4.1.2乘法公式與全概率公式課件高二上學期數(shù)學人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計4.1.2乘法公式與全概率公式人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.結合古典概型,會用乘法公式計算概率.2.結合古典概型,會利用全概率公式計算概率.*3.了解貝葉斯公式.基礎落實·必備知識全過關知識點

乘法公式與全概率公式1.乘法公式:由條件概率的計算公式P(B|A)=可知,P(BA)=

,這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,可以求出A與B同時發(fā)生的概率.一般地,這個結論稱為乘法公式.

P(A)P(B|A)2.全概率公式:全概率可理解為事件的和與乘法公式的綜合應用P(A)P(B|A)定理1

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.則對Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且上述公式也稱為全概率公式.*3.貝葉斯公式:一般地,當1>P(A)>0且P(B)>0時,有

這稱為貝葉斯公式.定理2

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.則對Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也稱為貝葉斯公式.過關自診1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,則P(BA)=

.

2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,則P(B)=

.

3.袋子中有三個紅球、一個黑球,不放回地摸球,則第二次摸到紅球的概率是

.

0.06解析

P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.0.35解析

用A1表示“第一次摸到紅球”,A2表示“第二次摸到紅球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一乘法公式【例1】

[北師大版教材例題]已知口袋中有3個黑球和7個白球,這10個球除顏色外完全相同.(1)先后兩次從中不放回地各摸出一球,求兩次摸到的均為黑球的概率;(2)從中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率.解

設事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),則事件A1A2表示“兩次摸到的均為黑球”.變式探究

本例中條件不變,求先后兩次從中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.規(guī)律方法

乘法公式求概率的關注點(1)來源:乘法公式是條件概率公式的變形式.(2)適用情境:求P(AB)時可用乘法公式.變式訓練1[北師大版教材習題]甲、乙兩人參加面試,每人的試題通過不放回抽簽的方式確定.假設被抽的10個試題簽中有4個是難題簽,按甲先乙后的次序抽簽.(1)求甲抽到難題簽的概率;(2)若甲抽到難題簽,求乙也抽到難題簽的概率;(3)求甲和乙都抽到難題簽的概率.解

設事件A表示“甲抽到難題簽”,事件B表示“乙抽到難題簽”.(1)甲抽到難題簽的概率(2)若甲抽到難題簽,則乙也抽到難題簽的概率為(3)甲和乙都抽到難題簽的概率為探究點二全概率公式【例2】

[人教A版教材習題]現(xiàn)有12道四選一的單選題,學生張君對其中9道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個答案,猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機選擇1題,求他做對該題的概率.變式訓練2從5件正品、2件次品中不放回地取出2件,則第二次取出正品的概率是

.

探究點三貝葉斯公式【例3】

[人教A版教材例題]有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個零件,計算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率.解

設B表示“任取一個零件為次品”,Ai表示“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥.根據(jù)題意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052

5.(2)“如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率”,就是計算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.規(guī)律方法

貝葉斯公式的理解(1)貝葉斯公式可以看作是全概率公式和條件概率公式的綜合應用.(2)貝葉斯公式可用于責任承擔的評估,像例題中計算得到3號車床的責任份額最大.變式訓練3[人教A版教材習題]在A,B,C三個地區(qū)暴發(fā)了流感,這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5∶7∶8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人.(1)求這個人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人選自A地區(qū)的概率.

解

設A表示“選取的人患流感”,用B1,B2,B3分別表示“選取的人來自A,B,C地區(qū)”,成果驗收·課堂達標檢測123456789101112A級必備知識基礎練B1234567891011122.[探究點二]已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1,貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02,0.01,則一輛汽車中途停車修理的概率為(

)B123456789101112B1234567891011124.[探究點三]兩批同規(guī)格的產(chǎn)品,第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合,從混合產(chǎn)品中任取一件,則這件產(chǎn)品合格的概率是

,已知取得的產(chǎn)品是合格品,則它取自第一批產(chǎn)品的概率是

.

0.956解析

設A1表示“產(chǎn)品取自第一批產(chǎn)品”,A2表示“產(chǎn)品取自第二批產(chǎn)品”,B=“取得的產(chǎn)品為合格品”,根據(jù)題意P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.由全概率公式,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956,由貝葉斯公式,1234567891011121234567891011125.[探究點一·人教A版教材例題]已知3張獎券中只有1張有獎,甲、乙、丙3名同學依次不放回地各隨機抽取1張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎?123456789101112B級關鍵能力提升練6.[2023江蘇南京天印高級中學高二期中]設某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為

.現(xiàn)從這10盒中任取一盒,再從這盒中任取一張X光片,則取得的X光片是次品的概率為(

)A.0.08 B.0.1

C.0.15

D.0.2A解析

以A1,A2,A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,B表示取得的X光片為次品,1234567891011121234567891011127.(多選題)在某一季節(jié),疾病D1的發(fā)病率為2%,病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D2的發(fā)病率為5%,病人中18%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D3的發(fā)病率為0.5%,病人中60%表現(xiàn)出癥狀S.則(

)A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B.病人有癥狀S時患疾病D1的概率為0.4C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45D.病人有癥狀S時患疾病D3的概率為0.25ABC123456789101112解析

P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得1234567891011128.甲箱中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙箱中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱,分別以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙箱中隨機取出一球,以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件,則下列結論正確的是(

)A.事件B與事件Ai(i=1,2,3)相互獨立BD1234567891011129.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球,其中甲箱中5個紅球、5個白球,乙箱中8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子,如果點數(shù)為1或2,從甲箱中摸出1個球;如果點數(shù)為3,4,5,6,從乙箱中摸出1個球,則摸到紅球的概率是

.

12345678910111210.有兩臺車床加工同一型號的零件,第1臺車床加工的次品率為5%,第2臺車床加工的次品率為6%,加工出來的零件混放在一起.已知兩臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的45%,55%,則任取一個零件是次品的概率為

.

0.055

5

解析

依題意,任取一個零件,它是次品的概率為5%×45%+6%×55%=5.55%.12345678910111211.有3箱同種型號零件,里面分別裝有50件、30件、40件,而且一等品分別有20件、12件和24件,現(xiàn)在任取一箱,從中不放回地先后取出2個零件.(1)求先取出的零件是一等品的概率;(2)求兩次取出的零件均為一等品的概率.(結果保留兩位小數(shù))123456789101112解

(1)記事件Ai表示“任取的一箱為第i箱零件”,則i=1,2,3;記事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,則j=1,2.123456789101112123456789101112C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練12.某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記