2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第37煉 向量的數(shù)量積-坐標(biāo)化解決向量問(wèn)題含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第37煉向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問(wèn)題含答案第37煉向量的數(shù)量積——坐標(biāo)法在處理向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，則考慮將向量坐標(biāo)化，一旦所求向量用坐標(biāo)表示，其數(shù)量積等問(wèn)題迎刃而解。一、基礎(chǔ)知識(shí)1、向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果兩個(gè)向量不共線，則對(duì)于平面上的任一向量，存在，使得，且這種表示唯一。其中稱為平面向量的一組基底，而有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為在基底下的坐標(biāo)（2）為了讓向量能夠放置在平面直角坐標(biāo)系中，我們要選擇一組特殊的基底，在方向上它們分別與軸的正方向同向，在長(zhǎng)度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐標(biāo)為，從圖上可觀察到恰好是將向量起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，終點(diǎn)的坐標(biāo)（3）已知平面上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，也可求得以它們?yōu)槠鸾K點(diǎn)的向量坐標(biāo)：設(shè)，則（可記為“終”“起”），所以只要確定了平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則向量的坐標(biāo)自然可求。另外三個(gè)坐標(biāo)知二可求一，所以當(dāng)已知向量坐標(biāo)與其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可求出另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則有：（1）加減運(yùn)算：（2）數(shù)乘運(yùn)算：（3）數(shù)量積運(yùn)算：（4）向量的模長(zhǎng)：3、向量位置關(guān)系的判定：（1）平行：（2）垂直：（3）向量夾角余弦值：4、常見(jiàn)的可考慮建系的圖形：關(guān)于向量問(wèn)題，一旦建立坐標(biāo)系并成功寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題常常迎刃而解。但難點(diǎn)如何甄別一道題適合使用建系的方法求解。如果你遇到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問(wèn)題解決（1）具備對(duì)稱性質(zhì)的圖形：長(zhǎng)方形，正方形，等邊三角形，圓形（2）帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形（3）具備特殊角度的圖形（等）二、典型例題：例1：在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則__________yx思路：上周是用合適的基底表示所求向量，從而解決問(wèn)題，本周仍以此題為例，從另一個(gè)角度解題，觀察到本題圖形為等邊三角形，所以考慮利用建系解決數(shù)量積問(wèn)題，如圖建系：yx下面求坐標(biāo)：令由可得：答案：例2：（2012江蘇，9）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是____________yx思路：本題的圖型為矩形，且邊長(zhǎng)已知，故考慮建立直角坐標(biāo)系求解，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系：,設(shè),由在上可得,再由解出:，，yx答案：例3：如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，且，則_________思路：本題抓住這個(gè)特殊角，可以考慮建立坐標(biāo)系，同時(shí)由，可以寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而將所求向量坐標(biāo)化后即可求解解：以為軸，過(guò)的垂線作為軸可得：答案：例4：已知直角梯形中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________思路：本題所求模長(zhǎng)如果從幾何意義入手，則不便于作出的圖形。所以考慮從代數(shù)方面入手，結(jié)合所給的特殊圖形可想到依直角建立坐標(biāo)系，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算求解，在建系的過(guò)程中，由于梯形的高未知，為了能夠?qū)懗鲎鴺?biāo)，可先設(shè)高為。解：以為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)梯形高為則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則（等號(hào)成立：）答案：小煉有話說(shuō)：本題的亮點(diǎn)在于梯形的高未知，但為了寫坐標(biāo)先用字母代替。在使用坐標(biāo)解題時(shí)有時(shí)會(huì)遇到由于某些條件未知而導(dǎo)致坐標(biāo)無(wú)法寫出的情況。要明確沒(méi)有點(diǎn)的坐標(biāo)，則坐標(biāo)法無(wú)法實(shí)現(xiàn)，所以“沒(méi)有條件要?jiǎng)?chuàng)造條件”，先設(shè)再求，先將坐標(biāo)完善，再看所設(shè)字母能否求出，是否需要求出，這個(gè)理念在解析幾何和空間向量解立體幾何中都有所應(yīng)用例5：給定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為．