河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底考試試題

PAGE23-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底考試試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）直線xsin

QUOTE

QUOTE的斜率是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知直線QUOTE：QUOTE，QUOTE：QUOTE若QUOTE，則實數(shù)a的值是QUOTEA.0 B.2或QUOTE C.0或QUOTE D.QUOTE若直線QUOTE與圓QUOTE相切，則a的值為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.3 D.QUOTE若圓QUOTE的一條弦AB的中點為QUOTE，則垂直于AB的直徑所在直線的方程為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE過點QUOTE引直線l與曲線QUOTE相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)QUOTE的面積取得最大值時，直線l的斜率等于QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知m，n是兩條不同直線，QUOTE，QUOTE是兩個不同平面，則下列命題正確的是QUOTEA.若QUOTE，QUOTE垂直于同一平面，則QUOTE與QUOTE平行

B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行

C.若QUOTE，QUOTE不平行，則在QUOTE內(nèi)不存在與QUOTE平行的直線

D.若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為QUOTE

A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

某幾何體的三視圖QUOTE單位：QUOTE如圖所示，則該幾何體的體積是QUOTE

A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

QUOTE九章算術(shù)QUOTE是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米QUOTE如圖，米堆為一個圓錐的四分之一QUOTE，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為QUOTE立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有QUOTE

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛已知A，B是球O的球面上兩點，QUOTE，C為該球面上的動點，若三棱錐QUOTE體積的最大值為36，則球O的表面積為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知三棱柱QUOTE的6個頂點都在球O的球面上，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，則球O的半徑為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空題（本大題共3小題，共15.0分）若正三棱柱的全部棱長均為a，且其體積為QUOTE，則QUOTE______．一個六棱錐的體積為QUOTE，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為______．若圓QUOTE與圓QUOTE的公共弦的長為QUOTE，則QUOTE______．三、解答題（本大題共7小題，共75.0分）求經(jīng)過點QUOTE并且和兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是1的直線方程．

已知點QUOTE，圓C：QUOTE，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點．QUOTE求M的軌跡方程；QUOTE當(dāng)QUOTE時，求l的方程及QUOTE的面積．

設(shè)x，y滿意約束條件：QUOTE的可行域為M

QUOTE求QUOTE的最大值與QUOTE的最小值；

QUOTE若存在正實數(shù)a，使函數(shù)QUOTE的圖象經(jīng)過區(qū)域M中的點，求這時a的取值范圍．

如圖，為愛護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形愛護區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；愛護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上隨意一點的距離均不少于80m，經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處QUOTE為河岸QUOTE，QUOTE．

QUOTE求新橋BC的長；

QUOTE當(dāng)OM多長時，圓形愛護區(qū)的面積最大？

如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且QUOTE，

QUOTEⅠQUOTE若D為線段AC的中點，求證；QUOTE平面PDO；

QUOTEⅡQUOTE求三棱錐QUOTE體積的最大值；

QUOTEⅢQUOTE若QUOTE，點E在線段PB上，求QUOTE的最小值．

如圖所示，在直四棱柱QUOTE中，QUOTE，QUOTE，點M是棱QUOTE上一點．

QUOTE求證：QUOTE面QUOTE；

QUOTE求證：QUOTE；

QUOTE試確定點M的位置，使得平面QUOTE平面QUOTED.

如圖，四棱柱QUOTE中，QUOTE底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，QUOTE，且QUOTE，過QUOTE、C、D三點的平面記為QUOTE，QUOTE與QUOTE的交點為Q．

QUOTEⅠQUOTE證明：Q為QUOTE的中點；

QUOTEⅡQUOTE求此四棱柱被平面QUOTE所分成上下兩部分的體積之比；

QUOTEⅢQUOTE若QUOTE，QUOTE，梯形ABCD的面積為6，求平面QUOTE與底面ABCD所成二面角的大?。?dāng)?shù)學(xué)試卷答案和解析1.【答案】A

