備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題（新高考專用）專題12 概率（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）含答案

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題（新高考專用）專題12概率（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）含答案專題12概率易錯(cuò)點(diǎn)一：互斥與對(duì)立混淆致誤（隨機(jī)事件的概率）Ⅰ：首先明確什么是隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．隨機(jī)試驗(yàn)的要求：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．Ⅱ：隨機(jī)事件的前提樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．Ⅲ：兩類事件：隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件的確定事件．注意：事件的運(yùn)算可以用韋恩圖可以破解Ⅳ：互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系（重點(diǎn)）①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．Ⅴ：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三，兩個(gè)事件互斥是在試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定的．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想例、判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都是從1~10）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．變式1．從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（

）A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”變式2．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，，分別為A，B的對(duì)立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨(dú)立；③若，，且，則A，B相互獨(dú)立；④若，，且，則A，B相互獨(dú)立．其中所有真命題的序號(hào)為（

）A．① B．② C．①②③ D．②③④變式3．（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D1．某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)項(xiàng)目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個(gè)階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對(duì)一進(jìn)行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對(duì)二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過(guò)7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．2．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，則3．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥4．已知為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件：“甲分配到學(xué)?！?；事件：“乙分配到學(xué)?！保瑒t（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨(dú)立 D．6．為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國(guó)女子國(guó)家足球隊(duì)在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績(jī)每每給國(guó)人帶來(lái)拼搏奮進(jìn)的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊(duì)平均分成，，三個(gè)小組．(1)求甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率；(2)求甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率．8．某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.9．甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒(méi)有平局）.(1)求；(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問(wèn)按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球?易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.（3）概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：在解決古典概型問(wèn)題時(shí)要分清事件與基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個(gè)事件可能包含幾個(gè)基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).例、設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球．（1）求這2只球都是白球的概率；（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．變式1：袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．變式2：一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè)．若從中任取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_(kāi)____________；若從中任取2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_(kāi)____________．變式3：已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為，和）、兩個(gè)紅球（記為和），從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩球．(1)用集合的形式寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．1．某學(xué)校舉辦作文比賽，共5個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．2．書(shū)籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學(xué)書(shū)”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為（

）A． B． C． D．3．“二十四節(jié)氣”是我國(guó)上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關(guān)，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，通過(guò)觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲（年）中時(shí)候（時(shí)令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識(shí)體系．“二十四節(jié)氣”對(duì)今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導(dǎo)意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現(xiàn)從“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的概率為（

）A． B． C． D．4．某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書(shū)閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書(shū)不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書(shū)不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書(shū)低于8本且不低于6本，1名讀書(shū)不低于8本的概率為（

）A． B． C． D．5．某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子，若每胎只有一個(gè)孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個(gè)孩子中有男有女”，則（

）A． B． C． D．6．某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A． B． C． D．7．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來(lái)臨之前，推出了集“?？ā钡锚?jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)，其中“?？ā庇?種，分別是“福到”“財(cái)?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\(yùn)到”．規(guī)則如下：①通過(guò)登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎(jiǎng)次數(shù)；②每次抽獎(jiǎng)可獲得一張“?？ā保虎?種“?？ā笔窍到y(tǒng)隨機(jī)分配的；④用戶集齊5種“福卡”后，便可獲得提供的獎(jiǎng)勵(lì)；⑤集齊5種“福卡”后，用戶不再抽獎(jiǎng)，活動(dòng)結(jié)束；⑥用完所有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，活動(dòng)結(jié)束．現(xiàn)在甲參加了集“?？ā钡锚?jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)．(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“福卡”，還有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(2)已知甲已經(jīng)集了其中的3種“?？ā?，還有4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記活動(dòng)結(jié)束時(shí)，甲使用的抽獎(jiǎng)次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．9．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子100m決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這三位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽100m成績(jī)（單位：秒），若比賽成績(jī)小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率；(2)設(shè)這三位運(yùn)動(dòng)員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望.10．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙兩位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這兩位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽成績(jī)（單位：秒），若比賽成績(jī)小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成績(jī)的中位數(shù)與平均數(shù)（平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù)）；(2)從乙的5次成績(jī)中任選3次，求恰有2次成績(jī)“破十”的概率.易錯(cuò)點(diǎn)三：條件概率應(yīng)用錯(cuò)誤（條件概率）Ⅰ：條件概率一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒(méi)有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．Ⅱ：相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．Ⅲ：全概率公式全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且易錯(cuò)提醒：條件概率：設(shè)A，B是條件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，，則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率，記作，，其中表示事件A與事件B同時(shí)發(fā)生構(gòu)造的事件．要注意概率與的區(qū)別：（1）在中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在中，事件A，B同時(shí)發(fā)生．（2）樣本空間不同，在中，事件B成為樣本空間；在中，樣本空間仍為，因而有．例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個(gè)男孩的概率．變式1：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45變式2：設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問(wèn)已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？變式3：有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取1粒，求這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率．1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．3．甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（

