高中數(shù)學(xué) 1.7.3 球基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.7.3球基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144π D．36π，36π[答案]D[解析]球的半徑為3，S球＝4π×32＝36π.V球＝eq\f(4,3)π×33＝36π.2．正方體的全面積為54，則它的外接球的表面積為()A．27π B．eq\f(8\r(2),3)πC．36π D．eq\f(9\r(3),2)π[答案]A[解析]S正＝54，∴邊長a＝3,2R＝3eq\r(3)，∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3eq\r(3))2＝27π.3．把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為()A．R B．2RC．3R D．4R[答案]D[解析]設(shè)圓柱的高為h，則πR2h＝3·eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.4．若一個(gè)圓錐的底面半徑和一個(gè)半球的半徑相等，體積也相等，則它們的高度之比為()A．2∶1 B．2∶3C．2∶π D．2∶5[答案]A[解析]設(shè)半徑為r，圓錐的高為h，由題意得：V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2).∴h∶r＝2∶1.5．(·大綱卷理，8)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A．eq\f(81π,4) B．16πC．9π D．eq\f(27π,4)[答案]A[解析]本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積運(yùn)算．設(shè)球的半徑是r，根據(jù)題意可得(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，所以球的表面積是S＝4πr2＝4π(eq\f(9,4))2＝eq\f(81π,4).6．球面上四點(diǎn)P、A、B、C，已知PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，則球的表面積為()A．2πa2 B．3πa2C．4πa2 D．6πa2[答案]B[解析]可將PA、PB、PC作為正方體從同一點(diǎn)引出的三條棱，則正方體的對角線長為正方體外接球的直徑．∴有eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\f(\r(3),2)a，∴S＝4πR2＝3πa2.二、填空題7．(新課標(biāo)Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．[答案]eq\f(9,2)π[解析]本題考查球的表面積計(jì)算．結(jié)合圖形利用截面與大圓構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求解．如圖設(shè)球O半徑為R，則BH＝eq\f(4,3)R，OH＝eq\f(R,3)，截面圓半徑設(shè)為r，則πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－(eq\f(R,3))2＝1，R2＝eq\f(9,8)，S球＝4πR2＝eq\f(9,2)π.8．體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于________．[答案]eq\f(8\r(6π),π)[解析]本題主要考查利用正方體全面積，球表面積公式等知識點(diǎn)解決問題的能力．由條件知正方體棱長為2，所以全面積為24，設(shè)球半徑為R，則4πR2＝24，R＝eq\f(\r(6π),π)，所以球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6π),π)))3＝eq\f(8\r(6π),π).三、解答題9．一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間．[解析](1)設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l，則h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．(2)球放入圓錐體后的軸切面如圖所示，設(shè)球的半徑為r，由△OCD∽△ACO1得eq\f(OD,O1A)＝eq\f(OC,AC).∴eq\f(r,6)＝eq\f(8－r,10)，解得r＝3.圓錐體剩余的空間為圓錐的體積減去球的體積，即V錐－V球＝eq\f(1,3)×π×62×8－eq\f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．一、選擇題1．設(shè)球的體積為V1，它的內(nèi)接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是()A．V1比V2大約多一半 B．V1比V2大約多兩倍半C．V1比V2大約多一倍 D．V1比V2大約多一倍半[答案]D[解析]本題考查球的體積公式等，并考查學(xué)生的推理判斷能力、估算能力．設(shè)球的半徑為R，則V1＝eq\f(4,3)πR3，設(shè)正方體棱長為a，則2R＝eq\r(3)a，V2＝a3，所以V1＝eq\f(\r(3)π,2)V2，估算得選項(xiàng)D.2．一個(gè)物體的三視圖如圖所示，則該物體的體積為()A．2π B．eq\f(8,3)＋eq\f(4,3)πC．eq\f(14,3)π D．eq\f(40,3)π[答案]A[解析]該幾何體的上部是一個(gè)球，其體積為eq\f(4,3)π，下部是一個(gè)圓柱，其體積是eq\f(2,3)π，則該幾何體的體積為eq\f(4,3)π＋eq\f(2,3)π＝2π.二、填空題3．(天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長為________．[答案]eq\r(3)[解析]本題考查了正方體外接球的體積.設(shè)球半徑為R，正方體棱長為a，則V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，得到R＝eq\f(3,2)，正方體體對角線的長為eq\r(3)a＝2R，則a＝eq\r(3)，所以正方體棱長為eq\r(3).正方體體對角線的長為eq\r(3)a，其長度等于外接球的直徑，注意這些常用結(jié)論．4．已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．[答案]eq\f(1,3)[解析]本題主要考查了球、球的截面問題，同時(shí)考查了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力．依據(jù)題意畫出示意圖：設(shè)球半徑R，圓錐底面半徑r，則πr2＝eq\f(3,16)·4πR2，即r2＝eq\f(3,4)R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1C2得OO1＝eq\f(1,2)R.所以，高的比為eq\f(1,3).三、解答題5．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．[解析]設(shè)正方體的棱長為a，(1)正方體的內(nèi)切球的球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)正方形的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如答圖(1)，所以2r1＝a，r1＝eq\f(a,2).所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.(2)球與正方體的各棱的切點(diǎn)是每條棱的中點(diǎn)，過球心作平行于正方體底面的截面，如答圖(2)，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如答圖(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.6．兩個(gè)球的體積之和為12π，這兩個(gè)球的大圓周長之和為6π，求大球半徑與小球半徑之差．[解析]設(shè)兩球的半徑為R，r(R>r)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3＋\f(4,3)πr3＝12π,2πR＋2πr＝6π))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R3＋r3＝9,R＋r＝3))∵R3＋r3＝(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝9，∴R2－Rr＋r2＝3，∴(R＋r)2－3Rr＝3，得Rr＝2，∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝1，∴R－r＝1.故大球半徑與小球半徑之差為1.7．設(shè)四面體的各條棱長都為1，若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，求球的表面積．[解析]如圖，由已知四面體的各條棱長都為1，得各個(gè)面都是邊長為1的正三角形，過A作AO⊥平面BCD于O，連接BO.在Rt△AOB中，AB＝1，BO＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，所以AO＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3).設(shè)球的半徑為R，球心為O1，則O1在線段AO上，OO1＝AO－R＝eq\f(\r(6),3)－R，O1B＝R，B