10.1.2復數(shù)的幾何意義課件高一數(shù)學人教B版

第十章復數(shù)復數(shù)的幾何意義人教B版

數(shù)學

必修第四冊課標要求1.理解用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量表示復數(shù),及它們之間的一一對應關(guān)系.2.掌握實軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模表示復數(shù)的模的方法.4.理解共軛復數(shù)的概念.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1復平面的概念和復數(shù)的幾何意義1.復平面的概念

如圖所示,點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示.建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面也稱為

.在復平面內(nèi),x軸上的點對應的都是實數(shù),因此x軸稱為

;y軸上的點除了原點外,對應的都是純虛數(shù),為了方便起見,稱y軸為

.

復平面

實軸虛軸2.復數(shù)的幾何意義一方面,根據(jù)復數(shù)相等的定義,復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)被它的實部與虛部唯一確定,即復數(shù)z被有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定;另一方面,有序?qū)崝?shù)對(a,b)在平面直角坐標系中對應著唯一的點Z(a,b).因此不難發(fā)現(xiàn),可以在復數(shù)集與平面直角坐標系的點集之間建立一一對應關(guān)系,即復數(shù)z=a+bi?點

.這是復數(shù)的一種幾何意義.

復數(shù)還有另外一種幾何意義:因為平面直角坐標系中的點Z(a,b)能唯一確定一個以原點O為始點、Z為終點的向量

,所以復數(shù)也可用向量

來表示,這樣一來也就能在復數(shù)集與平面直角坐標系中以O(shè)為始點的向量組成的集合之間建立一一對應關(guān)系,即復數(shù)z=a+bi?向量

.

Z(a,b)如圖所示,設(shè)復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z=a+bi,連接OZ,顯然向量

由點Z唯一確定;反過來,點Z(相對于原點來說)也可以由向量

唯一確定.名師點睛1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可用復平面內(nèi)的點Z(a,b)表示,復平面內(nèi)點Z的坐標是(a,b),而不是(a,bi).2.為了方便,我們常把復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)說成點Z(a,b)或說成向量

,并且規(guī)定相等向量表示同一復數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)

(1)在復平面內(nèi),對應于實數(shù)的點都在實軸上.(

)(2)在復平面內(nèi),虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù).(

)√×2.復數(shù)z=-1-2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C解析

z=-1-2i對應點Z(-1,-2),位于第三象限.3.復數(shù)z=i在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(

)A.(0,1) B.(1,0)C.(0,0) D.(1,1)A4.向量a=(1,-2)所對應的復數(shù)是(

)

A.z=1+2i B.z=1-2iC.z=-1+2i D.z=-2+iB5.[北師大版教材習題]如圖,設(shè)每個小方格的邊長是1,指出點A,B,C,D,E所表示的復數(shù).解A:4+3i.B:-3+2i.C:-3-3i.D:-3i.E:3-2i.知識點2共軛復數(shù)、復數(shù)的模1.共軛復數(shù)一般地,如果兩個復數(shù)的實部相等,而虛部

,則稱這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).復數(shù)z的共軛復數(shù)用

表示,因此,當z=a+bi(a,b∈R)時,有=

.

顯然,在復平面內(nèi),表示兩個共軛復數(shù)的點關(guān)于

對稱;反之,如果表示兩個復數(shù)的點在復平面內(nèi)關(guān)于實軸對稱,則這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).

互為相反數(shù)

a-bi

實軸結(jié)論:(1)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1,z2互為共軛復數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.(2)任一實數(shù)的共軛復數(shù)是其本身,反之,若z=,則z∈R.(3)復數(shù)的共軛復數(shù)的共軛復數(shù)是它本身,即

=z.2.復數(shù)的模一般地,向量

=(a,b)的長度稱為復數(shù)z=a+bi的

(或

),復數(shù)z的模用|z|表示,因此|z|=

.

可以看出,當b=0時,|z|==

,這說明復數(shù)的模是實數(shù)絕對值概念的推廣.

模絕對值|a|如圖所示,向量

的模r稱為復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,由模的定義可知:|z|=|a+bi|=r=

(r≥0,r∈R),即復數(shù)z的模為非負實數(shù).計算復數(shù)的模時,應先找出復數(shù)的實部與虛部,然后代入公式計算.一般地,兩個共軛復數(shù)的模相等,即

.