）A． B． C． D．4．2023年3月13日第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會(huì)”精神，舉辦“學(xué)兩會(huì)，知國(guó)事”知識(shí)競(jìng)賽．高二學(xué)生代表隊(duì)由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生B也被抽到的概率為（

）．A． B． C． D．5．設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．6．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，則7．多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.(1)寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.8．從今年起，我國(guó)將于每年5月第四周開(kāi)展“全國(guó)城市生活垃圾分類宣傳周”活動(dòng)，首屆全國(guó)城市生活垃圾分類宣傳周時(shí)間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時(shí)尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識(shí)比賽.要求每個(gè)家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測(cè)試A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目相互不受影響.(1)若某居民甲在測(cè)試過(guò)程中，第一項(xiàng)測(cè)試是等可能的從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)測(cè)試，且他測(cè)試三個(gè)項(xiàng)目“通過(guò)”的概率分別為.已知他第一項(xiàng)測(cè)試“通過(guò)”，求他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率；(2)現(xiàn)規(guī)定：三個(gè)項(xiàng)目全部通過(guò)獲得一等獎(jiǎng)，只通過(guò)兩項(xiàng)獲得二等獎(jiǎng)，只通過(guò)一項(xiàng)獲得三等獎(jiǎng)，三項(xiàng)都沒(méi)有通過(guò)不獲獎(jiǎng).已知居民乙選擇的順序參加測(cè)試，且他前兩項(xiàng)通過(guò)的概率均為，第三項(xiàng)通過(guò)的概率為.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，求他獲得二等獎(jiǎng)的概率的最小值.9．抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中3雙是一次性筷子，2雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙（2只都為一次性筷子或都為非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放入抽屜中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.10．從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.①直接寫(xiě)出，，的值；②求與的關(guān)系式，并求出.

專題12概率易錯(cuò)點(diǎn)一：互斥與對(duì)立混淆致誤（隨機(jī)事件的概率）Ⅰ：首先明確什么是隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．隨機(jī)試驗(yàn)的要求：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．Ⅱ：隨機(jī)事件的前提樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．Ⅲ：兩類事件：隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件的確定事件．注意：事件的運(yùn)算可以用韋恩圖可以破解Ⅳ：互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系（重點(diǎn)）①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．Ⅴ：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三，兩個(gè)事件互斥是在試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定的．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想例、判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都是從1~10）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．解析：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件．（2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時(shí)發(fā)生的，但其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)閾淇伺撇皇羌t色就是黑色，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．（3）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽的點(diǎn)數(shù)為10．因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．變式1．從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（

）A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”解：從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，可能有個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，即“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包含于“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”，故A錯(cuò)誤；“恰有一個(gè)是奇數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“恰有一個(gè)是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；同理可得“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對(duì)立事件，故C正確；故選：C變式2．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，，分別為A，B的對(duì)立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨(dú)立；③若，，且，則A，B相互獨(dú)立；④若，，且，則A，B相互獨(dú)立．其中所有真命題的序號(hào)為（

