5.6.1 函數(shù)y=Asin(wx+b)的圖象教學(xué)設(shè)計（第1課時）高一上人教版數(shù)學(xué)

第一課時函數(shù)的圖象教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握正弦型函數(shù)的基本形式，理解各參數(shù)的意義。過程與方法：通過圖象的觀察與比較，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，加深對函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過合作探究，體驗數(shù)學(xué)中的和諧美。教學(xué)重點：正弦型函數(shù)的圖象和參數(shù)意義。教學(xué)難點：如何從函數(shù)圖象上理解各參數(shù)的作用。教具準(zhǔn)備：投影儀、幾何畫板、教學(xué)PPT。教學(xué)方法：情境創(chuàng)設(shè)、合作探究、講解與示范相結(jié)合。教學(xué)過程：筒車是中國古代發(fā)明的一種灌溉工具，它省時、省力，環(huán)保、經(jīng)濟，現(xiàn)代農(nóng)村至今還在大量使用．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖示描繪了人們利用筒車輪的圓周運動進行灌溉的工作原理（用信息技術(shù)呈現(xiàn)筒車運動的實際情境）．問題1：假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動．如果將這個筒車抽象成一個圓，水筒抽象成一個質(zhì)點，你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒距離水面的相對高度與時間的關(guān)系嗎？師生活動：教師利用多媒體展示筒車運動的真實情境，學(xué)生進行觀察、思考、交流，鼓勵學(xué)生自主探究.當(dāng)學(xué)生遇到困難時，教師可以提出問題2，采用追問的方式進行引導(dǎo)，讓學(xué)生在抽象簡化的基礎(chǔ)上再進行思考分析；若學(xué)生能自主地從數(shù)學(xué)的角度進行分析，則鼓勵他們進行展示交流.預(yù)設(shè)：因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它的運動規(guī)律.設(shè)計意圖：通過筒車模型引入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)地實際價值，使學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題.問題2：筒車運動模型中，盛水筒的運動周而復(fù)始，具有周期性，可以考慮用三角函數(shù)模型去刻畫它的運動規(guī)律，如果將筒車抽象為圓，盛水筒抽象為圓上的點P（圖），經(jīng)過時t后，盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關(guān)？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？師生活動：教師進行適時引導(dǎo)，并借助信息技術(shù)用幾何形式動態(tài)呈現(xiàn)點P的運動狀態(tài)；然后由學(xué)生經(jīng)過討論，分析出問題中與變量t和H相關(guān)的量—筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0及其對應(yīng)的初始角φ；再引導(dǎo)學(xué)生尋求變量t與H之間的等量關(guān)系.學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并通過自主探究獲得函數(shù)關(guān)系，教師將結(jié)果統(tǒng)一引導(dǎo)到函數(shù)H＝rsin(ωt＋φ)＋h.如圖，相關(guān)的量有：水車半徑r，水車中心距水面的高度h；水車轉(zhuǎn)動的角速度ω；初始位置所對應(yīng)的角φ；水車轉(zhuǎn)動的時間t；盛水筒距離水面的相對高度H；若以O(shè)為原點，以與水平面平行的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)t=0時，盛水筒位于P0，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為φ，經(jīng)過ts后運動到點P(x,y).于是，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)①,所盛水筒距離水面的高度H與時間t的關(guān)系是H＝rsin(ωt＋φ)＋h.②函數(shù)②就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚了.由于h為常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì)設(shè)計意圖：結(jié)合筒車模型，建立三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，表示其上質(zhì)點的勻速圓周運動，引出本節(jié)的核心內(nèi)容；讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)語言描述世界.問題3：摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色。某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度。