考研數(shù)學(xué)二分類模擬262

考研數(shù)學(xué)二分類模擬262解答題1.

正確答案：解：當(dāng)n→∞時(shí)，又由

可知，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

[考點(diǎn)]等價(jià)無窮小及導(dǎo)數(shù)的定義．

[解析]利用導(dǎo)數(shù)定義的變形形式求解．

2.

設(shè)A是3階對(duì)稱矩陣，各行元素之和為6，且A的伴隨矩陣為零矩陣，求A.正確答案：解：由于A的各行元素之和為6，所以A≠O，即r(A)≥1．而若r(A)≥2，則A至少有一個(gè)2階子式非零，這與A*=O矛盾，所以r(A)=1．設(shè)A的第1行為(a，b，c)，其中a+b+c=6，則A的第2行和第3行可設(shè)為(ka，kb，kc)，(la，lb，lc)，再結(jié)合ka+kb+kc=la+lb+lc=6可知k=l=1，所以

又由于A為對(duì)稱矩陣，所以a=b=c=2，即

[考點(diǎn)]矩陣的性質(zhì)．

[解析]根據(jù)條件先得到A的秩，再根據(jù)對(duì)稱矩陣的條件求A.

3.

若e-x是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求：

(1)∫f(x)dx；

(2)∫f'(x)dx；

(3)∫exf'(x)dx.正確答案：解：由題意知，f(x)=(e-x)'=-e-x．

(1)∫f(x)dx=∫(-e-x)dx=e-x+C．

(2)∫f'(x)dx=∫e-xdx=-e-x+C．

(3)∫exf'(x)dx=∫1dx=x+C.[考點(diǎn)]原函數(shù)的基本概念和性質(zhì)．

[解析]根據(jù)原函數(shù)的定義求函數(shù)f(x)．

熟練掌握原函數(shù)，不定積分的定義及性質(zhì)．

4.

已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=f'(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計(jì)算二重積分正確答案：解：由題意

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算，分部積分法．

[解析]本題由于被積函數(shù)含有偏導(dǎo)數(shù)，故可利用分部積分法．

本題具有一定的綜合性，將二重積分的計(jì)算與分部積分法的使用結(jié)合了起來．

5.

已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在橢圓域上的最大值和最小值．正確答案：解：由dz=2xdx-2ydy知

故f(x，y)=x2-y2+C.

又由f(1，1)=2得C=2，故f(x，y)=x2-y2+2.

在D的內(nèi)部，由得駐點(diǎn)(0，0)，且f(0，0)=2．

在D的邊界上，把y2=4(1-x2)代入f(x，y)，得

z=x2-4(1-x2)+2=5x2-2(-1≤x≤1).

令z'=10x=0，得x=0，且z|x=0=-2，z|x=±1=3．

綜上所述，f(x，y)在D上的最大值為3，最小值為-2．[考點(diǎn)]求二元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值，已知全微分求函數(shù)的表達(dá)式．

[解析]本題應(yīng)先求出f(x，y)的表達(dá)式，再求在D上的最值．

本題將已知全微分求函數(shù)表達(dá)式與求二元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值結(jié)合了起來．

6.

設(shè)A，B為n階矩陣，A有行個(gè)互異的特征值，且AB=BA，證明：B可以相似對(duì)角化．正確答案：解：A可相似對(duì)角化，即

因?yàn)锳B=BA，，故

因?yàn)榕c對(duì)角矩陣可交換的也是對(duì)角矩陣，所以PBP-1為對(duì)角矩陣，即B可以相似對(duì)角化．[考點(diǎn)]矩陣相似對(duì)角化的判別．

[解析]借助矩陣乘法的交換性實(shí)現(xiàn)對(duì)角化．

本題思路具有一定新穎性，符合現(xiàn)在的命題趨勢(shì)．

7.

設(shè)矩陣求矩陣B，使得B*=A.正確答案：解：由r(B*)=1知r(B)=2．由B*B=O可知B的列向量為方程組B*x=0的解．其基礎(chǔ)解系為

α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T．

令B=(α1，α2，α3)，

其中α3=(k1+k2，-k1，-k2)T．由BB*=O可得k1=k2=1，從而

[考點(diǎn)]齊次線性方程組的變形．

[解析]利用伴隨矩陣的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的求解．

涉及伴隨矩陣的題目，請(qǐng)大家務(wù)必聯(lián)想到重要公式：AA*=A*A=|A|E.本題便是利用這一公式，將問題巧妙轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的求解．

8.

求函數(shù)z=f(x，y)=x2+y2-2x-4y在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤20，y≥0}上的最大值和最小值．正確答案：解：解方程組得D內(nèi)部的駐點(diǎn)(1，2)，且有f(1，2)=-5．

在D的邊界上，把y=0代入f(x，y)，得

易知該函數(shù)在內(nèi)有最小值-1，無最大值．

在D的邊界代入f(x，y)，得

由于z|x=2=0，z|x=-2=8，，故該函數(shù)在上有最大值和最小值0，從而f(x，y)在D的邊界上有最大值和最小值-1．

綜上所述，f(x，y)在D上的最大值為，最小值為[考點(diǎn)]求二元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值．

[解析]本題應(yīng)先求f(x，y)在D內(nèi)部的駐點(diǎn)處的函數(shù)值，再求f(x，y)在D邊界上的最值，最后比較兩者的大小．

注意本題切莫忽略D的邊界y=0.

9.

設(shè)函數(shù)u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式確定a，b的值，使等式在變換ζ=x+ay，η=x+by下簡(jiǎn)化為正確答案：解：

[考點(diǎn)]已知偏導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值．

[解析]本題應(yīng)先根據(jù)ζ=x+ay，η=x+by分別求出再將其代入從而求出a，b的值．

10.

