考研數(shù)學二模擬391

考研數(shù)學二模擬391一、選擇題每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.

設f(x)在[0，1]連續(xù)且非負但不恒等于零，記

則它們的大小關系為A.I1＜I2＜I3．B.I3＜I1＜I2．C.I2＜I1＜I3．D.I3＜I2＜I1．正確答案：B[解析]比較兩個連續(xù)函數(shù)的定積分大小關系時，若積分區(qū)間不同，常常是通過變量替換轉化為積分區(qū)間相同的情形，從而轉化為比較被積函數(shù)的大小．

因此I3＜I1＜I2．選B．

因此I3＜I1＜I2．選B．

2.

設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導，且f"(x)＞0(x∈(a，b))，又

則下列不等式成立的是A.L＞M＞N．B.L＞N＞M．C.M＞L＞N．D.N＞L＞M．正確答案：B[解析一]由題設知y=f(x)是[a，b]上的凹函數(shù)，借助于幾何直觀我們可選擇正確答案．

L，M，N分別代表梯形ABCD，梯形ABFGE與曲邊梯形ABCGD的面積(如圖)，G是點，EF是曲線y=f(x)在點G處的切線，于是由面積的大小關系可得L＞N＞M．故選B．

[解析二]y=f(x)是[a，b]上的凹函數(shù)，由凹函數(shù)的性質(zhì)，它的幾何意義是：弦在曲線y=f(x)(x∈(a，b))的上方，除G點外曲線y=f(x)(x∈[a，b])在曲線上G點的切線EF的上方(如上圖)．用式子表示即

將上述不等式各項求積分得

其中

因此L＞N＞M．故選B．

3.

設其中1＜λ≤2，則f(x)在x=0處A.不連續(xù)．B.連續(xù)但不可導．C.可導但f'(x)在x=0不連續(xù)．D.可導且f'(x)在x=0連續(xù)．正確答案：C[解析]先考察

其中在x=0空心鄰域有界，

再求

其中

當λ＞1時，

當λ≤2時，

時

即f'(x)在x=0不連續(xù)．

因此，選C．

由上述討論易知：

1.當λ＞2時，即f'(x)在x=0連續(xù)．

2.當0＜λ≤1時，f(x)在x=0連續(xù)但不可導．

3.當λ≤0時，f(x)在x=0不連續(xù)．

4.

設f(x)是arcsin(1-x)的原函數(shù)且f(0)=0，則

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]已知f'(x)=arcsin(1-x)，求我們不必先求出f(x)，而是把求I轉化為求與f'(x)相關的積分，就要用分部積分法或把再積分．

[方法一]用分部積分法可得

也可用分解法求出

選D．

[方法二]由于且f(0)=0，于是

代入得

其中

D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤z}

={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}

現(xiàn)交換積分次序得

5.

設f(x)在[0，+∞)連續(xù)，又f(x)是的解，則

A．0.

B．a(chǎn)．

C．∞．

D．正確答案：C[解析]先求解方程

兩邊同乘得

(ex2y)'=ex2f(x)

積分得通解

于是

因此選C．

6.

設區(qū)域D：x2+y2≤1，則可以化成的累次積分為

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]因為區(qū)域D：x2+y2≤1關于x軸，y軸均對稱，函數(shù)f(x2+y2)關于y，x都是偶函數(shù)，所以

其中D1：x2+y2≤1，x≥0，y≥0.作極坐標變換并化為累次積分得

選C．

若先y后x化為累次積分是

7.

已知α1，α2，α3，α4是齊次方程組Ax=0的基礎解系，則Ax=0的基礎解系還可以是A.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1．B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．C.α1，α2+α3，α3+α4，α4．D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4+α1．正確答案：C[解析]由題意Ax=0的基礎解系是由4個線性無關的解向量所構成．

根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)，所給出的4組向量都是Ax=0的解，因而本題是要判斷哪一組線性無關．

用觀察法，知

(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0

故A線性相關．

或由

而，故

r(α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1)＜4

即選項A線性相關．類似可知選項B、D線性相關．

用秩可判斷出選項C線性無關．

8.

設矩陣，則A和BA.合同，但不相似．B.合同，且相似．C.相似，但不合同．D.既不合同，也不相似．正確答案：A[解析]兩個實對稱矩陣相似特征值相同，

兩個實對稱矩陣合同正、負慣性指數(shù)分別相等．

得A的特征值：1，4，0.而B的特征值：3，2，0.

所以A和B不相似，但A和B合同(因為p=2，q=0)．

二、填空題1.

數(shù)列極限正確答案：1[解析一]由積分中值定理知，ξ∈(n，n+1)使得

[解析二]x≥1時估計利用適當放大縮小法求該極限．

現(xiàn)考察的單調(diào)性．

因為

因此當單調(diào)下降．

當x∈[n，n+1]時，，于是

又

因此

2.

