高中數(shù)學 1.3 反證法基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.3反證法基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是()A．無解 B．兩解C．至少有兩解 D．無解或至少有兩解[答案]D2．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時大于零的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因為當PQR>0時，若P、Q、R不同時大于零，則P、Q、R中必有兩個負數(shù)，一個正數(shù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，兩式相加得b<0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.3．若x，y>0且x＋y>2，則eq\f(x,1＋y)或eq\f(y,1＋x)的值滿足()A.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)中至少有一個大于eq\f(1,2)B.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)都小于eq\f(1,2)C.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)都大于eq\f(1,2)D．不確定[答案]A[解析]利用反證法解決．假設(shè)eq\f(x,1＋y)≤eq\f(1,2)，eq\f(y,1＋x)≤eq\f(1,2)，x>0，y>0，則1＋y≥2x,1＋x≥2y?2＋x＋y≥2x＋2y?x＋y≤2，這與x＋y>2矛盾．二、填空題4．用反證法證明命題“若p1p2＝2(q1＋q2)，則關(guān)于x的方程x2＋p1x＋q1＝0與x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個方程有實數(shù)根”時，應(yīng)假設(shè)為________．[答案]兩個方程都沒有實數(shù)根5．設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個不小于________．[答案]eq\f(1,3)[解析]假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，與已知條件矛盾．a(chǎn)、b、c中至少有一個不小于eq\f(1,3).三、解答題6．求證：一個三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°.[解析]已知∠A、∠B、∠C為△ABC的三個內(nèi)角．求證：∠A、∠B、∠C中至少有一個不小于60°.證明：假設(shè)△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立．∴一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60°.一、選擇題1．“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”的否定為()A．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a、b、c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a、b、c中至少有兩個偶數(shù)D．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)[答案]D[解析]恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)，其二是至少有兩個偶數(shù)．2．若a、b、c不全為零，必須且只需()A．a(chǎn)bc≠0B．a(chǎn)、b、c中至少有一個為0C．a(chǎn)、b、c中只有一個是0D．a(chǎn)、b、c中至少有一個不為0[答案]D[解析]a、b、c不全為零，即a、b、c中至少有一個不為0.3．(·山東理，4)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根[答案]A[解析]至少有一個實根的否定為：沒有實根．反證法的假設(shè)為原命題的否定．4．設(shè)a、b、c為一個三角形的三邊，S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，若S2＝2ab，試證S<2a.用反證法證明該題時的假設(shè)為()A．S2≠2ab B．S>2C．S≥2a D．S≤[答案]C[解析]對“<”的否定應(yīng)為“≥”，故選C.5．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2CA．△A1B1C1和△A2B2CB．△A1B1C1和△A2B2CC．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2CD．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C[答案]D[解析]由條件知，△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f(π,2)－A1，,sinB2＝cosB1＝sin\f(π,2)－B1，,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2)－C1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1＝\f(π,2)－A1，,B2＝\f(π,2)－B1，,C2＝\f(π,2)－C1.))那么，A2＋B2＋C2＝eq\f(π,2)，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形．二、填空題6．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是__________________________________．[答案]存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角．7．某同學準備用反證法證明如下問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2).那么其反設(shè)應(yīng)該是__________________．[答案]如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，則|f(x1)－f(x2)|≥eq\f(1,2)[解析]根據(jù)題意知，反證法解題是從假設(shè)原命題不成立開始，把結(jié)論的否定作為條件，連同其他條件一起經(jīng)過推斷，得出與已知條件或已有原理相矛盾，從而肯定原命題的正確性．這里進行假設(shè)時，注意把函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)剝離出來作為已知條件．三、解答題8．已知非零實數(shù)a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不能構(gòu)成等差數(shù)列．[解釋]假設(shè)eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)能構(gòu)成等差數(shù)列，則由eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a、b、c構(gòu)成等差數(shù)列，即2b＝a＋c.②所以由①②兩式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝c，這與a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列矛盾．故假設(shè)不成立，因此eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不能構(gòu)成等差數(shù)列．9．已知a、b是正有理數(shù)，eq\r(a)、eq\r(b)是無理數(shù)，證明：eq\r(a)＋eq\r(b)必為無理數(shù)．[解析]假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，記p＝eq\r(a)＋eq\r(b)，因為a、b是正有理數(shù)，所以p>0.將eq\r(a)＝p－eq\r(b)兩邊平方，得a＝p2＋b－2peq\r(b)，所以eq\r(b)＝eq\f(p2＋b－a,2p).因為a、b、p均為有理數(shù)，所以eq\r(b)必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯誤．所以eq\r(a)＋eq\r(b)必為無理數(shù)．[點評]數(shù)學中的有些命題，所給條件不足以從正面證明結(jié)論正確，可采用反證法，否定結(jié)論，由此推出與已知或假設(shè)矛盾，證得結(jié)論．10．已知x、y、z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝eq\f(1,2)，求證：x、y、z∈[0，eq\f(2,3)]．[分析]本題中的條件比較復(fù)雜，而結(jié)論比較簡單，不太容易入手證明，可用反證法證明．[解析]假設(shè)x、y、z中有負數(shù)，不妨設(shè)x<0，則x2>0，則y＋z＝1－x，y2＋z2≥eq\f(y＋z2,2)，∴eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x<0，∴x－eq\f(2,3)<0.∴eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))>0.∴eq\f(1,2)≥eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2)>eq\f(1,2)，矛盾．∴x，y，z中沒有負數(shù)．假設(shè)x，y，z中有一個大于eq\f(2,3)，不妨設(shè)x>eq\f(2,3).則eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x>eq\f(2,3