師生活動:引導(dǎo)學(xué)生思考摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫。解:如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.(1)設(shè)t=0min時，游客甲位于點P(O，-55)，以O(shè)P為終邊的角為?π2;根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15rad/min，由題意可得(2)當(dāng)t=5時,H=55sin所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度約為37.5m，設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)建模思想，應(yīng)用模型，學(xué)生在思考、探索和交流的過程中獲得了對知識點較為全面的體驗和理解，加強了團隊合作意識．（五）課堂小結(jié)：函數(shù)的建立思想方法：建模思想，類比思想（六）目標(biāo)檢測：在問題3中，若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).解：甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則∠AOB=π24.經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sinπ15t?π2+65點B相對于點A始終落后π24.rad，此時乙距離地面的高度為H2=55sinπ所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.設(shè)計意圖：檢查學(xué)生學(xué)習(xí)成果，并讓學(xué)生搞清楚變換的方式及順序，熟悉圖象變換背后的原理.（其中）的函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖象和性質(zhì)是什么樣子的呢？師生活動：（1）教師提示：這個函數(shù)由參數(shù)所確定，因此只要研究了這些參數(shù)的意義，知道了它們的變化對函數(shù)圖象的影響，就可以把握這個函數(shù)的性質(zhì).（2）追問1：觀察與函數(shù)有什么聯(lián)系呢？（3）學(xué)生觀察得出：就是函數(shù)在時的特殊情形.（4）追問2：能否借助我們熟悉的的圖象和性質(zhì)研究參數(shù)對函數(shù)的影響呢？由于函數(shù)中含有三個參數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該按照怎樣的思路研究呢？（5）學(xué)生分組討論，得出：用控制變量法分別研究三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響.分化瓦解，各個擊破.師生共同總結(jié)：我們按照從局部到整體，從具體到抽象的方法來逐步研究三個參數(shù)對函數(shù)的影響.設(shè)計意圖：通過將未知函數(shù)和已知函數(shù)建立聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思考，建立解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力和意識。問題2：控制，我們來研究對函數(shù)圖象的影響.如圖，如果動點M以為起點，經(jīng)過秒后運動到點P,那么點P的縱坐標(biāo)是多少？M的軌跡方程可得哪個函數(shù)？如果變成以為起點呢？軌跡方程有什么變化？PP---11-師生活動：（1）教師追問1：如果動點M以為起點，經(jīng)過秒后運動到點P,那么點P的縱坐標(biāo)是多少？M的軌跡方程可得哪個函數(shù)？（2）學(xué)生得出結(jié)果：點P的縱坐標(biāo)為，M的軌跡方程為.（3）追問2：如果動點M以為起點（即），經(jīng)過秒后到達點P，那么此時點M的軌跡可得哪個函數(shù)？（4）生：得到.（5）追問3：請大家預(yù)測這個新的函數(shù)與的圖象有什么關(guān)系？你能借助的物理意義加以解釋嗎？（6）學(xué)生討論得出：代表初始位置不同，即從不同起點到達同一終點P所需時間不同，以為起點所需的時間應(yīng)該比以為起點所需的時間少，以為起點所需時間為秒.（7）師生共同討論得出：這個規(guī)律反映在圖象上就是：如果點P是圖象上的點F，坐標(biāo)是，則點P對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點G坐標(biāo)為.（8）小結(jié)：由于點P的坐標(biāo)具有任意性，所以點P的坐標(biāo)向左平移了，代表了整個函數(shù)圖象向左平移了.即當(dāng)點M的起始位置對應(yīng)的角為時，對應(yīng)的函數(shù)是，即把圖象上所有點向左平移個單位就得到的圖象（在本上畫圖表示）.（9）教師用幾何畫板展示：（10）追問4：如果把初始位置由變成，圖象又會發(fā)生怎樣的變化呢？（11）追問5：請大家歸納：函數(shù)是如何由變換得到的？（12）學(xué)生先歸納，老師加以補充，師生合作得出結(jié)論.結(jié)論：函數(shù)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左（當(dāng)時）或向右（當(dāng)時）平行移動個單位長度而得到．設(shè)計意圖：在這個探究活動中，我們先回憶時函數(shù)圖象的做法，引導(dǎo)學(xué)生利用物理意義進行研究，接下來研究的情況。由于學(xué)生對物理情景比較陌生，這部分以講授和問題串的形式進行，以點的平移變換得到圖象的平移變換。