7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第七章復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的幾何意義人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解復(fù)平面的概念.2.理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對應(yīng)關(guān)系.3.掌握復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)的概念,會求復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù).基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面(1)復(fù)平面:建立了直角坐標(biāo)系來表示

的平面叫做復(fù)平面;

(2)實軸:坐標(biāo)系中的x軸叫做

,實軸上的點都表示

;

(3)虛軸:坐標(biāo)系中的y軸叫做

,除了原點外,虛軸上的點都表示

.

復(fù)數(shù)實軸實數(shù)虛軸純虛數(shù)2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng):復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)

復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b);(2)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng):

實數(shù)0對應(yīng)零向量復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量

.名師點睛復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是向量的起點為原點,否則,不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.過關(guān)自診1.虛軸上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)嗎?提示

不都是,虛軸上的點除了原點外都表示純虛數(shù),原點表示實數(shù)0.2.[蘇教版教材例題]在復(fù)平面內(nèi),分別用點和向量表示下列復(fù)數(shù):4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.圖1圖2知識點2

復(fù)數(shù)的模1.定義:向量

的

叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模或絕對值,記作|z|或|a+bi|.

模過關(guān)自診1.復(fù)數(shù)的模的幾何意義是什么?2.已知復(fù)數(shù)z的實部為-1,虛部為2,則|z|=

.

3.[蘇教版教材例題]已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=-1+5i,試比較它們模的大小.提示

復(fù)數(shù)的模就是該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離.解析

由題意可知z=-1+2i,所以|z|=.知識點3

共軛復(fù)數(shù)一般地,當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部

,虛部

時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做

.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示,即如果z=a+bi,那么

=a-bi.

名師點睛1.設(shè)z1=a+bi,對應(yīng)的點為Z1(a,b),Z2=a-bi,對應(yīng)的點為Z2(a,-b),點Z1與Z2關(guān)于實軸對稱.2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則z=?b=0.相等互為相反數(shù)共軛虛數(shù)過關(guān)自診1.如果兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),那么它們的模有什么關(guān)系?2.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第幾象限?提示

相等.提示

第三象限,因為復(fù)數(shù)和其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.3.在復(fù)平面內(nèi),點(1,-2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(

)

A.1+2i B.1-2iC.-1+2i D.-2+iA解析

點(1,-2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1-2i,所以

=1+2i.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)【例1】

(1)若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在實軸的上方,則(

)A.a>0且b>0 B.a∈R且b>0C.a≥0且b>0 D.a∈R且b<0B解析

復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a,b),它在實軸的上方,則a∈R,b>0.(2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i+2i2對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

∵z=i+2i2=-2+i,實部小于0,虛部大于0,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限.規(guī)律方法

利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)的解題步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).(2)根據(jù)已知條件,確定實部與虛部滿足的關(guān)系.變式訓(xùn)練1實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(1)對應(yīng)的點在x軸上方;(2)對應(yīng)的點在直線x+y+4=0上?解

(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以當(dāng)m<-3或m>5時,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在x軸上方.探究點二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)【例2】

在復(fù)平面上,點A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+4i,-3i,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點.求平行四邊形OABC的頂點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).規(guī)律方法

1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化(1)對應(yīng):復(fù)數(shù)z與向量

是一一對應(yīng)關(guān)系.(2)轉(zhuǎn)化:復(fù)數(shù)的有關(guān)問題可轉(zhuǎn)化為向量問題求解.2.解決復(fù)數(shù)問題的主要思想方法(1)轉(zhuǎn)化思想:復(fù)數(shù)問題實數(shù)化;(2)數(shù)形結(jié)合思想:利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決;(3)整體化思想:利用復(fù)數(shù)的特征整體處理.變式訓(xùn)練2(1)已知復(fù)數(shù)z1=-3+4i,z2=2a+i(a∈R)對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點分別為Z1和Z2,O為原點,且,求實數(shù)a的值.(2)在復(fù)平面內(nèi),若點P是復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的對應(yīng)點,請根據(jù)下列點P的位置分別求復(fù)數(shù)z:①在虛軸上;②在實軸負(fù)半軸上.解

①若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點P在虛軸上,則m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此時,z=6i或z=0.②若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點P在實軸負(fù)半軸上,探究點三復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用【例3】

若復(fù)數(shù)z=(a+2)-2ai的模等于,求實數(shù)a的值.規(guī)律方法

1.計算復(fù)數(shù)的模時,應(yīng)先確定其實部與虛部,再套用公式計算.2.兩個復(fù)數(shù)相等,其模必相等,反之,兩個復(fù)數(shù)的模相等,這兩個復(fù)數(shù)不一定相等.3.兩個復(fù)數(shù)不一定能夠比較大小,但兩個復(fù)數(shù)的模一定可以比較大小.變式訓(xùn)練3若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y=2x上,且|z|=,則復(fù)數(shù)z=

.

1+2i或-1-2i探究點四共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用【例4】

[2023四川成都月考]若復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),其中m∈R,則||=

.

3解析

∵復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i為純虛數(shù),所以m-2=0,且m+1≠0,解得m=2,所以z=3i,所以

=-3i,∴||=3.規(guī)律方法

共軛復(fù)數(shù)的關(guān)注點本節(jié)內(nèi)容對共軛復(fù)數(shù)的要求有兩點:一是會利用定義寫出已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);二是明確互為共軛的兩個復(fù)數(shù)表示的點的對稱關(guān)系.變式訓(xùn)練4已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=1+i,則

的實部與虛部之差為(

)A.1 B.0 C.-2 D.2C解析

=1-i,實部為1,虛部為-1,所以實部與虛部之差為1-(-1)=2.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的對應(yīng)關(guān)系.(2)復(fù)數(shù)的模及幾何意義.(3)共軛復(fù)數(shù).2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):虛數(shù)不能比較大小,虛數(shù)的?？梢员容^大小.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.若復(fù)數(shù)z=-2+i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=-2-i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-2,-1),位于第三象限.12345D123453.(多選題)已知復(fù)數(shù)z=1+i(其中i為虛數(shù)單位),則以下說法正確的有(

)A.復(fù)數(shù)z的虛部為iB.|z|=C.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=1-iD.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限BCD解析

因為復(fù)數(shù)z=1+i,所以其虛部為1,即A錯誤;復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=1-i,故C正確;復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,1),位于第一象限,故D正