思路：由可計(jì)算出的夾角，則可按照這個(gè)特殊角建立坐標(biāo)系，則由可知在以為圓心，半徑的圓上。，若要求的最大值，只需找到到的最大值，數(shù)形結(jié)合可得距離的最大值為，進(jìn)而可求出的最大值。解：即答案：例6：如圖，在直角三角形中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)及邊界上的任一點(diǎn)，則的取值范圍是_______思路：直角三角形直角邊已知，且為圖形內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，所求不便于用已知向量表示，所以考慮建系處理。設(shè)，從而可得，而所在范圍是一塊區(qū)域，所以聯(lián)想到用線性規(guī)劃求解解：以為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)數(shù)形結(jié)合可得：答案：例7：平面向量滿足，則的最小值是______思路：本題條件中有，而可利用向量數(shù)量積的投影定義得到在上的投影分別為1,2，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)能夠以的起點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)分別在的直線上，從而可坐標(biāo)化，再求出的最值即可解：如圖建系可得：由可得：而，由輪換對(duì)稱式不妨設(shè)，則答案：例8：已知點(diǎn)為等邊三角形的中心，，直線過(guò)點(diǎn)交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的最大值為.思路：本題由于為過(guò)的任一直線，所以的值不確定，從而不容易利用三邊向量將進(jìn)行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，從而坐標(biāo)可解，再借助解析幾何的思想設(shè)出直線方程，與方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，從而可解出最大值解：以為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)直線由可得：解得：解得：若直線與相交，則答案：例9：如圖，四邊形是半徑為的圓的外切正方形，是圓的內(nèi)接正三角形，當(dāng)繞著圓心旋轉(zhuǎn)時(shí)，的取值范圍是（）A.B.C.D.yx思路：本題所給的圖形為正方形及其內(nèi)切圓，可考慮建立直角坐標(biāo)系，為了使坐標(biāo)易于計(jì)算，可以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系：，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是一個(gè)難點(diǎn)，觀察兩個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，，如何從這個(gè)恒定的角度去刻畫(huà)此圓上兩點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系呢：考慮圓的參數(shù)方程（參數(shù)的幾何意義為圓心角，與角度相聯(lián)系），設(shè)，從而，用的三角函數(shù)將兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，從而可求出的范圍yx解：，答案：選小煉有話說(shuō)：在直角坐標(biāo)系中涉及到圓上的點(diǎn)，除了想到傳統(tǒng)坐標(biāo)之外，還應(yīng)想到圓的參數(shù)方程，尤其是題目中有關(guān)于圓心角的條件時(shí)（例如本題中的），可依靠參數(shù)的幾何意義將條件充分的利用起來(lái)。例10：在平面上，，，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：以為入手點(diǎn)，考慮利用坐標(biāo)系求解，題目中和點(diǎn)坐標(biāo)均未知，為了能夠進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，將其用字母表示：設(shè)，則，所求范圍即為求的范圍。下一步將題目的模長(zhǎng)翻譯成關(guān)系，再尋找關(guān)于的不等關(guān)系即可解：如圖以為軸建立坐標(biāo)系：設(shè)，則①②與①聯(lián)系可得：，所以②轉(zhuǎn)變?yōu)椋?，即另一方面：同理，由可得：綜上所述：，則答案：D小煉有話說(shuō)：（1）本題涉及到的點(diǎn)與線段較多，所以難點(diǎn)一方面在于是否能夠想到建系去處理，還有一方面在于選擇哪兩條線作為坐標(biāo)軸。也許有同學(xué)會(huì)從入手，選擇為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，且所求只需計(jì)算出的坐標(biāo)即可。但這種選法繼續(xù)做下去會(huì)發(fā)現(xiàn)，首先在圓上的位置不確定，坐標(biāo)不易寫出，其次無(wú)法定位，從而使得條件不便于使用。所以這種建系的方法在解題過(guò)程中障礙重重，不利于求解。而利用現(xiàn)有的垂直建系，會(huì)使得的坐標(biāo)易于表示，進(jìn)而求出坐標(biāo)，只剩一個(gè)不好表示的點(diǎn)，難度明顯低于前一種建系方法。（2）在坐標(biāo)系建好之后，說(shuō)明此題主流的解法是用變量，表達(dá)式去解決，所以下一步就要將題目中的條件翻譯成代數(shù)的關(guān)系。正所謂“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，如果用到的是形，那么就將代數(shù)條件翻譯成幾何特點(diǎn)，如果用到的是數(shù)，那就要將幾何條件翻譯成代數(shù)的特點(diǎn)。