）A．① B．② C．①②③ D．②③④【詳解】對(duì)于①，因?yàn)锳，B為互斥事件，且，，所以，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?所以，所以A，B相互獨(dú)立，所以②正確，對(duì)于③，因?yàn)?，，所以，，所以，所以相互?dú)立，所以A，B相互獨(dú)立，所以③正確，對(duì)于④，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以A，B不相互獨(dú)立，所以④錯(cuò)誤，故選：C變式3．（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒(méi)擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.1．某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)項(xiàng)目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個(gè)階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對(duì)一進(jìn)行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對(duì)二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過(guò)7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的概率，最后各種情況概率相加即可求解.【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)，分類討論如下：（1）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率．（2）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率．（3）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率．（4）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率．所以所求概率，故A項(xiàng)正確.故選：A.2．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】對(duì)于A，由得；對(duì)于B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和條件概率的計(jì)算公式即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件概率以及全概率公式即可判斷．【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋裕x項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：若，則A，B互斥，由，得，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由得事件A，B相互獨(dú)立，所以事件也相互獨(dú)立，所以，則，選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：由，得，，所以，解得，選項(xiàng)D正確．故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：條件概率中復(fù)雜事件的求解，可以靈活運(yùn)用條件概率的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件或?qū)α⒌氖录母怕是蠼猓僖阎录嗀，B，C，如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則；②已知事件A，B，則；③事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有．3．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥【答案】BD【分析】根據(jù)已知得出，然后即可根據(jù)概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)已知，即可計(jì)算，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.故選：BD.4．已知為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)及事件的運(yùn)算關(guān)系，結(jié)合獨(dú)立事件、條件概率公式判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】?jī)H當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，成立，故A不正確；當(dāng)和是兩個(gè)互斥事件時(shí)才成立，故B不正確；，故C正確；，故D不正確．故選：ABD5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件：“甲分配到學(xué)?！?；事件：“乙分配到學(xué)校”，則（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨(dú)立 D．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AC；利用古典概率計(jì)算判斷B；計(jì)算條件概率判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，甲分配到學(xué)校的事件與乙分配到學(xué)校的事件可以同時(shí)發(fā)生，即事件與不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲分配到，，三個(gè)學(xué)校是等可能的，則，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，，顯然，因此事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)BC知，，D正確.故選：BD6．為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）根據(jù)題設(shè)確定的可能取值并確定對(duì)應(yīng)概率，即可寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望.【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則的取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國(guó)女子國(guó)家足球隊(duì)在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績(jī)每每給國(guó)人帶來(lái)拼搏奮進(jìn)的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊(duì)平均分成，，三個(gè)小組．(1)求甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率；(2)求甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）古典概型求事件概率，將所有基本事件均列出，然后將符合題意的基本事件列出，即可求符合題意的事件的概率；（2）可以直接求符合題意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，間接求符合題意的事件概率.【詳解】（1）當(dāng)甲球隊(duì)分到A組時(shí)，乙、丙兩支球隊(duì)分到的小組有，，，，，，，，共9種情況．同理，當(dāng)甲球隊(duì)分到B組或C組時(shí)，乙、丙兩支球隊(duì)分到的小組也分別有9種情況，故甲、乙、丙三支球隊(duì)的分組情況共有（種）．又因?yàn)榧?、乙、丙三支球?duì)分到同一小組有，，和共3種情況，所以甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率為．（2）方法一

當(dāng)甲、乙兩支球隊(duì)都分到A組而丙球隊(duì)分到B組或C組時(shí)有2種情況．同理，當(dāng)甲、乙兩支球隊(duì)都分到B組或C組而丙球隊(duì)不與它們一組時(shí)也分別有2種情況．故甲、乙兩支球隊(duì)同組，而丙球隊(duì)不與它們一組的概率為．同理，甲、丙兩支球隊(duì)同組，而乙球隊(duì)不與它們一組的概率也為，乙、丙兩支球隊(duì)同組，而甲球隊(duì)不與它們一組的概率也為．又因?yàn)樯鲜鋈N情況互斥，所以甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率為．方法二

甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的對(duì)立事件是甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組和甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到同一小組．甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組的情況有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種，所以甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組的概率為．所以甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率為．8．某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為元.【分析】（1）利用獨(dú)立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；（2）首先確定可能，應(yīng)用乘法公式、加法公式求對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望即可.【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零，選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率.（2）由題意，，且，，，，X的分布列如下：0100030006000元.9．甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；（2）分析比賽情況，根據(jù)和事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局只需討論前兩局的勝負(fù)情況，可分為：甲勝乙、丙勝甲；乙勝甲，丙勝乙.設(shè)甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨(dú)立，設(shè)比賽完3局時(shí)，甲、乙、丙各旁觀1局為事件，則，則，所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.（2）設(shè)甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，設(shè)比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則，，，，，，所以.所以，已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為.10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒(méi)有平局）.(1)求；(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問(wèn)按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球?【答案】(1)(2)甲組應(yīng)獲得21個(gè)籃球，乙獲得7個(gè)籃球比較合理.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式列式計(jì)算即可；（2）先求出在甲第一局獲勝的情況下，甲輸?shù)舯荣惖氖录怕?，即可求?【詳解】（1）令事件：甲組在第局獲勝，.甲組勝的概率為：，所以，解得.（2）由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸?shù)舯荣愂录椋杭捉M接下來(lái)的比賽中連輸兩場(chǎng)，所以在甲第一局獲勝的前提下，最終輸?shù)舯荣惖母怕?，即甲獲勝的概率為，故甲組、乙組應(yīng)按照3：1的比例來(lái)分配比賽獎(jiǎng)品，即甲組應(yīng)獲得21個(gè)籃球，乙組獲得7個(gè)籃球比較合理.易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.（3）概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：在解決古典概型問(wèn)題時(shí)要分清事件與基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個(gè)事件可能包含幾個(gè)基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).例、設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球．（1）求這2只球都是白球的概率；（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．解：我們不妨把4只白球標(biāo)以1，2，3，4號(hào)，2只黑球標(biāo)以5，6號(hào)，則基本事件有，，…，，，，…，，…，，，…，，共30個(gè)．（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則共12個(gè)．所以．（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則共16個(gè)，所以．變式1：袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．解：由題意．故選B．變式2：一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè)．若從中任取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_(kāi)____________；若從中任取2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_(kāi)____________．解：連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率，由題意，的可能值為，則，，，所以.故答案為：，.變式3：已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為，和）、兩個(gè)紅球（記為和），從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩球．(1)用集合的形式寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．解：(1)試驗(yàn)的樣本空間；(2)設(shè)事件“抽到兩個(gè)黑球”，則對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，．因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型．因此．所以抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率為1．某學(xué)校舉辦作文比賽，共5個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出甲、乙隨機(jī)抽取一個(gè)主題的試驗(yàn)含有的基本事件數(shù)，甲、乙抽到不同主題的事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，甲、乙隨機(jī)抽取一個(gè)主題的試驗(yàn)含有的基本事件數(shù)為，甲、乙抽到不同主題的事件含有的基本事件數(shù)為，所以甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為.故選：B2．書(shū)籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學(xué)書(shū)”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題以中外數(shù)學(xué)名著為背景，根據(jù)組合知識(shí)、古典概型的概率求解.【詳解】從七本名著中任選三本的所有情況有（種），至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的情況有（種），所以從這七本名著中任選三本，至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為，．故選：C．3．“二十四節(jié)氣”是我國(guó)上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關(guān)，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，通過(guò)觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲（年）中時(shí)候（時(shí)令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識(shí)體系．“二十四節(jié)氣”對(duì)今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導(dǎo)意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現(xiàn)從“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用組合數(shù)公式，計(jì)算出“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣共有的情況數(shù)及抽取的兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的情況數(shù)，利于古典概型概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】從“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣共有（種）情況，抽取的兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季有（種）情況，所以這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的概率為．故選：．4．某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書(shū)閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書(shū)不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書(shū)不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書(shū)低于8本且不低于6本，1名讀書(shū)不低于8本的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得讀書(shū)本數(shù)對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)，再利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】讀書(shū)低于8本且不低于6本的人數(shù)為，分別記作，不低于8本的人數(shù)為，分別記作，則從中選出2名學(xué)生的基本事件為：，共15件，其中1名讀書(shū)低于8本且不低于6本，1名讀書(shū)不低于8本的基本事件有，共8件，則所求概率為.