初中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案圓

初中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案圓

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.圓的有關(guān)概念.

2.垂徑定理：平分弦的直徑垂直于弦，？并且平分弦所

對的兩條弧及其它們的應(yīng)用.教學(xué)目標(biāo)

了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理

及圓的概念解決一些實(shí)際問題.

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講

授圓的有關(guān)概念.利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖

形，過圓心的直線都是它的對稱軸.通過復(fù)合圖形的折疊方

法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解.重難

點(diǎn)、關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理

解決一些實(shí)際問題.

在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一

周，？另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)。叫做

圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“。

0”，讀作“圓0”.

總結(jié).

圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長；到定點(diǎn)的距離

等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為0,半徑為r

的圓可以看成是所有到定點(diǎn)0的距離等于定長r的點(diǎn)組成的

圖形.同時(shí)，我們又把

①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC,AB；

②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；

③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C

為端點(diǎn)的弧記作？，讀作“圓弧?AC”AC”或

?叫做劣弧.“弧AC”.大于半圓的弧?AC或BC

④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一

條弧都叫做半圓.我們可以得到：

如圖，AB是。。的一條弦，作直徑CD,使CD

±AB,垂足為M.

如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由.是軸對稱

圖形，其對稱軸是CD.

?,即直徑CD平分弦AB,并且平分？？，?

AM=BM,?AD?BDAB及？ADB.AC?BC

下面我們用邏輯思維給它證明一下：

已知：直徑CD、弦AB且CDLAB垂足為M

?.?,?求證：AM=BM,?AD?BDAC?BC

分析：要證AM二BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全

等.因此，只要連結(jié)OA、？0B或AC、

BC即可.

證明：如圖，連結(jié)OA、0B,則OA=OB在Rt^OAM和Rt

△OBM中

?OA?OB

?

?OM?OM

二.RtAOAM^RtAOBMAM=BM

???點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱?「OO關(guān)于直徑CD對稱

?重合.？重合，？「?當(dāng)圓沿著直線CD對折時(shí)，點(diǎn)A

與點(diǎn)B重合，？AD與BDAC與BC??,??AD?BDAC?BC

?,點(diǎn)。是CD?的圓心，？其中CD=600m,E例1.如

圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦m

VOE1CD

11

.*.CF=CD=3600=300

22

根據(jù)勾股定理，得：0C2=CF2+0F2

即R2=3002+解得R=5「?這段彎路的半徑為545m.應(yīng)

用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正

常水位下水面寬AB=?60m,水面到拱頂距離CD=18m,當(dāng)洪水

泛濫時(shí)，水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請說明

理由.

分析：要求當(dāng)洪水到來時(shí)，水面寬MN=32m?是否需要采

取緊急措施，？只要求出DE的長，因此只要求半徑R,然后

運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.解：不需要采取緊急措施設(shè)

OA=R,在RtZiAOC中,AC=30,CD=18

R2=302+R2=900+R2-36R+32B

解得R=34

連接0M,設(shè)DE=x,在Rt^MOE中，ME=>162+2

162+342-68x+x2=34x2-68x+256=0解得xl=4,

x2=DE=4

???不需采取緊急措施.本節(jié)課應(yīng)掌握：1.圓

的有關(guān)概念；

2.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的

對稱軸..垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用.

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.如圖1,如果AB為。。的直徑，弦CDLAB,垂足為

E,那么下列結(jié)論中，？錯(cuò)誤的是.

??BD?C.ZBAC=ZBADD.AOAD

A.CE=DEB.BC

c

2.如圖2,。。的直徑為10,圓心。到弦AB的距離0M

的長為3,則弦AB的長是

A.B.C.D.8

3.如圖3,在。0中，P是弦AB的中點(diǎn)，CD是過點(diǎn)P

的直徑，？則下列結(jié)論中不正確的是

?D.P0=PDA.AB±CDB.ZA0B=4ZACD

C.?AD?BD

二、填空題

?中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D,BD=3,AB=10,貝AC=.

1.如圖4,AB為。0直徑，E是BC

A

B

2.P為。。內(nèi)一點(diǎn)，0P=3cm,。。半徑為5cm,則經(jīng)過P

點(diǎn)的最短弦長為；?最長弦長為.

