第15屆WMO世界數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽九年級(jí)A卷復(fù)賽含答案

姓名年級(jí)學(xué)校準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)姓名年級(jí)學(xué)校準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)賽區(qū)_________父母姓名、聯(lián)系電話_、---------------------------------------裝-----------------------------訂---------------------------線----------------------------------第15屆WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽（中國區(qū)）選拔賽---------------------------------------------------------------------------------考生須知：每位考生將獲得一份試卷。考試期間，不得使用計(jì)算工具或手機(jī)。本卷共120分，選擇題每小題4分，填空題每小題5分，解答題共5小題，共50分。3.請(qǐng)將答案寫在本卷上。考試完畢時(shí)，考卷及草稿紙會(huì)被收回。4.若計(jì)算結(jié)果是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)化至最簡。九年級(jí)地方晉級(jí)賽復(fù)賽A卷（本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘）選擇題（每小題4分，共40分）1．用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．8×10-1 B．8×10-2 C．2.3×10-1 D．2.3×10-2如圖，O為線段AB的中點(diǎn)，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到點(diǎn)O的距離分別是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四點(diǎn)中能與A、B構(gòu)成直角三角形的頂點(diǎn)是（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4第2題圖第3題圖第4題圖如圖，圓上有A、B、C三點(diǎn)，直線l與圓相切于點(diǎn)A，CD平分∠ACB，且與l交于點(diǎn)D，若eq\o(\s\up6(⌒),AB)=80°，eq\o(\s\up6(⌒),BC)=60°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．80° B．85° C．90° D．95°如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：4，∠OCD=90°，CO=CD．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（2，4） C．（2，2） D．（4，2）方程組的解的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．若等式（a、b為常數(shù)）成立，則a、b的值為（）A．a(chǎn)=4，b=－3 B．a(chǎn)=2，b=－1 C．a(chǎn)=－1，b=1 D．a(chǎn)=－1，b=2小夢(mèng)每周有100元零用錢，一小塊巧克力3元，一根棒棒糖2元．小夢(mèng)的幸福值可以用公式“幸福值=巧克力塊數(shù)×棒棒糖根數(shù)”來表示，則小夢(mèng)一個(gè)月可達(dá)到的幸福值最高為（）A．300 B．405 C．416 D．450如圖，矩形臺(tái)球桌ABCD，其中A、B、C、D處有球洞，已知DE=4，CE=2，BC=，球從E點(diǎn)出發(fā)，與DC夾角為α，經(jīng)過BC、AB、AD三次反彈后回到E點(diǎn)，則關(guān)于tanα的說法下列正確的是（）A．≤tanα＜ B．＜tanα＜ C．tanα= D．＜tanα＜3如圖，已知反比例函數(shù)y=的圖象過Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于C，連結(jié)AD、OC，若△ABO的周長為4+2，AD=2，則△ACO的面積為（）A． B． C．1 D．2將直線l1：y=x和直線l2：y=2x+1及x軸圍成的三角形面積記為S1，直線l2：y=2x+1和直線l3：y=3x+2及x軸圍成的三角形面積記為S2，…，以此類推，直線ln：y=nx+n－1和直線ln+1：y=（n+1）x+n及x軸圍成的三角形面積記為Sn，記W=S1+S2+…+Sn，當(dāng)n越來越大時(shí)，你猜想W最接近的常數(shù)是（）A． B． C． D．填空題（每小題5分，共30分）已知a2－5a－1=0，則5（1+2a）－2a2=___________．12．宜君手上有24張卡片，其中12張卡片作上“O”記號(hào)，另外12張卡片作上“X”記號(hào)．右圖表示宜君從手上拿出6張卡片放在桌面的情形，且她打算從手上剩下的卡片中抽出一張卡片，若她手上剩下的每張卡片被抽到的概率相等，則她抽出記號(hào)為“O”的卡片的概率是___________．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是經(jīng)過A點(diǎn)的一條直線，且B、C在AD的兩側(cè)，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于點(diǎn)F，CE=10，BD=4，則DE的長為_________．第13題圖第14題圖第16題圖如圖，將半徑為5的半圓的直徑平行于桌面上的直線b，然后把半圓沿直線b進(jìn)行無滑動(dòng)滾動(dòng)，直到半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長度為．15．正數(shù)m，n滿足m++4n=3，則的值為．已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，當(dāng)CE=時(shí)，點(diǎn)A、C、F在一條直線上．三、解答題（共5小題，共50分）17．解不等式：（8分）如果有理數(shù)m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”．那么兩個(gè)“世博數(shù)”之積也是“世博數(shù)”嗎？請(qǐng)證明．（9分）如圖，要設(shè)計(jì)一本畫冊(cè)的封面，封面長40cm，寬30cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形畫．如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)≈2.236）（10分）如圖①是一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖②所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm，點(diǎn)P為眼睛所在位置，D為AO的中點(diǎn)，連接PD，當(dāng)PD⊥AO時(shí)，稱點(diǎn)P為“最佳視角點(diǎn)”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC=12cm．（1）當(dāng)PA=45cm時(shí)，求PC的長；（5分）（2）若∠AOC=120°時(shí)，“最佳視角點(diǎn)”P在直線PC上的位置會(huì)發(fā)生什么變化？此時(shí)PC的長是多少？請(qǐng)通過計(jì)算說明．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）（5分）圖①圖②已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心，CB為半徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（3分）（2）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦MN的長；（4分）（3）當(dāng)△ABM與△ABN相似時(shí)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．（6分）備用圖