【解析】解：直線QUOTE的斜率QUOTE．

故選：A．

直線QUOTE的斜率QUOTE，即可得出．

本題考查了直線的斜率、三角函數(shù)求值，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C

【解析】解：QUOTE直線QUOTE：QUOTE，QUOTE：QUOTE，且QUOTE，

QUOTE，解得QUOTE或QUOTE

故選：C

由垂直可得QUOTE，解方程可得．

本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算實力，屬于簡潔題．

求出圓的圓心與半徑，利用直線與圓相切，列出方程求解即可．

【解答】

解：圓的方程可化為QUOTE，

因為直線與圓相切，

所以有QUOTE，即QUOTE．

故選：B．

4.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓QUOTE的圓心為C，

則C的坐標(biāo)為：QUOTE

設(shè)直線AB的斜率為k．

由于弦AB的中點為QUOTE，則QUOTE，

又QUOTE，QUOTE．

QUOTE垂直于直線AB的方程為QUOTE即：QUOTE，

則垂直于AB的直徑所在直線的方程為QUOTE，

故選：B．

設(shè)圓心為C，利用QUOTE，求出AB的斜率，進而可求直線AB的方程．

本題考查圓的方程，考查圓的性質(zhì)，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】D

【解析】解：由QUOTE，得QUOTE．

所以曲線QUOTE表示單位圓在x軸上方的部分QUOTE含與x軸的交點QUOTE，

設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，

則QUOTE，直線l的方程為QUOTE，即QUOTE．

則原點O到l的距離QUOTE，l被半圓截得的半弦長為QUOTE．

則QUOTE

QUOTE．

令QUOTE，則QUOTE，當(dāng)QUOTE，即QUOTE時，QUOTE有最大值為QUOTE．

此時由QUOTE，解得QUOTE．

故答案為D．

由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分QUOTE含與x軸的交點QUOTE，由此可得到過C點的直線與曲線相交時k的范圍，設(shè)出直線方程，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長，寫出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值．

本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓的關(guān)系，考查了學(xué)生的運算實力，考查了配方法及二次函數(shù)求最值，解答此題的關(guān)鍵在于把面積表達式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是中檔題．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了空間線線、線面、面面關(guān)系的推斷，屬于基礎(chǔ)題．

利用空間中線線、線面、面面關(guān)系對選項逐一分析解答．

【解答】

解：對于A，若QUOTE，QUOTE垂直于同一平面，則QUOTE與QUOTE不肯定平行，例如墻角的三個平面；故A錯誤；

對于B，若m，n平行于同一平面，則m與n平行、相交或者異面；故B錯誤；

對于C，若QUOTE，QUOTE不平行，則在QUOTE內(nèi)存在多數(shù)條與QUOTE平行的直線；故C錯誤；

對于D，若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面；假設(shè)兩條直線同時垂直同一個平面，則這兩條直線平行；故D正確；

故選：D．

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了利用空間幾何體的三視圖求表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．

依據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱體的一部分，利用圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積．

【解答】

解：依據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是圓柱體的一半，

QUOTE該幾何體的表面積為：

QUOTE．

故選D．

8.【答案】B

【解析】解：由三視圖可知：原幾何體是由長方體與一個三棱柱組成，長方體的長寬高分別是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角邊長是4，3；高是3；

其幾何體的體積為：QUOTE

故選：B．

利用三視圖推斷幾何體的形態(tài)，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可．

本題考查三視圖還原幾何體，幾何體的體積的求法，簡潔題．

9.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查圓錐的體積的計算，比較基礎(chǔ)．

依據(jù)圓錐的體積公式計算出對應(yīng)的體積即可．

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則QUOTE，

解得QUOTE，

故米堆的體積為QUOTE，

QUOTE斛米的體積約為QUOTE立方尺，

QUOTE堆放的米約有QUOTE斛，

故選：B．

10.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐QUOTE的體積最大是關(guān)鍵．

當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐QUOTE的體積最大，利用三棱錐QUOTE體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．

【解答】

解：如圖所示，

QUOTE當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐QUOTE的體積最大，

設(shè)球O的半徑為R，此時QUOTE，故QUOTE，則球O的表面積為QUOTE，

故選C．

11.【答案】B

【解析】解：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．

QUOTE．

故選：B．

畫出圖形，依據(jù)圓錐的體積公式干脆計算即可．

本題考查圓錐的體積公式，考查空間想象實力以及計算實力．是基礎(chǔ)題．

12.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計算實力．

通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的側(cè)面對角線是球的直徑，求出球的半徑．

【解答】

解：因為三棱柱QUOTE的6個頂點都在球O的球面上，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面QUOTE，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長，