設周期函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導，周期為4，又則曲線y=f(x)在點(5，f(5))處的切線的斜率為______．正確答案：-2[解析]由f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導，且f(x)=f(x+4)，兩邊對x求導，則f'(x)=f'(x+4)，故f'(5)=f'(1)．

又因為

則f'(1)=-2.故y=f(x)在(5，f(5))處的切線斜率為f'(5)=-2.

3.

函數(shù)的值域區(qū)間是______．正確答案：[1，+∞)[解析]y(x)在(1，+∞)連續(xù)，求f(x)的值域區(qū)間，歸結為分析y(x)的單調(diào)性并求

為y(x)在(1，+∞)上的最小值．又

因此y(x)的值域區(qū)間是[1，+∞)．

4.

設有擺線則L繞x軸旋轉一周所成的旋轉面的面積A=______．正確答案：[解析]按曲線由參數(shù)方程給出時，旋轉面的面積公式：

該題有如下變式：

(Ⅰ)擺線L的弧長l=______．

解：按由參數(shù)方程給出的曲線的弧長計算公式

(Ⅱ)擺線L的形心=______．

解：L關于y軸對稱只須求按曲線的形心公式有

因此，形心

5.

設u=u(x，y)，則u(x，y)=______．正確答案：[解析]

6.

三元二次型xTAx經(jīng)正交變換x=Qy化為標準型如果矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量是α=(1，1，-2)T，那么Q=______．正確答案：[解析]求正交變換Q就是求矩陣A的特征向量，而二次型矩陣A是實對稱矩陣，實對稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，故可設矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量是X=(x1，x2，x3)T．于是

αTX=x1+x2-2x3=0

解出α2=(-1，1，0)T，α3=(2，0，1)T．

由于Q是正交矩陣，現(xiàn)在α2，α3不正交，故需Schmidt正交化．

令β1=α2=(-1，1，0)T，則有

再單位化，得

所以

三、解答題15～23小題，共94分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設f(x)在[0，+∞)連續(xù)且則在(0，+∞)為常數(shù)；正確答案：[證明]實質(zhì)上x＞0時f(x)可導，考察由題設

2.

設f(x)在(a，b)二階可導且x∈(a，b)時則lnf(x)在(a，b)為凹函數(shù)．正確答案：y=lnf(x)(x∈(a，b))，先求

再求

在(a，b)為凹函數(shù)．

已知函數(shù)y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0確定．3.

求證：y(x)在x=0取極值，并判斷是極大值還是極小值，又判斷曲線y=y(x)在x=0附近的凹凸性；正確答案：[證明]在方程中令

將方程兩邊對x求導兩次得

eyy'+6xy'+6y+2x=0

①

eyy"+eyy'2+6xy"+12y'+2=0

②

將x=0，y=0代入①得y'(0)=0，再以x=0，y=0，y'=0代入②得y"(0)=-2.因此y(x)在x=0取極值，并取極大值．

由方程知，y(x)有二階連續(xù)導數(shù)．由y"(x)的連續(xù)性知存在x=0的一個鄰域，

在此鄰域y"(x)＜0，即曲線y=y(x)在點(0，0)附近是凸的．

4.

求證：g(y)=ey+6y在(-∞，+∞)有唯一零點，該零點取負值．正確答案：[證明]考察則g'(y)=ey+6＞0，g(y)在(-∞，+∞)單調(diào)上升，又g(0)-1＞0，在(-∞，+∞)有唯一零點，記為y1，y1＜0.

5.

求證：y(x)在x=1某鄰域是單調(diào)下降的．正確答案：[證明]在原方程中令x=1得ey(1)+6y(1)=0，由(Ⅱ)的結論，于是y(1)=y1＜0.

由①式

由

再由y'的連續(xù)性知，存在x=1的一個鄰域，在此鄰域y'(x)＜0，即y(x)在此鄰域單調(diào)下降．

已知通過x軸上的兩點A(1，0)，B(3，0)的拋物線y=a(x-1)(x-3)，a為參數(shù)．6.

求證：兩坐標軸與該拋物線所圍成的面積等于x軸與該拋物線所圍成的面積；正確答案：[證明]過A(1，0)，B(3，0)兩點的拋物線方程為y=a(x-1)(x-3)，則兩坐標軸與該拋物線所圍成的面積為：

x軸與該拋物線所圍成的面積為

所以S1=S2．

7.