所以在“數(shù)形結(jié)合”方法中“翻譯”的步驟是必不可少的第38煉向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義一、基礎(chǔ)知識(shí)1、向量的投影：（1）有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果實(shí)數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)，，當(dāng)與軸反向時(shí)，，則稱為軸上有向線段的值。（2）點(diǎn)在直線上的投影：若點(diǎn)在直線外，則過(guò)作于，則稱為在直線上的投影；若點(diǎn)在直線上，則在在直線上的投影與重合。所以說(shuō)，投影往往伴隨著垂直。（3）向量的投影：已知向量，若的起點(diǎn)在所在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量。2、向量的投影與向量夾角的關(guān)系：通過(guò)作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號(hào)，記為向量的夾角（1）為銳角：則投影（無(wú)論是在上的投影還是在上的投影）均為正（2）為直角：則投影為零（3）為鈍角：則投影為負(fù)3、投影的計(jì)算公式：以在上的投影為例，通過(guò)構(gòu)造直角三角形可以發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)為銳角時(shí)，，因?yàn)?，所以?）當(dāng)為銳角時(shí)，，因?yàn)?，所以即?）當(dāng)為直角時(shí)，，而，所以也符合綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角4、數(shù)量積與投影的關(guān)系（數(shù)量積的幾何定義）：向量數(shù)量積公式為，可變形為或，進(jìn)而與向量投影找到聯(lián)系（1）數(shù)量積的投影定義：向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模長(zhǎng)乘以另一個(gè)向量在該向量上的投影，即（記為在上的投影）（2）投影的計(jì)算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長(zhǎng)進(jìn)行求解：即數(shù)量積除以被投影向量的模長(zhǎng)5、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問(wèn)題（1）圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時(shí)便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對(duì)角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點(diǎn)）（2）從模長(zhǎng)角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個(gè)模長(zhǎng)是定值，則可以考慮利用投影，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的問(wèn)題二、典型例題：例1：已知向量滿足，且，則在方向上的投影為（）A．3B．.C．D．思路：考慮在上的投影為，所以只需求出即可。由可得：，所以。進(jìn)而答案：C小煉有話說(shuō)：本題主要應(yīng)用投影的計(jì)算公式，注意在哪個(gè)向量投影，便用數(shù)量積除以該向量的模長(zhǎng)例2：如圖，在中，，是邊上的高，則的值等于（）A．0B．4C．8D．思路：由圖中垂直可得：在上的投影為，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以答案：B例3：兩個(gè)半徑分別為的圓,公共弦長(zhǎng)為3，如圖所示，則__________.思路：為兩個(gè)圓的公共弦，從而圓心到弦的投影為的中點(diǎn)，進(jìn)而在上的投影能夠確定，所以考慮計(jì)算和時(shí)可利用向量的投影定義。解：取中點(diǎn)，連結(jié)，由圓的性質(zhì)可得：例4：如圖，為的外心，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，則的值為（）A.4B.C.D.思路：外心在上的投影恰好為它們的中點(diǎn)，分別設(shè)為，所以在上的投影為，而恰好為中點(diǎn)，故考慮，所以答案：B小煉有話說(shuō)：題目中遇到外心時(shí)，要注意外心的性質(zhì)，即到各邊的投影為各邊的中點(diǎn)，進(jìn)而在求數(shù)量積時(shí)可聯(lián)想到投影法。例5：若過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是_______思路：本題中因?yàn)槲恢貌粩嘧兓?，所以不易用?shù)量積定義求解，可考慮利用投影，即過(guò)作直線的垂線，垂足為，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，位于其他位置時(shí)，點(diǎn)始終位于的反向延長(zhǎng)線上，，故，故，下面尋找最小值，即的最大值，可得當(dāng)在上的投影與重合時(shí)，最大，即為，此時(shí)直線即為直線。所以。進(jìn)而的范圍是答案：例6：已知，且的夾角為，點(diǎn)是的外接圓上優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________思路：題中的模長(zhǎng)為定值，考慮即為乘以在上的投影，從而的最大值只需尋找投影的大小，觀察圖形可得只有當(dāng)與同向時(shí)，投影最大。即，只需計(jì)算的模長(zhǎng)即可解：當(dāng)與同向時(shí)，在上的投影最大在中，即答案：例7：如圖，菱形的邊長(zhǎng)為為中點(diǎn)，若為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為（）A.B.C.D.