計(jì)算二重積，其中D是由直線x+y=1與坐標(biāo)軸所圍成的平面區(qū)域．正確答案：解：解法1令u=y-x，v=y+x，則，D變?yōu)橛蓈=u，v=-u與v=1圍成的區(qū)域D'，且

于是

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題被積函數(shù)的形式較復(fù)雜，可以先換元再計(jì)算二重積分．

在利用換元法計(jì)算二重積分時(shí)，積分區(qū)域也應(yīng)一起換．

求數(shù)列極限：11.

．正確答案：解：因?yàn)閟in(x±nπ)=(-1)nsinx，所以

[考點(diǎn)]含三角函數(shù)的數(shù)列極限求解．

[解析]恒等變形求極限．

當(dāng)求數(shù)列極限出現(xiàn)根號(hào)加減的情況時(shí)，可以考慮有理化，另外，需熟記以下三角恒等公式(n∈Z+)：

(1)sin(x±nπ)=(-1)nsinx，sin(x±2nπ)=sinx；

(2)sinnπ=0，cosnπ=(-1)n．

12.

正確答案：解：因?yàn)閟in(x±2nπ)=sinx，所以

[考點(diǎn)]含三角函數(shù)的數(shù)列極限求解．

13.

計(jì)算∫f(x)dx．正確答案：解：

[考點(diǎn)]不定積分的運(yùn)算．

[解析]利用已知條件給出函數(shù)的表達(dá)式，求解不定積分．

14.

設(shè)f(x)=3x3+|x|x2，求f(n)(0)存在的最高階數(shù)n．正確答案：解：

即f'(0)=0，故

由二階導(dǎo)數(shù)定義得

即f"(0)=0，因此

再由三階導(dǎo)數(shù)定義可得

因?yàn)?，所以f'"(0)不存在，從而n=2．[考點(diǎn)]含絕對(duì)值表達(dá)式的可導(dǎo)性判定．

[解析]將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求分界點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)．

15.

求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．正確答案：解：

在點(diǎn)處，由于且A＞0，故f(x，y)有極小值[考點(diǎn)]求多元函數(shù)的極值．

[解析]本題可先后利用二元函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件求極值．

本題是一道基礎(chǔ)題，熟練掌握多元函數(shù)取極值的充分條件．

16.

試確定兩條心臟線ρ=a(1-cosθ)和ρ=a(1+cosθ)(a＞0)交點(diǎn)處的切線的位置關(guān)系是垂直還是平行．正確答案：解：曲線ρ=a(1+cosθ)化為參數(shù)方程

其斜率為

曲線ρ=a(1-cosθ)化為參數(shù)方程為

其斜率為

求兩曲線的交點(diǎn)．由解得cosθ=0，于是兩曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為．

在，因?yàn)閗1k2=-1，所以兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直．

在，因?yàn)閗1k2=-1，所以兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直．[考點(diǎn)]極坐標(biāo)系下方程的求導(dǎo)．

[解析]將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的參數(shù)方程求導(dǎo)，通過切線斜率確定位置關(guān)系．

17.

正確答案：解：方程eysint-y+1=0兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得

因此

[考點(diǎn)]參數(shù)方程求導(dǎo)．

[解析]由方程確定的隱函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合參數(shù)方程求導(dǎo)法求解．

參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．本題結(jié)合方程確定的隱函數(shù)來確定參數(shù)關(guān)系，在求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，特別要注意一階導(dǎo)數(shù)中的自變量和因變量．

已知3階矩陣A與3維列向量x使得向量組x，Ax，A2x線性無關(guān)，且滿足A3x=3Ax-2A2x=0.18.

記P=(x，Ax，A2x)，求3階矩陣B，使得A=PBP-1．正確答案：解：由于AP=PB，即

[考點(diǎn)]矩陣的相似．

[解析]利用表示矩陣得到相似關(guān)系．

判斷矩陣的相似關(guān)系在很多情況下是借助表示矩陣來實(shí)現(xiàn)的．

19.

計(jì)算行列式|A+E|．正確答案：解：由第一問知A～B，那么A+E～B+E，從而

[考點(diǎn)]矩陣的相似．

20.

設(shè)向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，且可以由向量組β1，β2，…，βt線性表示，證明：必存在某個(gè)向量βj(j=1，2，…，t)，使得向量組βj，α2，…，αs線性無關(guān)．正確答案：解：反證法．假設(shè)不存在βj使得向量組βj，α2，…，αs線性無關(guān)，則對(duì)任何βj(j=1，2，…，t)都有βi，α2，…，αs線性相關(guān)．由于α1，α2，…，αs線性無關(guān)，所以它的部分組α2，…，αs也線性無關(guān)，從而由βj，α2，…，αs線性相關(guān)得βj(j=1，2，…，t)可由α2，…，αs線性表示．又已知安撫2，…，αs可由向量組β1，β2，…，βt線性表示，所以α2，…，αs與β1，β2，…，βt等價(jià)，從而r(β1，β2，…，βt)=r(α2，…，αs)=s-1．另外，由α1，α2，…，αs線性無關(guān)，且可以由向量組β1，β2，…，βt，線性表示，可得s=r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βs)=s-1，矛盾，

所以，必存在某個(gè)向量βj(j=1，2，…，t)，使得向量組βi，α2，…，αs線性無關(guān)．[考點(diǎn)]線性相關(guān)性的證明．

[解析]利用反證法．

線性相關(guān)性的證明