3.如圖5,OE、OF分別為。。的弦AB、CD的弦心距，

如果0E=OF,那么

三、綜合提高題

1.如圖24-11,AB為。。的直徑，CD為弦，過C、D分

別作CNLCD、DM?±CD,?分別交AB于N、M,請問圖中的AN

與BM是否相等，說明理由.

2.如圖，00直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,

ZDEB=30°,求弦CD長.

3.AB是。0的直徑,AC、AD是。0的兩弦,已知AB二16,

AC=8,AD=?8,?求/口人（3的度數(shù).

圓

教學(xué)內(nèi)容

1.圓心角的概念.

2.有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，？

相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

3.定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，？

那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.在同圓或

等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所

對的弧也相等.教學(xué)目標(biāo)

了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、

弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以推出其它兩個(gè)量的相對應(yīng)

的兩個(gè)值就相等，及其它們在解題中的應(yīng)用.

通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心

角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩

條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組

量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題.重難點(diǎn)、

關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對

的弧相等，？所對弦也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用.教學(xué)

過程

如圖所示，ZAOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的

角叫做圓心角.

如圖所示的。0中，分別作相等的圓心角NAOB?和N

A?，0B?，將圓心角NAOB繞圓心0旋轉(zhuǎn)到NA，QB'的位置,

你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？

B，

?AB:?A'B',AB-A，B，

理由：?半徑0A與O'A，重合，且NA0B=NA，OB'

???半徑0B與0B，重合

二點(diǎn)A與點(diǎn)A，重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B，重合?AB

與?A'B'重合,弦AB與弦A，B，重合??.？AB=?A'B',

AB=A，B'

因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所

對的弦相等.

《圓》第一節(jié)圓導(dǎo)學(xué)案1

主編人：占利華主審人：

班級：學(xué)號：姓名：

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解圓的定義及弧、弦、半圓、直徑等相關(guān)概念。

經(jīng)歷動(dòng)手實(shí)踐、觀察思考、分析概括的學(xué)習(xí)過程，養(yǎng)成

自主探究、合作交流的良好習(xí)慣。

利用我國悠久的數(shù)學(xué)研究歷史，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義熏

陶；通過圓的完美性，讓學(xué)生進(jìn)行美的體驗(yàn)。

與圓有關(guān)的概念

圓的概念的理解學(xué)習(xí)過程：

一、自主學(xué)習(xí)

復(fù)習(xí)鞏固

1、舉出生活中的圓的例子

2、圓既是對稱圖形，

又是對稱圖形。

3、圓的周長公式圓的面積公式

自主探究

1：在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋

轉(zhuǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)1、圓的定義。

所形成的圖形叫做.固定的端點(diǎn)。叫做

段0A叫做.以點(diǎn)。為圓

心的圓，記作””，讀作“”決定圓的位置,

決定圓的大小。

2：到的距離等于的點(diǎn)的集合.圓的定義O

2、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的叫做弦

直徑：經(jīng)過圓心的叫做直徑

3、?。喝我鈨牲c(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧

半圓：圓的任意一條的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，

每一條都叫做半圓

優(yōu)?。喊雸A的弧叫做優(yōu)弧。用個(gè)點(diǎn)表示，如圖

中叫做優(yōu)弧

劣?。喊雸A的弧叫做劣弧。用個(gè)點(diǎn)表示，如圖

中叫做劣弧

等圓：能夠的兩個(gè)圓叫做等圓

等?。耗軌虻幕〗凶龅然?/p>

4、如果四邊形ABCD是矩形，它的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)

圓上嗎？如果在，這個(gè)圓的圓心在哪

里？

5、已知：如圖，在。。中，AB,CD為直徑

求證：AD//BC

、歸納總結(jié)：

1、在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,點(diǎn)與圓有哪幾種位置關(guān)系？

