風(fēng)箏紙片剪成兩個(gè)三角形（和），擺成如圖2所示的圖形，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．試說明．【應(yīng)用拓展】（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在線段上，，，若的面積為24，求與的面積之和．

【答案】（1）能完全重合，理由見解析；（2）證明見解析；（3）6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）通過三邊分別相等得出，即可作答．（2）同理得出，得出，，再結(jié)合，證明，即可作答．（3）因?yàn)橐约敖堑倪\(yùn)算得出，再證明，則，因?yàn)?，得出，即可作答．解：?）能完全重合．理由：在與中，，∴，∴對(duì)折后能完全重合．（2）同理得出，∴，，∴，∴．在和中，，∴，∴．（3）∵，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．【變式1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，，若連接、相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【分析】本題考查三角形全等的判定方法，首先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再證明，．解題的關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．解：在和中，，，，在和中，，在和中，，綜上，圖中全等三角形共有3對(duì)，故選：C．【變式2】（22-23八年級(jí)上·陜西寶雞·期末）如圖，是外一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，，，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，證明，可得，再證明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．