因為QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

所以球的半徑為QUOTE．

故選C．

13.【答案】4

【解析】解：QUOTE正三棱柱的全部棱長均為a，且其體積為QUOTE，

QUOTE，

整理得QUOTE，

解得QUOTE．

故答案為：4．

由正棱錐的體積公式得QUOTE，由此能求出a的值．

本題考查正三棱錐的棱長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要仔細審題，留意棱錐的體積公式的合理運用．

14.【答案】12

【解析】解：QUOTE一個六棱錐的體積為QUOTE，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，QUOTE棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則QUOTE，

QUOTE，

棱錐的斜高為：QUOTE，

該六棱錐的側(cè)面積為：QUOTE．

故答案為：12．

推斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積．

本題考查了棱錐的體積，側(cè)面積的求法，解答的關(guān)鍵是能夠正確利用體積與表面積公式解題．

15.【答案】1

【解析】【分析】

本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題．畫出草圖，不難得到半徑、半弦長的關(guān)系，求解即可．

【解答】

解：由已知QUOTE的半徑為QUOTE，圓心QUOTE，

公共弦所在的直線方程為QUOTE大圓的弦心距為：QUOTE

由圖可知QUOTE，解之得QUOTE．

故答案為1．

16.【答案】解：設(shè)直線為QUOTE，交x軸于點QUOTE，交y軸于點QUOTE，QUOTE

得QUOTE，或QUOTE

解得QUOTE，或QUOTE，

QUOTE，或QUOTE為所求．

【解析】點斜式設(shè)出直線方程，求出與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，利用三角形面積求出斜率，從而得到1的直線方程．

本題考查直線方程的求法，本題的解題關(guān)鍵是求直線的斜率．

17.【答案】解：QUOTE由圓C：QUOTE，得QUOTE，

QUOTE圓C的圓心坐標(biāo)為QUOTE，半徑為4．

設(shè)QUOTE，則QUOTE，QUOTE．

由題意可得：QUOTE．

即QUOTE．

整理得：QUOTE．

QUOTE的軌跡方程是QUOTE．

QUOTE由QUOTE知M的軌跡是以點QUOTE為圓心，QUOTE為半徑的圓，

由于QUOTE，

故O在線段PM的垂直平分線上，

又P在圓N上，從而QUOTE．

QUOTE，QUOTE直線l的斜率為QUOTE．

QUOTE直線l的方程為QUOTE，即QUOTE．

則O到直線l的距離為QUOTE．

又N到l的距離為QUOTE，

QUOTE．

QUOTE．

【解析】本題考查圓的軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積推斷兩個向量的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．

QUOTE由圓C的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出M坐標(biāo)，由QUOTE與QUOTE數(shù)量積等于0，列式得M的軌跡方程；

QUOTE設(shè)M的軌跡的圓心為N，由QUOTE得到QUOTE，求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到PM所在直線l的方程，由點到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關(guān)系求出PM的長度，代入三角形面積公式得答案．

18.【答案】解：QUOTE由QUOTE，得QUOTE由QUOTE，得QUOTE

由QUOTE，得QUOTE，可行域M為如圖QUOTE

QUOTE，又QUOTE，A是y軸的截距，QUOTE

QUOTE過點QUOTE時，QUOTE是表示區(qū)域M上的點QUOTE到原點QUOTE距離平方．

如圖QUOTE使所求距離的平方最小，QUOTE．

QUOTE，QUOTE過區(qū)域M中的點，

而區(qū)域中QUOTE又QUOTE，函數(shù)QUOTE圖象過點QUOTE，

當(dāng)QUOTE時，QUOTE

QUOTE滿意QUOTE過區(qū)域M中的點，

只須圖象與射線QUOTE有公共點．QUOTE只須QUOTE時，QUOTE

QUOTE所求a的取值范圍是QUOTE．

【解析】QUOTE畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．

QUOTE推斷區(qū)域的中點的范圍，然后推出關(guān)系式，即可求解a的范圍．

本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的實力．

19.【答案】解：QUOTE如圖，

過B作QUOTE于E，過A作QUOTE于F，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE．

設(shè)QUOTE，則QUOTE．

QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

QUOTE，

QUOTE．

QUOTE．

QUOTE，

解得：QUOTE．

QUOTE，QUOTE，

則QUOTE；

QUOTE如圖，

設(shè)BC與QUOTE切于Q，延長QM、CO交于P，

QUOTE，

QUOTE．

設(shè)QUOTE，則QUOTE，QUOTE

QUOTE，QUOTE

設(shè)QUOTE半徑為R，

QUOTE、O到QUOTE上任一點距離不少于80m，

則QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE．

解得：QUOTE．

QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時R取到最大值．

QUOTE時，愛護區(qū)面積最大．

【解析】本題考查圓的切線，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵在于對題意的理解，是中檔題．