若。。的半徑為r,

點(diǎn)P到圓心。的距離為d,那么：

點(diǎn)P在圓dr點(diǎn)P在圓dr

點(diǎn)P在圓dr

2、圓的集合定義

思考：平面上的一個(gè)圓把平面上的點(diǎn)分成哪幾部分？

圓的內(nèi)部是到的點(diǎn)的集合；

圓的外部是的點(diǎn)的集合。？?？

自我嘗試：

1、如何在操場上畫一個(gè)半徑是5nl的圓？說出你的理由。

2、你見過樹木的年輪嗎？從樹木的年輪，可以很清楚

的看出樹木生長的年輪。把樹木的年

輪看成是圓形的，如果一棵20年樹齡的紅杉樹的樹干

直徑是23cm,這棵紅杉樹的半徑平均

每年增加多少？

二、教師點(diǎn)拔

1、圓心決定圓的，而半徑?jīng)Q定圓的；直徑是

圓中經(jīng)過的特殊的弦，

是的弦，并且等于的2倍，是在研究圓的問題

中出現(xiàn)次數(shù)最多的重要線段

但弦不一定是直徑，過圓上一點(diǎn)和圓心的直徑

一條；半圓是的弧，而

弧是半圓；“同圓”是指圓，“同心圓””等

圓”指的是兩個(gè)圓的位置、大

小關(guān)系；判定兩個(gè)圓是否是等圓，常用的方法是看其

是否相等，相等的兩個(gè)

圓是等圓；“等弧”是能夠的兩條弧，而長度相

等的兩條弧是等弧。

2、想一想：角的平分線可以看成是哪些點(diǎn)的集

合？線段的垂直平分線呢？

三、課堂檢測

1.以點(diǎn)0為圓心作圓，可以作

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)

個(gè)

2.確定一個(gè)圓的條件為

A.圓心B.半徑C.圓心和半徑D.以

上都不對.

3.如圖，AB是。。的直徑，CD是。0的弦，AB、CD的

延長線交于點(diǎn)E,已知AB?2DE,若?COD為直角三角形，則?E

的度數(shù)為

A.22.5?B.30?C.45?D.15?

4、。。的半徑10cm,A、B、C三點(diǎn)到圓心的距離分別為

8cm、10cm、12cm,則點(diǎn)A、B>C與

00的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在;點(diǎn)B

在；點(diǎn)C在

5、。。的半徑6cm,當(dāng)0P=6時(shí)，點(diǎn)P在；當(dāng)

0P時(shí)點(diǎn)P在圓內(nèi)；當(dāng)0P時(shí)，點(diǎn)P不在

圓外。

四、課外拓展

1.如圖，OA、0B為。。的半徑，C、D為OA、0B上兩點(diǎn)，

且AC?BD

求證：AD?BC

2.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD交

于點(diǎn)0.求證：點(diǎn)A、B、C、D在以。為圓心的圓上.

3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為0A、

OB、0C、0D的中點(diǎn).求證：點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)在同一個(gè)圓

上.

圓的知識點(diǎn)歸納總結(jié)大全

一、圓的定義。

1、以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的點(diǎn)組成的圖形。

2、在同一平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)組成

的圖形。

二、圓的各元素。

1、半徑：圓上一點(diǎn)與圓心的連線段。

2、直徑：連接圓上兩點(diǎn)有經(jīng)過圓心的線段。、弦：連接

圓上兩點(diǎn)線段。

4、?。簣A上兩點(diǎn)之間的曲線部分。半圓周也是弧。劣

?。盒∮诎雸A周的弧。優(yōu)弧：大于半圓周的弧。

5、圓心角：以圓心為頂點(diǎn)，半徑為角的邊。、圓周角：

頂點(diǎn)在圓周上，圓周角的兩邊是弦。、弦心距：圓心到弦的

垂線段的長。

三、圓的基本性質(zhì)。1、圓的對稱性。

圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑所在的直線。圓

是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖

形八垂徑定理。

垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對的兩條

弧。推論：

?平分弦的直徑，垂直于弦且平分弦所對的兩條弧。？

平分弧的直徑，垂直平分弧所對的弦。、圓心角的度數(shù)等于

它所對弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對弧度數(shù)的一半。

同弧所對的圓周角相等。

直徑所對的圓周角是直角；圓周角為直角，它所對的弦

是直徑。

4、在同圓或等圓中，兩條弦、兩條弧、兩個(gè)圓周角、

兩個(gè)圓心角、兩條弦心距

五對量中只要有一對量相等，其余四對量也分別相等。、

夾在平行線間的兩條弧相等。、設(shè)。0的半徑為r,OP=dod

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心是三邊中垂線的交

點(diǎn)，它到三

個(gè)點(diǎn)的距離相等。

8、直線與圓的位置關(guān)系。d表示圓心到直線的距離，r

表示圓的半徑。直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交；

直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；

直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離。

d10、圓的切線判定。

d=r時(shí)，直線是圓的切線。切點(diǎn)不明確：畫垂直，

證半徑。

經(jīng)過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線。

切點(diǎn)明確：連半徑，證垂直。11、圓的切線的性質(zhì)。

經(jīng)過切點(diǎn)的直徑一定垂直于切線。

經(jīng)過切點(diǎn)并且垂直于這條切線的直線一定經(jīng)過圓心。

12、切線長定理。

切線長：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)與這點(diǎn)之間

連線段的長叫這個(gè)