思路：在所給菱形中方向大小確定，在求數(shù)量積時(shí)可想到投影定義，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要尋找在上的投影的最大值即可，而點(diǎn)也確定，所以只需在菱形內(nèi)部和邊界尋找在投影距離最遠(yuǎn)的，結(jié)合圖像可發(fā)現(xiàn)的投影距離最遠(yuǎn)，所以，再由表示后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可解：答案：9小煉有話說(shuō)：（1）從例7也可以看出投影計(jì)算數(shù)量積的一個(gè)妙用，即在求數(shù)量積最值時(shí)，如果其中一個(gè)向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取得最值的情況（2）在找到取到最值的點(diǎn)位置后，發(fā)現(xiàn)利用投影計(jì)算數(shù)量積并不方便（投影，不便于計(jì)算），則要靈活利用其他方法把數(shù)量積計(jì)算出來(lái)（尋求基底，建系等）。正所謂：尋找最值用投影，而計(jì)算時(shí)卻有更多方法供選擇。例8：如圖，在等腰直角中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）任一點(diǎn)，則的取值范圍是____________思路：因?yàn)辄c(diǎn)為內(nèi)任一點(diǎn)，所以很難用定義表示出，考慮利用投影定義。由長(zhǎng)為定值，可得為乘以在上的投影，所以只需找到投影的范圍即可。如圖，過(guò)作的垂線，則點(diǎn)的投影為，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影最大且為線段的長(zhǎng)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影最小，為，分別計(jì)算相關(guān)模長(zhǎng)即可。在圖中有條件可得：，所以可得：，則，所以，由，為中點(diǎn)可得：為中點(diǎn)，從而在方向上的投影分別為，由即可求得的范圍為答案：例9：已知為直角三角形的外接圓，是斜邊上的高，且，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若是中繞圓心運(yùn)動(dòng)的一條直徑，則_________思路：本題的難點(diǎn)在于是一條運(yùn)動(dòng)的直徑，所以很難直接用定義求解?？紤]到為直徑，所以延長(zhǎng)交圓于，即可得，則在上的投影向量為。所求，而由聯(lián)想到相交弦定理，從而?？紤]與已知條件聯(lián)系求出直徑上的各段線段長(zhǎng)度。由射影定理可得：，且，所以解得，再由為的中點(diǎn)可得，所以，進(jìn)而答案：例10：已知為線段上一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足，，，且，則的值為（）A.B.C.D.思路：從條件上判斷很難用代數(shù)方式求解，所以考慮作圖觀察幾何特點(diǎn)，則。由及所求可想到投影與數(shù)量積的關(guān)系，即在上的投影相等，即可得到平分。再分析，且為的單位向量，由平行四邊形性質(zhì)可得和向量平分，而與和向量共線，從而平分，由此可得為的內(nèi)心，作出內(nèi)切圓。所求也可視為在上的投影，即，由內(nèi)切圓性質(zhì)可得：，所以，且有，可解得答案：C小煉有話說(shuō)：本題用到向量運(yùn)算中的兩個(gè)幾何意義，從而將表達(dá)式與圖形特征聯(lián)系起來(lái)：一個(gè)是向量投影的定義；一個(gè)是兩個(gè)模長(zhǎng)相等向量（如單位向量）的和平分向量夾角。三、歷年好題精選（數(shù)量積三種求法綜合）1、如圖：在平行四邊形中，已知，，則的值是.2、已知的半徑為1，四邊形為其內(nèi)接正方形，為的一條直徑，為正方形邊界上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________3、已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4、已知是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn),且滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．5、如圖，是半徑為1的圓上兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是__________6、（2015，福建文）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.B.C.D.7、（2015，天津）在等腰梯形中,已知,動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上,且,則的最小值為_(kāi)___答案：8、（2015，山東）已知菱形的邊長(zhǎng)為，則（）A.B.C.D.9、（2015，福建）已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A.B.C.D.10、（2016，無(wú)錫聯(lián)考）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑，作弧交于點(diǎn)．若為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______11、（2016，南京金陵中學(xué)期中）如圖，梯形中，∥，若，則_______12、已知圓的直徑為，點(diǎn)是圓周上異于的一點(diǎn)，且，若點(diǎn)是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）A.B.C.D.13、如圖，在半徑為1的扇形中，為弧上的動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則最小值是__________14、如圖，已知圓，四邊形為圓的內(nèi)接正方形，分別為邊的中點(diǎn)，當(dāng)正方形繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是（）A.B.C.D.15、在直角梯形中，，，且，是