故選：B.5．某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子，若每胎只有一個(gè)孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個(gè)孩子中有男有女”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】利用對(duì)立事件性質(zhì)和列舉法求解古典概型概率問(wèn)題.【分析】由題意可知，所有不同情況的總數(shù)為，A的對(duì)立事件為“3個(gè)孩子全是男孩或者全是女孩”，有2種情況，故．故選：D．6．某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可列舉出從6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演的所有組合情況，再挑選出符合題意的情況，利用概率計(jì)算公式即可得其概率為.【詳解】設(shè)初中部的2位主持人分別為，高中部的4位主持人分別為1，2，3，4，則從這6位主持人中隨機(jī)選2位，共有15種不同的選法，分別是，，，，，，，，，，，，，，，選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8種不同的選法，分別是，，故所求概率為，故選：D．7．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率判斷AB，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則基本事件總數(shù)為，，，，，，共36種情形，滿足事件的有，共4種情形，其概率，故A正確；滿足事件的有，共2種情形，其概率，B不正確；滿足事件的有，，，共18種情形，其概率，滿足事件的有共2種情形，所以，則，所以與相互獨(dú)立，C正確；滿足事件的只有一種情形，所以，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，D正確.故選：ACD.8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來(lái)臨之前，推出了集“福卡”得獎(jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)，其中“?？ā庇?種，分別是“福到”“財(cái)?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\(yùn)到”．規(guī)則如下：①通過(guò)登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎(jiǎng)次數(shù)；②每次抽獎(jiǎng)可獲得一張“?？ā?；③5種“?？ā笔窍到y(tǒng)隨機(jī)分配的；④用戶集齊5種“?？ā焙?，便可獲得提供的獎(jiǎng)勵(lì)；⑤集齊5種“?？ā焙?，用戶不再抽獎(jiǎng)，活動(dòng)結(jié)束；⑥用完所有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，活動(dòng)結(jié)束．現(xiàn)在甲參加了集“?？ā钡锚?jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)．(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“?？ā保€有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(2)已知甲已經(jīng)集了其中的3種“?？ā?，還有4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記活動(dòng)結(jié)束時(shí)，甲使用的抽獎(jiǎng)次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)古典概率模型求解即可；（2）由題設(shè)知，的所有可能取值為2，3，4，然后分別求出每種可能的取值，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)”為事件A，則．（2）由題設(shè)知，的所有可能取值為2，3，4，則，，．所以的分布列為234P則．9．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子100m決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這三位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽100m成績(jī)（單位：秒），若比賽成績(jī)小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率；(2)設(shè)這三位運(yùn)動(dòng)員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率分別為(2)【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計(jì)算得解；（2）寫(xiě)出的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)期望公式求解即可.【詳解】（1）甲運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率為，乙運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率為，丙運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率為.（2）的可能取值為，，，，，所以的分布列為0123期望.10．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙兩位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這兩位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽成績(jī)（單位：秒），若比賽成績(jī)小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成績(jī)的中位數(shù)與平均數(shù)（平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù)）；(2)從乙的5次成績(jī)中任選3次，求恰有2次成績(jī)“破十”的概率.【答案】(1)中位數(shù)為，平均數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）列舉法求解即可.【詳解】（1）甲成績(jī)從小到大排列如下:，甲成績(jī)的中位數(shù)為，平均數(shù)為；（2）乙的5次成績(jī)有3次“破十”，記為，有2次沒(méi)“破十”，記為，記恰有2次成績(jī)“破十”為事件，則從乙的5次成績(jī)中任選3次的結(jié)果有：共10種，其中滿足事件的結(jié)果有共6種，，即恰有2次成績(jī)“破十”的概率為.易錯(cuò)點(diǎn)三：條件概率應(yīng)用錯(cuò)誤（條件概率）Ⅰ：條件概率一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒(méi)有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．Ⅱ：相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．Ⅲ：全概率公式全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且易錯(cuò)提醒：條件概率：設(shè)A，B是條件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，，則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率，記作，，其中表示事件A與事件B同時(shí)發(fā)生構(gòu)造的事件．要注意概率與的區(qū)別：（1）在中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在中，事件A，B同時(shí)發(fā)生．（2）樣本空間不同，在中，事件B成為樣本空間；在中，樣本空間仍為，因而有．例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個(gè)男孩的概率．解：此家庭共有3個(gè)孩子，包含基本事件有（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）其中至少有1個(gè)女孩共有7種可能，其中至少有1個(gè)男孩有6種可能，故其概率為．變式1：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45解：試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.變式2：設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問(wèn)已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？解：設(shè)A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則，．而所求的概率為，由于，故．故答案為：.變式3：有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取1粒，求這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率．解：設(shè)事件“種子的發(fā)芽”，事件“幼苗成活”據(jù)題意知，，，故由知，，又由于，故即為這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率．故答案為：0.72.1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)為事件，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)為事件，則，，所以.故選：C.2．湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)是，則，事件含有的基本事件數(shù)為，則,所以.故選：B3．甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用排列組合及計(jì)數(shù)原理，求出和，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，，，所以，故選：B.4．2023年3月13日第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會(huì)”精神，舉辦“學(xué)兩會(huì)，知國(guó)事”知識(shí)競(jìng)賽．高二學(xué)生代表隊(duì)由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生B也被抽到的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出事件，利用條件概率求解公式計(jì)算.【詳解】記事件A：學(xué)生A被抽到，事件B：學(xué)生B被抽到，所以，，所以．故選：B5．設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)