計算上述兩個平面圖形繞x軸旋轉一周所產(chǎn)生的兩個旋轉體體積之比．正確答案：[解]兩坐標軸與該拋物線所圍成的圖形繞x軸旋轉一周所產(chǎn)生的旋轉體體積為

x軸與該拋物線所圍成的圖形繞x軸旋轉一周所產(chǎn)生的旋轉體體積為

所以[解析]本題考查①平面圖形面積；②旋轉體體積．具體到本題，根據(jù)已知條件設拋物線方程為y=a(x-1)(x-3)很重要，這樣可以使后面計算簡化．

8.

設曲線Γ的方程為φ(x，y)=0，其中φ(x，y)有一階連續(xù)偏導數(shù)且在Γ上任意點處φ'x(x，y)與φ'y(x，y)不同時為零．設點P(x*，y*)為Γ外一點，(Q在Γ上，坐標為(x0，y0))為點P到曲線Γ的最短距離．求證：必位于曲線Γ在點Q處的法線．正確答案：[證明]Γ上任意點M(x，y)與P(x*，y*)的距離平方為

按題設，Q(x0，y0)為f(x，y)在條件φ(x，y)=0下的最小值點．用拉格朗日乘數(shù)法，引入函數(shù)

L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)

則Q(x0，y0)應滿足

由此要證的斜率等于Γ在Q點的法線的斜率．

由①②式

由隱函數(shù)求導法知，Γ在Q(x0，y0)處切線的斜率是

Γ在Q點的法線斜率是而的斜率是因此④式表示，必位于曲線Γ在點Q處的法線．

9.

計算正確答案：[解法一]由被積函數(shù)和區(qū)域D可看出，本題宜采用極坐標．

的極坐標方程分別為r=2和r=2cosθ．D的極坐標表示：

于是

[解法二]D看成區(qū)域D'1與D'2的差集，D'1是由直線段圓弧及x軸圍成的區(qū)域，D'2是圓弧及x軸圍成的半圓域．它們的極坐標表示是

于是

[解析]這是x2+y2在某區(qū)域D上的二重積分的累次積分．直接計算累次積分不方便，求I即確定D，然后求出這個二重積分．

從題設的累次積分知，如圖所示．

①上述計算中用到了公式

②計算的另一方法是化二倍角和四倍角后直接積分：

10.

有一彈性輕繩(即本身的重量可忽略不計)上端固定，下端懸掛一重量為3克的物體，且已知此繩受一克重量的外力作用時伸長厘米．如果物體在繩子拉直并未伸長時放下，問物體向下運動到什么地方又開始上升?正確答案：[解]取物體剛放下時所處位置為坐標原點，建立坐標系，位移s向下為正．

(1)受力分析

彈性恢復力f=ks，由條件知，g為重力加速度．

重力mg=3g．

(2)列方程與初始條件

由牛頓第二定律得

初始條件：

(3)轉化．按題意，我們需求物體速度與s的關系．

于是方程改寫為

初條件為

(4)求解初值問題

分離變量得vdv=(g-8gs)ds

積分得

由

(5)結論．當物體開始向下運動到它開始向上運動時，此時速度v=0，故有

0=gs-4gs2

因此為所求．

設x∈(-∞，+∞)時f(x)有連續(xù)的導數(shù)，且又數(shù)列{xn}如下定義：x1任意給定，xn+1=f(xn)(n=1，2，3，…)，求證：11.

存在；正確答案：[證明]為證只須證{xn}單調(diào)有界．

若x2=x1，則f(x2)=f(x1)，即x3=x2，依此類推可得xn=x1(n=1，2，……)

下設x2≠x1．先證xn單調(diào)．由f'(x)＞0(x∈(-∞，+∞))f(x)在于是

由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)

與xn-xn-1同號，由此可歸納證明{xn}單調(diào)．(若x2＞x1，則xn單調(diào)上升；若x2＜x1，則xn單調(diào)下降)．

再證{xn}有界，易知

其中M＞0為某常數(shù)，因此|xn|=|f(xn-1)|≤M．

因{xn}單調(diào)有界，所以

12.

方程x=f(x)有唯一根．正確答案：[證明]記對xn+1=f(xn)，兩邊令n→∞取極限，由f(x)的連續(xù)性得a=f(a)，即a是f(x)=x的一個根，也是F(x)=x-f(x)的一個零點．

由在(-∞，+∞)單調(diào)上升，故零點唯一，即x=f(x)的根唯一．

已知齊次方程組Ax=0為

又矩陣B是2×4矩陣，Bx=0的基礎解系為

α1=(1，-2，3，-1)T，α2=(0，1，-2，1)T13.

求矩陣B；正確答案：[解]由B(α1，α2)=0有(α1，α2)TBT=0

那么矩陣BT的列向量(亦即矩陣B的行向量)是齊次方程組(α1，α2)Tx=0的解．對系數(shù)矩陣(α1，α2)T作初等行變換，有

得到基礎解系：(1，2，1