問題3：類比剛才的研究思路，請大家給出變化時，函數(shù)的研究思路.師生活動：（1）學(xué)生分小組討論，教師適當(dāng)引導(dǎo).小組代表發(fā)言：可用從特殊到一般的思路，固定研究，根據(jù)的物理意義，可分別取來特殊化探索,再由三個特殊情況對圓周運動的影響來探索對圖象變化的規(guī)律.追問1：同學(xué)們可以將剛才的思路細(xì)化實施，給出具體完整的研究過程嗎？小組合作探究，5分鐘后，請小組代表回答：如果動點M以為起點，以的角速度運動，經(jīng)過秒后運動到點P，那么點P的縱坐標(biāo)是.M的軌跡方程為？如果把角速度換成，則經(jīng)過秒后運動到點P，點P的縱坐標(biāo)是，M點的軌跡方程是.代表角速度不同，則不同角速度到同一終點P所需的時間不同，如果以到達P所需的時間為秒，那么以的角速度到達P所需的時間為秒.這個規(guī)律反應(yīng)在圖象就是如果點P是圖象上的點F，坐標(biāo)是，則點P對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點G坐標(biāo)為，所以函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標(biāo)都變成了原來的一半.追問2：新函數(shù)的周期與原函數(shù)的周期有什么關(guān)系？學(xué)生回答：因為每一個點的橫坐標(biāo)都變成了原來的一半，所以周期也變成了原來的一半，若原函數(shù)的周期為，則新函數(shù)的周期為.如果把角速度由變成，函數(shù)會有怎樣變化呢？學(xué)生總結(jié)：當(dāng)動點M以的角速度運動時，對應(yīng)的函數(shù)是，即把上所有點的橫坐標(biāo)變成原來的2倍形成的圖象，并且若原函數(shù)的周期為T，則新函數(shù)的周期為2T.（在練習(xí)本上畫圖表示）教師用幾何畫板展示（10）追問3：你能歸納一下：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變換而得到嗎（11）學(xué)生：函數(shù)的圖象，可以看做是把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時）或伸長（當(dāng)時）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到．設(shè)計意圖：有了研究的經(jīng)驗，在這個探究活動中，采用自主探究和小組探究的方式研究，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和由特殊到一般的思維方式。發(fā)展學(xué)生的獨立思考能力，總結(jié)歸納的能力.問題4：你能自己分析歸納一下：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變換而得到嗎？師生活動：（1）學(xué)生討論：通過.改變圓的半徑，使得到和的圖象，發(fā)現(xiàn)對函數(shù)圖象的影響主要是對縱坐標(biāo)的影響.（2）追問：你能自己分析歸納一下：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變換而得到嗎？（3）學(xué)生自主討論得出結(jié)論：函數(shù)的圖象，可以看作是把函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)時）或縮短（當(dāng)時）到原來的倍而得到．設(shè)計意圖：學(xué)生通過歸納類比、抽象概括出結(jié)論，有助于發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性、體驗“再創(chuàng)造”過程，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．問題5：你能歸納一下：函數(shù)（、）的圖象可由正弦曲線如何變換得到？師生活動：（1）學(xué)生討論合作，共同完成，教師板書.（2）追問1：請同學(xué)們歸納一下不同的參數(shù)變化對函數(shù)對函數(shù)圖象產(chǎn)生怎樣的影響.（3）師生共同總結(jié)：：改變初相，對函數(shù)圖象進行左右平移：改變周期，對橫坐標(biāo)進行伸縮變換：改變振幅，對縱坐標(biāo)進行伸縮變換追問2：同學(xué)們，你能對本節(jié)課的思想方法進行總結(jié)嗎？（5）學(xué)生總結(jié)：由數(shù)學(xué)意義到物理意義，由特殊到一般，類比思想，控制變量法.設(shè)計意圖：養(yǎng)學(xué)生歸納與整理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生在思考、探索和交流的過程中獲得了對知識點較為全面的體驗和理解，加強了團隊合作意識．課堂小結(jié)：一種作圖方法：圖象變換法.參數(shù)對圖象的影響：：改變初相，對函數(shù)圖象進行左右平移：改變周期，對橫坐標(biāo)進行伸縮變換：改變振幅，對縱坐標(biāo)進行伸縮變換思想方法：由特殊到一般，類比思想，控制變量法.目標(biāo)檢測：嘗試畫出的簡圖.預(yù)設(shè)：學(xué)生口述做法，教師檢查關(guān)鍵點，并用幾何畫板演示.變式1：的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所有點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是______________.(答案：)變式2：將函數(shù)的圖象向右移個單位后，得到圖象對應(yīng)