考研數(shù)學二分類模擬200

考研數(shù)學二分類模擬200一、選擇題1.

設，則______A.M＞N＞KB.M＞K＞NC.K＞M＞ND.K＞N＞M正確答案：C[解析]

對于N，由故

故K＞M＞N，故選C。

計算積分的時候，結合奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質簡化計算過程，其中奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于其一半區(qū)間積分的兩倍。

2.

設則有______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I2＜I1C.I2＜I3＜I1D.I2＜I1＜I3正確答案：D[解析]由于當x∈(π，2π)時，sinx＜0，可知則I2-I1＜0，因此I1＞I2。

又由于對作變量代換t=x-π，得

故

由于當x∈(π，2π)時sinx＜0，ex2-e(x+π)2＜0，可知即I3-I1＞0，可知I3＞I1。

綜上所述有I2＜I1＜I3，故選D。

3.

設二階可導函數(shù)f(x)滿足f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1且f"(x)＞0，則______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由于f"(x)＞0，可知函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，即

f(x)≤f(0)+[f(1)-f(0)]x=2x-1，x∈(0，1)，

因此

同理

f(x)≤f(0)+[f(0)-f(-1)]x=-2x-1，x∈(-1，0)，

因此

從而故選B。

根據f"(x)＞0可知函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，而凹函數(shù)上任意兩點之間的線段都在曲線上方，由此可以找到與f(x)作比較的函數(shù)，再結合定積分的比較定理及區(qū)間可加性得出結論。

4.

設則______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因為當x＞0時，有tanx＞x，于是有從而

可見有I1＞I2，又由知，故選B。

定積分的比較定理：若當x∈[a，b]時，f(x)≥g(x)，則。該定理也可以用于判斷定積分的正負：若當x∈[a，b]時，f(x)≥0，則。

5.

設則I，J，K的大小關系為______A.I＜J＜KB.I＜K＜JC.J＜I＜KD.K＜J＜I正確答案：B[解析]當時，因為0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此

同時，又因為

因為

所以

綜上可知，I，J，K的大小關系是I＜K＜J。故選B。

都是以x=0為瑕點的反常積分，利用分部積分法易證它們都是收斂的。

如：

其中為定積分，故I收斂。

6.

設則F(x)______A.為正常數(shù)B.為負常數(shù)C.恒為零D.不為常數(shù)正確答案：A[解析]由分析可知，F(xiàn)(x)=F(0)，而

故選A。

二、填空題1.

已知∫f'(x3)dx=x3+C(C為任意常數(shù))，則f(x)=______。正確答案：[解析]對等式∫f'(x3)dx=x3+C兩邊求導得f'(x3)=3x2。令等式兩邊積分，故

2.

正確答案：[解析]因為

所以

3.

設f(x)是周期為4的可導奇函數(shù)，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，則f(7)=______。正確答案：1[解析]當x∈[0，2]時，f(x)=∫2(x-1)dx=x2-2x+C，因為f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，可得C=0，即f(x)=x2-2x。又f(x)是周期為4的奇函數(shù)，故f(7)=f(-1)=-f(1)=1。

4.

正確答案：[解析]令t=cosx，則

5.

正確答案：[解析]

6.

正確答案：secx-tanx+x+C[解析]

7.

正確答案：[解析]方法一：

方法二：令t=ex+1，則ex=t-1，x=ln(t-1)，

8.

正確答案：[解析]

9.

當a＞0時，正確答案：[解析]令x=asint，則

10.

正確答案：[解析]令x=tant，則dx=sec2tdt，于是

三、解答題1.

計算不定積分正確答案：解：設x=tant，則

又∫etsintdt=-∫etd(cost)

=-(etcost-∫etcostdt)

=-etcost+etsint-∫etsintdt，

故

因此

2.

正確答案：解：由則

3.

正確答案：解：方法一：

所以

方法二：[解析]當積分式中出現(xiàn)反三角函數(shù)arctan，arcsin，arccos或是對數(shù)函數(shù)ln時，一般都需要利用分部積分法∫udv=uv-∫vdu來計算。計算時，一般把反三角函數(shù)或是對數(shù)函數(shù)當成公式中的u，把其余的函數(shù)湊成dv。

4.

正確答案：解：方法一：

又因為

所以

方法二：

5.

正確答案：證明：令x2=t，則

對于I2，令t=s+π，則

于是

上述積分中被積函數(shù)注意到若補充定義f(0)=0，則f(t)在[0，π]上連續(xù)，且f(t)＞0。根據定積分的性質可得I＞0。

6.

(Ⅰ)證明f(x)是以π為周期的周期函數(shù)；

(Ⅱ)求f(x)的值域。正確答案：解：(Ⅰ)由題設條件可得設t=u+π，則有

因此f(x)是以π為周期的周期函數(shù)。

(Ⅱ)因為|sinx|周期為π，故只需在[0，π]上討論值域。因為

令f'(x)=0，得且

又有

因此可知f(x)的最小值是最大值是故f(x)的值域是

7.

設f(x)是區(qū)間上單調、可導的函數(shù)，且滿足

其中f-1是f的反函數(shù)，求f(x)。正確答案：解：在的兩邊同時對x求導得

也就是兩邊再分別積分得

f(x)=ln|sinx+cosx|+C。

(*)

將x=0代入題中的已知方程可得

由于f(x)是區(qū)間上單調、可導的函數(shù)，則f-1(x)的值域為且為單調非負的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln|sinx+cosx|。

8.

設f(x)連續(xù)，且正確答案：解：令2x-t=u，則原等式變?yōu)?/p>

兩邊同時