九年級(jí)A卷答案選擇題（每小題4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A10.B5.當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，原方程組可化為：解得由于y≤0，所以此種情況不成立；當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，原方程組可化為：解得當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，無解；當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，無解；因此只有一組解．設(shè)巧克力和棒棒糖的數(shù)量分別為x，y，幸福值為W，根據(jù)題意得：3x+2y≤100，W=xy，∴y=，∴3x+2≤100，∴W≤50x－x2=－（x－）2+，∵x，y為整數(shù)，∴x=16，y=26時(shí)，W最大=xy=416．如圖，∵DE=4，CE=2，球從E點(diǎn)出發(fā)，與DC夾角為α，經(jīng)過BC、AB、AD三次反彈后回到E點(diǎn)，∴四個(gè)三角形相似，并且相對(duì)的兩個(gè)三角形全等，∴CF=BC=2，∴在Rt△CEF中，tanα==．9.在Rt△AOB中，AD=2，AD為斜邊OB的中線，∴OB=2AD=4，由周長為4+2，得到AB+AO=2，設(shè)AB=x，則AO=2－x，根據(jù)勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2－x）2=42，整理得：x2－2x+2=0，解得x1=+，x2=－，∴AB=+，OA=－，過D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，可得E為AO中點(diǎn)，∴OE=OA=（－）（若OA=+，求出結(jié)果相同），在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE=（+），∴k=－DE?OE=－（+）×（－）=－，∴S△AOC=|k|=．將y=nx+n－1和y=（n+1）x+n聯(lián)立得：解得：∴無論k取何值，直線ln和直線ln+1均交于定點(diǎn)（－1，－1），k≠1時(shí)，ln與ln+1的圖象的示意圖如圖，∵y=nx+n－1與x軸的交點(diǎn)為A（，0），y=（n+1）x+n與x軸的交點(diǎn)為B（，0），∴Sn=S△ABC=×|AB|×|－1|=××1=，當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論同樣成立．∴W=S1+S2+S3+…+Sn==（1－+－+…+）=（1－）=．當(dāng)n越來越大時(shí)，越來越接近與1．∴越來越接近于，∴W越來越接近于．填空題（每小題5分，共30分）11.312.13.614.5π15.16.∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=4，AD=CE=10，∴DE=AD－AE=6．由圖形可知，圓心先向前走OO1的長度，圓心從O到O1的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，長度為圓的周長，然后沿著弧O1O2旋轉(zhuǎn)圓的周長，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長度為：×2π×5+×2π×5=5π．15.∵m+4+4n=3，∴m+4+4n－2（+2）－3=0，∴（+2）2－2（+2）－3=0，∴（+2－3）（+2+1）=0，∴+2=3，+2）=－1（不合題意，舍去），∴原式==．16.過F作FN⊥BC，交BC延長線于N點(diǎn)，連接AC，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽R(shí)t△ECD，∵DE的中點(diǎn)G，EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，∴DE:EF=2:1，∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1，∴CE=2NF，NE=CD=．∵∠ACB=45°，∴當(dāng)∠NCF=45°時(shí)，A、C、F在一條直線上．則△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴CE=2CN，∴CE=NE=×=．∴CE=時(shí)，A、C、F在一條直線上．解答題（共5小題，共50分）17.解：∵y2+1＞0，則原不等式可化為1+＞1－，解得y＞1.2．18.解：是的．證明如下：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理數(shù)，∴“世博數(shù)”m=p2+q2（其中p、q是任意有理數(shù)），只需p=x－2y，q=x－y即可．∴對(duì)于任意兩個(gè)“世博數(shù)”，不妨設(shè)一個(gè)為a=j2+k2，另一個(gè)為b=r2+s2，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)，則ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js－kr）2是“世博數(shù)”．19.解一：設(shè)上、下邊襯寬均為4xcm，左、右邊襯寬均為3xcm，則（40－8x）（30－6x）=×40×30．整理，得x2－10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm．解二：設(shè)中央矩形的長為4xcm，寬為3xcm，則4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=－4（舍去），∴上、下邊襯寬為20－8≈2.1，左、右邊襯寬均為15－6≈1.6，答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm．20.解：（1）如圖，當(dāng)PA=45cm時(shí)，連接PO．∵D為AO的中點(diǎn)，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC==27（cm）；（2）當(dāng)∠AOC=120°，如圖，過D作DE⊥OC交BO延長線于E，過D作DF⊥PC于F，則四邊形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，∴DE=DO?sin60°=6，EO=DO=6，∴FC=DE=6，DF=