過關(guān)自診1.復數(shù)的模的幾何意義是什么?提示復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z,復數(shù)z0在復平面內(nèi)對應的點為Z0,r表示一個大于0的常數(shù),則:①滿足條件|z|=r的點Z的集合為以原點為圓心,r為半徑的圓,|z|<r表示圓的內(nèi)部,|z|>r表示圓的外部;②滿足條件|z-z0|=r的點Z的集合為以Z0為圓心,r為半徑的圓,|z-z0|<r表示圓的內(nèi)部,|z-z0|>r表示圓的外部.2.已知復數(shù)z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,則實數(shù)m的值為(

)

A.1或3 B.1C.3 D.2A解得m=1或3,故選A.3.在復平面內(nèi),復數(shù)z的對應點為(1,-1),則

=

.1+i解析

由題可知復數(shù)z的對應點為(1,-1),則z=1-i,所以

=1+i.4.[北師大版教材習題]求下列復數(shù)的模和共軛復數(shù):重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一復數(shù)與點的對應【例1】

[北師大版教材習題]設(shè)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)和復平面內(nèi)的點Z(a,b)對應,若點Z分別位于下列位置,求a,b滿足的條件:(1)實軸上;(2)虛軸上;(3)實軸上方(不包括實軸);(4)虛軸左側(cè)(不包括虛軸);(5)第二象限.解(1)a∈R且b=0.(2)a=0且b∈R.(3)a∈R且b>0.(4)a<0且b∈R.(5)a<0且b>0.【例2】

試確定在復平面內(nèi),滿足下列條件的復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)對應的點的集合分別是什么圖形.(1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5.解(1)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),而y=2,所以點的集合是一條與實軸平行的直線.(2)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),而1≤x≤4,所以點的集合是夾在垂直于實軸的兩條直線之間的一個帶形區(qū)域(含兩條邊界直線).(3)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(x,y),而x=y,所以點的集合是一條直線,它是復平面的第一、三象限的平分線.(4)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(x,y),而|z|≤5的集合是一個以原點為圓心,半徑等于5的圓的內(nèi)部,包含圓的邊界.變式探究將例2(4)中的“|z|≤5”改為“2≤|z|≤5”,其余條件不變,其結(jié)果如何呢?解不等式2≤|z|≤5可以化為不等式組

滿足不等式組

的點構(gòu)成的圖形是以原點為圓心,分別以2和5為半徑的兩圓所夾的圓環(huán),并包括圓環(huán)的邊界.規(guī)律方法

1.確定復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的位置時,關(guān)鍵是理解好復數(shù)與該點的對應關(guān)系,復數(shù)的實部就是該點的橫坐標,復數(shù)的虛部就是該點的縱坐標,據(jù)此可建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程或不等式求解.2.確定復數(shù)對應點的集合的圖形時,首先根據(jù)復數(shù)與點的對應關(guān)系找出點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系,再結(jié)合平面解析幾何的相關(guān)知識確定圖形形狀.變式訓練1在復平面內(nèi),復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i對應的點滿足:(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上.分別求實數(shù)m的值或取值范圍.解復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.(1)由題意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.∴-1<m<1,即m的取值范圍為(-1,1).(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.m=2.探究點二復數(shù)與向量的對應A.-10+8i B.10-8i C.0

D.10+8iC規(guī)律方法

以原點為起點的向量對應的復數(shù)等于它的終點對應的復數(shù);向量平移后,此向量表示的復數(shù)不變,但平移前后起點、終點對應的復數(shù)要改變.變式訓練2[人教A版教材習題]在復平面內(nèi),O是原點,向量

對應的復數(shù)是2+i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量

對應的復數(shù);(2)如果(1)中點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C,求點C對應的復數(shù).解由于向量

是以原點為始點,故終點A的坐標為(2,1).(1)點A(2,1)關(guān)于實軸的對稱點B的坐標為(2,-1),則向量

對應的復數(shù)為2-i.(2)點B(2,-1)關(guān)于虛軸的對稱點C的坐標為(-2,-1),則點C對應的復數(shù)是-2-i.探究點三復數(shù)的模及其計算【例4】

(1)若復數(shù)z對應的點在直線y=2x上,且|z|=,則復數(shù)z=(

)A.1+2i B.-1-2iC.±1±2i D.1+2i或-1-2iD解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.(2)設(shè)復數(shù)z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)B規(guī)律方法

