2.2 基本不等式（原卷版）

.2基本不等式知識點(diǎn)一基本不等式的理解【【解題思路】基本不等式的理解(1)不等式成立的條件是a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當(dāng)a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.總結(jié)：一正二定三等【例1-1】（22-23高一上·河南·階段練習(xí)）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．最小值為2 B．最大值為2C．最小值為2 D．最大值為2【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·階段練習(xí)）（多選）下列判斷正確的有（

）A． B．C． D．【變式】1．（22-23·福建龍巖·階段練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值42．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等號可以取到的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）下列各式能用基本不等式直接求得最大（?。┲档氖牵?/p>

）A． B． C． D．知識點(diǎn)二常數(shù)替換型【【解題思路】常數(shù)代換法，常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商．【例2-1】（23-24重慶·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2-3】（23-24高一·重慶·期末）已知均為實(shí)數(shù)且，則的最小值為.【例2-4】（23-24高一·浙江麗水·期末）已知，，則的最小值為.【變式】1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（23-24高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．3．（2024·江蘇揚(yáng)州）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．4．（23-24高一·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是5．（2024北京）若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為6．（23-24高一·浙江紹興·期中）已知，，且，則的最小值為.7．（23-24高一下·山東聊城·階段練習(xí)）若，且，則的最小值為.8．（23-24高一·遼寧·階段練習(xí)）已知，，則的最小值為.知識點(diǎn)三配湊型【【解題思路】拼湊法，拼湊法求解最值，其實(shí)質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗(yàn)證等號成立的條件．【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【例3-2】（22-23高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【例3-3】（22-23高一上·全國·階段練習(xí)）若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式】1．（2023湖南）函數(shù)的最大值為.2．（2023-2024廣東）函數(shù)的最小值為．3．（22-23高一上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．4．（23-24高一上·上海閔行·期中）已知，的最小值為.5．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為．知識點(diǎn)四求參數(shù)的取值范圍【【解題思路】分離參數(shù)法：則常將參數(shù)分離后,利用最值轉(zhuǎn)化法求解分離參數(shù)法分離參數(shù)法【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）對滿足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·開學(xué)考試）（多選）若對于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一上·廣東揭陽·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·上海·期中）對任意滿足的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（23-24高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）（多選）已知，，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．3 D．1知識點(diǎn)五基本不等式解決實(shí)際問題【【解題思路】利用基本不等式解決實(shí)際問題的解題思路解實(shí)際問題時，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．【例5】（23-24高一上·廣東廣州·期末）某食品企業(yè)為了提高其生產(chǎn)的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量噸與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式（為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1噸.已知每一年生產(chǎn)設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1噸食品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，通過市場分析，若將每噸食品售價定為：“每噸食品平均生產(chǎn)成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的該款食品正好能銷售完.(1)求值；(2)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費(fèi)（萬元）的函數(shù)；(3)該食品企業(yè)下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？（注：利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用）【變式】1．（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。鐓^(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是，且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè).現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：工程1：在點(diǎn)處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.記這三項(xiàng)工程的總造價為億元.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)問點(diǎn)在何處時，最小，并求出該最小值.2．（23-24高一上·福建·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸和軸的垂線，垂足分別為．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．重難點(diǎn)一利用基本不等式比較大小【【解題思路】運(yùn)用基本不等式比較大小(1)要靈活運(yùn)用基本不等式，特別注意其變形．(2)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.【例6-1】（22-23高一上·山東青島·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【例6-2】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）（多選）已知，則下列不等式可能成立，也可能不成立的是（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·湖北武漢·期末）（多選）若，且，則（

）A． B．C． D．2．（22-23高一上·湖南衡陽·期中）（多選）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高一上·河南南陽·階段練習(xí)）（多選）已知,則（

）A． B．C． D．4．（22-23高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）若，且，則在四個數(shù)中正確的是（

）A． B．C． D．重難點(diǎn)二利用基本不等式證明不等式【【解題思路】利用基本不等式證明不等式的解題思路(1)從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【變式】1．（22-23高一上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最小值；(2)證明：，2．（23-24高一上·甘肅·期末）已知.(1)求證：；(2)若，求的最小值.3．（23-24高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）對于題目：已知，，且，求最小值．甲同學(xué)的解法：因?yàn)椋?，所以，，從而，所以的最小值為．乙同學(xué)的解法：因?yàn)?，，所以．所以的最小值為．丙同學(xué)的解法：因?yàn)?，，所以?1)請對三位同學(xué)的解法正確性作出評價（需評價同學(xué)錯誤原因）；(2)為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請你解決：（i）已知，，且，求的最小值；（ii）設(shè)，，都是正數(shù)，求證：．4．（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，且．(1)求證：；(2)求證：．單選題1．（2023·重慶）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A． B．2 C．42．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．3．（22-23高一上·北京豐臺·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，的最小值是C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，的最小值為14．（2023春·福建福州）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．5．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．7．（2024·遼寧）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽）已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2多選題9．（23-24高一上·四川眉山·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則B．當(dāng)時，不等式的最小值為3C．不等式恒成立D．存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立10．（22-23高一上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）（多選題）下列各式中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．11．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值 D．有最小值填空題12．（浙江省舟山市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為.13．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知且，則的最小值為.14．（2023·江西南昌·高一期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．解答題15．（23-24高一上·江西宜春·階段練習(xí)）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此時x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．16．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時的值為？（2）函數(shù)的最小值為？（3）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．17．（24-25高一上·上海·假期作業(yè)）（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）求的最小值.18．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)正實(shí)數(shù)，滿足．①求的最小值；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報告指出：我們要推進(jìn)美麗中國建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政