點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理。

PPA、PB切。0于點(diǎn)A、BPA=PB,Z

l=Z2o

12圖

13圖

13、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。

三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三

邊的距離相等。如圖，ZUBC中，AB=5,BC=6,AC=7,OO

切AABC三邊于點(diǎn)D、E、Fo求：AD、BE、CF的長。

分析：設(shè)AD=x,則AD=AF=x,BD=BE=5一x,CE=CF=7一

x.可得方程：5—x+7—x=6,解得x=AABC中，

ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=co求內(nèi)切圓的半徑r。分

析：先證得正方形ODCE,得CD二CE=rAD=AF^b—r,

BE=BF=a—rb—r+a—r=ca?b?c

得r=

2

1

SAABC=r

2

14、

弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另

一邊是圓的弦。如圖，BC切。。于點(diǎn)B,AB為弦，Z

ABC叫弦切角，ZABC=ZDo相交弦定理。

圓的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)P,貝ljPA-PB=PC-PDo

切割線定理。

如圖如A切。0于點(diǎn)A,PBC是。0的割線，則PA2=PBPC。

推論：如圖，PAB、PCD是。。的割線，貝I]PA-PB=PC-PDo

圖圖圖圖

15、圓與圓的位置關(guān)系。

外離：d>rl+r2,交點(diǎn)有。個(gè)；

外切：d=rl+r2,交點(diǎn)有1個(gè)；相交：rl

-r2相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。相切兩

圓的連心線必經(jīng)過切點(diǎn)。16、圓中有關(guān)量的計(jì)算。

弧長有L表示，圓心角用n表示，圓的半徑用R表示。

nn?R

L=?2?R?

360180

扇形的面積用S表示。

nn?R2n?RR12

??R?S=S=??lR6036018022

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。

r為底面圓的半徑，a為母線長。

r

?扇形的圓心角a二?3600

a

?S側(cè)=？arS全=？ar+?r2

《圓》章節(jié)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等

于定長的點(diǎn)的集合；、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距

離大于定長的點(diǎn)的集合；、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)

的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)

為圓心，定長為半徑的圓；

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是

這條線段的垂直平分線；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)

角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線

且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩

條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)？d?r?點(diǎn)C在圓內(nèi)；、點(diǎn)在圓上？d?r?

點(diǎn)B在圓上;、點(diǎn)在圓外？d?r?點(diǎn)A在圓外；

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離？d?r?無交點(diǎn)；、直線與圓相切？

d?r?有一個(gè)交點(diǎn)；、直線與圓相交？d?r?有兩個(gè)交點(diǎn)；

A

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離？無交點(diǎn)？d?R?r；外切？有一個(gè)交點(diǎn)？

d?R?r；相交？有兩個(gè)交點(diǎn)？R?r?d?R?r；內(nèi)切？有一個(gè)

交點(diǎn)？d?R?r；內(nèi)含？無交點(diǎn)？d?R?r；

圖1

圖2

五、垂徑定理

圖4

圖5

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

條?。幌业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對

的兩條弧；

平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦

所對的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理:

此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3

個(gè)結(jié)論,即：

①AB是直徑②AB?CD③CE?DE④弧BC?弧BD⑤

弧AC?弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：

在。。中，?.?AB〃CD，MAC?MBD

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相

等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理,

即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推

出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①?AOB??DOE；②AB?DE；

③OC?OF；④弧BA?弧BD

D

B

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1

2

圓的切線導(dǎo)學(xué)案

班級姓名

直線和圓的位置關(guān)系

1.直線和圓有時(shí)，叫做直線和圓相交。這條直線叫做

圓的這個(gè)公共點(diǎn)