1.復數(shù)的模表示復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離.2.求復數(shù)的模時,應先確定復數(shù)的實部與虛部,再套用復數(shù)模的計算公式計算求解.3.若兩個復數(shù)相等,它們的模一定相等;反之,兩個復數(shù)的模相等,這兩個復數(shù)不一定相等.4.兩個復數(shù)不一定能比較大小,但復數(shù)的模一定可以比較大小.變式訓練3(1)設(shè)復數(shù)z滿足|z-1|=|z-i|(i為虛數(shù)單位),z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),則(

)A.y=-xB.y=xC.(x-1)2+(y-1)2=1D.(x+1)2+(y+1)2=1B解析

設(shè)z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z-i|,∴|x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化簡得y=x.故選B.(2)[人教A版教材習題]求復數(shù)z1=3+4i及z2=i的模,并比較它們的模的大小.探究點四共軛復數(shù)及其應用【例5】

已知x-1+yi與i-3x是共軛復數(shù),求實數(shù)x與y的值.變式訓練4[2023浙江金臺期中]在復數(shù)范圍內(nèi)(i為虛數(shù)單位),下列假命題的個數(shù)是(

)①2i>i;②若a+bi=0(a,b∈C),則a=b=0;A.1 B.2

C.3

D.4C解析

由兩個虛數(shù)不能進行大小比較可知,①為假命題;若a+bi=0(a,b∈C),不一定有a=b=0,如a=1,b=i,滿足a+bi=0,故②為假命題;若復數(shù)z1=2+3i,a+bi=a-bi,可得b=-b,即b=0,則z∈R,故④為真命題.則假命題的個數(shù)是3.故選C.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練C1234567891011121314151617182.[探究點一·2023廣東東莞校級期中]已知i為虛數(shù)單位,則復數(shù)3i-2在復平面內(nèi)對應的點在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B解析

復數(shù)3i-2在復平面內(nèi)對應的點(-2,3)在第二象限.故選B.123456789101112131415161718D1234567891011121314151617184.[探究點二]在復平面內(nèi),O為原點,向量

對應的復數(shù)為-1+2i,若點A關(guān)于直線y=-x的對稱點為B,則向量

對應的復數(shù)為(

)A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2iB解析

∵A(-1,2)關(guān)于直線y=-x的對稱點B(-2,1),∴向量

對應的復數(shù)為-2+i.1234567891011121314151617185.[探究點一]當

<m<1時,復數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復平面上對應的點位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)解析

∵

<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,∴點(3m-2,m-1)在第四象限.1234567891011121314151617186.[探究點二]已知復數(shù)z1=1+2i,z2=2-i(i為虛數(shù)單位),z3在復平面內(nèi)對應的點分別為A,B,C.若四邊形OABC為平行四邊形(O為復平面的坐標原點),則復數(shù)

為(

)A.1-3i B.1+3iC.-1+3i D.-1-3iB1234567891011121314151617187.[探究點一、三、四]已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,-2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.z=-2+iB.復數(shù)z的共軛復數(shù)是-1+2iC.|z|=5D.z的虛部為-2D解析

因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,-2),所以z=1-2i,

1234567891011121314151617188.[探究點一]復數(shù)3-5i,1-i和-2+ai在復平面上對應的點在同一條直線上,則實數(shù)a的值為

.

5解析

由點(3,-5),(1,-1),(-2,a)共線可知a=5.1234567891011121314151617189.[探究點三·人教A版教材習題]已知復數(shù)z的虛部為

,在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的向量的模為2,求這個復數(shù)z.12345678910111213141516171810.[探究點一·2023廣東潮陽校級期中]求實數(shù)m的值或取值范圍,使復數(shù)z=(2m2-3m-2)+(m2-m)i在復平面內(nèi)對應的點Z:(1)位于第二象限;(2)位于第一或第三象限;(3)在直線x-y-1=0上.解(1)∵復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z位于第二象限,123456789101112131415161718(2)∵復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z位于第一或第三象限,(3)∵復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z位于直線x-y-1=0上,∴(2m2-3m-2)-(m2-m)-1=0,即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練11.在復平面內(nèi),復數(shù)6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數(shù)是(

)A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+iC解析

A(6,5),B(-2,3),∵C為AB的中點,∴C(2,4),∴點C對應的復數(shù)為2+4i,故選C.12345678910111213141516171812.已知0<a<2,復數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位),則|z|的取值范圍是(

)

B12345678910111213141516171813.已知復數(shù)z=(m+3)+(m-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-3,1) B.(-1,3)C.(1,+∞) D.(-∞,3)A12345678910111213141516171814.[2