QUOTE在四邊形AOCB中，過B作QUOTE于E，過A作QUOTE于F，設(shè)出AF，然后通過解直角三角形列式求解BE，進一步得到CE，然后由勾股定理得答案；

QUOTE設(shè)BC與QUOTE切于Q，延長QM、CO交于P，設(shè)QUOTE，把PC、PQ用含有x的代數(shù)式表示，再結(jié)合古橋兩端O和A到該圓上隨意一點的距離均不少于80m列式求得x的范圍，得到x取最小值時圓的半徑最大，即圓形愛護區(qū)的面積最大．

20.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE在QUOTE中，因為QUOTE，D為AC的中點，

所以QUOTE，

又PO垂直于圓O所在的平面，

所以QUOTE，

因為QUOTE，

所以QUOTE平面PDO．

QUOTEⅡQUOTE因為點C在圓O上，

所以當(dāng)QUOTE時，C到AB的距離最大，且最大值為1，

又QUOTE，所以QUOTE面積的最大值為QUOTE，

又因為三棱錐QUOTE的高QUOTE，

故三棱錐QUOTE體積的最大值為：QUOTE．

QUOTEⅢQUOTE在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE，

同理QUOTE，所以QUOTE，

在三棱錐QUOTE中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面QUOTE，使之與平面ABP共面，如圖所示，

當(dāng)O，E，QUOTE共線時，QUOTE取得最小值，

又因為QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE垂直平分PB，即E為PB中點．

從而QUOTE．

亦即QUOTE的最小值為：QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE由題意可證QUOTE，又QUOTE，即可證明QUOTE平面PDO．

QUOTEⅡQUOTE當(dāng)QUOTE時，C到AB的距離最大且最大值為1，又QUOTE，即可求QUOTE面積的最大值，又三棱錐QUOTE的高QUOTE，即可求得三棱錐QUOTE體積的最大值．

QUOTEⅢQUOTE可求QUOTE，即有QUOTE，由QUOTE，QUOTE，可證E為PB中點，從而可求QUOTE，從而得解．

本題主要考查了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、錐體的體積的求法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查了空間想象實力、推理論證實力、運算求解實力，考查了數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

21.【答案】解：QUOTE證明：由直四棱柱，得QUOTE且QUOTE，所以QUOTE是平行四邊形，

所以QUOTE．

而QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，

所以QUOTE平面QUOTE．

QUOTE證明：因為QUOTE面ABCD，QUOTE面ABCD，所以QUOTE，

又因為QUOTE，且QUOTE，

所以QUOTE面QUOTE，

而QUOTE面QUOTE，所以QUOTE．

QUOTE當(dāng)點M為棱QUOTE的中點時，平面QUOTE平面QUOTE

取DC的中點N，QUOTE的中點QUOTE，連接QUOTE交QUOTE于O，連接OM．

因為N是DC中點，QUOTE，所以QUOTE；又因為DC是面ABCD與面QUOTE的交線，而面QUOTE面QUOTE，

所以QUOTE面QUOTE．

又可證得，O是QUOTE的中點，所以QUOTE且QUOTE，即BMON是平行四邊形，所以QUOTE，所以QUOTE平面QUOTE，因為QUOTE面QUOTE，所以平面QUOTE平面QUOTED.

【解析】QUOTE在平面QUOTE內(nèi)找到和QUOTE平行的直線BD即可．利用線線平行來推線面平行．

QUOTE先利用條件QUOTE和QUOTE證得QUOTE面QUOTE，再證明QUOTE即可．

QUOTE因為棱QUOTE上最特別的點是中點，所以先看中點．取DC的中點N，QUOTE的中點QUOTE，連接QUOTE交QUOTE于O，QUOTE面QUOTE面QUOTE，

QUOTE面QUOTE而又可證得QUOTE，所以可得QUOTE平面QUOTE平面QUOTE平面QUOTED.

本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，