第29講、三角恒等變換（教師版）

第29講三角恒等變換知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；知識(shí)點(diǎn)二．二倍角公式①；②；③；知識(shí)點(diǎn)三：降次（冪）公式知識(shí)點(diǎn)四：半角公式知識(shí)點(diǎn)五．輔助角公式（其中）．【解題方法總結(jié)】1、兩角和與差正切公式變形；．2、降冪公式與升冪公式；．3、其他常用變式．4、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．必考題型全歸納題型一：兩角和與差公式的證明例1．（浙江省紹興市2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長(zhǎng)關(guān)系，證明：；(2)若，求.【解析】（1）在中，，，，則，在中，，，，則，在中，，，則，依題意，四邊形是矩形，則，所以.（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，，又是銳角，于是，所以.例2．（2024·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┠硵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：①；②根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：(1)在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明：(2)求值：.【解析】（1）若選①，證明如下：.若選②，證明如下：.（2）由題，，因?yàn)?，則，所以由公式②及正弦的二倍角公式得，又因?yàn)?，所以，所以，整理得解得或，又，所?例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，.連接.若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：，化簡(jiǎn)得：當(dāng)時(shí)，上式仍然成立.∴，對(duì)于任意角有：.(2)①公式的推導(dǎo)：.公式的推導(dǎo)：正切公式的推導(dǎo)：②公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，考慮點(diǎn)，，，，從這個(gè)圖出發(fā).（1）推導(dǎo)公式：；（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計(jì)算的值.【解析】（1）因?yàn)?，根?jù)圖象，可得，即，即.即.（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以.變式2．（2024·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究，在一定程度上可以簡(jiǎn)化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：．具體過程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有．設(shè)，的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；由圖（2）可知，于是，．所以，也有；所以，對(duì)于任意角，有：．此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）(2)證明：．【解析】（1）正確；因?yàn)閷?duì)于非零向量，是方向上的單位向量，又且與共線，所以.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，從而在中，，又M是AB的中點(diǎn)，∴，又，，所以，化簡(jiǎn)得，．【解題方法總結(jié)】推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路．題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式例4．（2024·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？级＃┮阎?，則（

）A．－1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，則，得，則，所以．故選：A．例5．（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，，即，故，故選：A例6．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)），，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，則有，，.故選：B.變式3．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則等于（

）A．-2 B．2 C．-4 D．4【答案】C【解析】因?yàn)椋?，故，故選：C．變式4．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?故選：C.【解題方法總結(jié)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形例7．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且，則，整理得，則，整理得，所以.故選：D.例8．（2024·上海靜安·高三?？计谥校┮阎?、是不同的兩個(gè)銳角，則下列各式中一定不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?、是不同的兩個(gè)銳角，即，所以，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，可能成立，故D錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋院愠闪?，即一定不成立，故B正確；對(duì)于C，可能成立，故C錯(cuò)誤.故選：B.例9．（2024·北京海淀·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①④ C．①③ D．③④【答案】C【解析】對(duì)于①：，，所以，，故，故①正確；對(duì)于②：，，，，因?yàn)殛P(guān)系不定，故不一定相等，故②不正確；對(duì)于③，，，，，，故③正確；對(duì)于④，，，因?yàn)槲粗?，所以與不一定相等，故④不正確.故選：C變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，兩式相加得，.故選：C.變式6．（2024·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，化簡(jiǎn)可得，即，所以，，即，，可得．故選：C．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知第二象限角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且為第二象限角，所以，于?故選：D.【解題方法總結(jié)】運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．題型四：角的變換問題例10．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由，解得，所以.故選：A.例11．（2024·寧夏·高三六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解?，則，故選：D.例12．（2024·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，則，所以.故選：D變式8．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由為銳角，且，所以，則.故選：D變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以?故選：A.變式10．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C．或 D．0或【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故不合題意，舍去；故選：A變式11．（2024·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，為銳角，所以，，且．因?yàn)椋瑸殇J角，，所以，又，所以，故．故選：D.變式12．（2024·山東日照·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?-.，；，，所以，故．故選：D.變式13．（2024·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴，∴，∴．故選：D【解題方法總結(jié)】常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．題型五：給角求值例13．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】原式.故選：B.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋栽焦蔬x：C例15．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故選：A.變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選：A．變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求值：（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】原式，故選：D.【解題方法總結(jié)】（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．（2）給角求值問題的一般步驟①化簡(jiǎn)條件式子或待求式子；②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．題型六：給值求值例16．（2024·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知，則________.【答案】/【解析】因?yàn)椋瑒t.故答案為：.例17．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．【答案】【解析】由題意可得，.故答案為：例18．（2024·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則__________.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，所以，?所以，解得.所以.故答案為:.變式16．（2024·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.【答案】【解析】因?yàn)?，故可得，則故答案為：.變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則_________【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則________．【答案】【解析】由兩角差與和的余弦公式，等式右邊變?yōu)椋?，等式左邊將看作整體，按照兩角差的正弦公式展開，左邊得到：.于是根據(jù)左邊等于右邊得到：，即，顯然，否則，這與矛盾，于是等式兩邊同時(shí)除以，得到.故答案為：【解題方法總結(jié)】給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．題型七：給值求角例19．（2024·四川·高三四川外國(guó)語大學(xué)附屬外國(guó)語學(xué)校校考期中）寫出一個(gè)使等式成立的的值為_______.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)樗运越獾茫寒?dāng)時(shí)，所以使等式成立的的一個(gè)值為：故答案為：（答案不唯一）例20．（2024·北京·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個(gè)值是_______.【答案】（滿足或的值均可）【解析】實(shí)數(shù)，滿足方程組，則，由于，所以，則；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取時(shí)，．故答案為：（滿足或的值均可）例21．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是___________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，且，，所以，，且，則，所以.故答案為：.變式19．（2024·上海嘉定·高三?？计谥校┤魹殇J角，，則角__________.【答案】【解析】由于為銳角，所以，所以，所以，所以.故答案為：變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則______．【答案】【解析】由題知，則，即，即，即，則或，．因?yàn)?，所以，所以，解得．故答案為：變?1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．【答案】/【解析】，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：，而，于是.故答案為：.變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，則，，，所以，，，所以，，因此，.故答案為：.【解題方法總結(jié)】給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．題型八：正切恒等式及求非特殊角例22．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）的值是__________.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，?故答案為：.例23．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，滿足，則______．【答案】【解析】∵，即，∴，即，∴．故答案為：.例24．（2024·江蘇南通·高三?？计谥校┰谥校?，則_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，由題意可得，若，則，不妨設(shè)為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）____________．【答案】【解析】．故答案為：.變式24．（2024·山東·高三濟(jì)寧市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以因?yàn)?，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：變式25．（2024·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若是的內(nèi)角，且，則等于______.【答案】【解析】由題意知，，即，∴，又，∴.變式26．（2024·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，為銳角，且，則__________；__________【答案】【解析】利用兩角和差正切公式來構(gòu)造出，代入可求得結(jié)果；根據(jù)的規(guī)律可整理得到結(jié)果.

即故答案為：；變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，則，即，所以，即，又，，則，所以，，，則所以有即.故選：A.【解題方法總結(jié)】正切恒等式：當(dāng)時(shí)，．證明：因?yàn)?，，所以故．題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用例25．（2024·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域．【解析】（1）因?yàn)?，令，解得；令，解得；所以函?shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心.（2）因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最大值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值；所以函數(shù)的值域?yàn)?例26．（2024·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知