第72講、垂直弦問題（學(xué)生版）

第72講垂直弦問題知識梳理1、過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．2、過橢圓的長軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．3、過橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．4、過橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)必考題型全歸納題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例1．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在線段AB上）(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為，，短軸長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)，過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過定點(diǎn)？并求出面積的最大值.例3．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，若點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式1．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．變式2．（2024·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個交點(diǎn)為，且直線的斜率為.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn).題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例4．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．例5．（2024·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過定點(diǎn).例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例7．（2024·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．例8．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．(1)求拋物線的方程；(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．變式5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).(1)求的值；(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.變式6．（2024·四川綿陽·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由．變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由．變式8．（2024·云南曲靖·高二?？计谀┮阎c(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由．題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例10．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動直線垂直的實軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).例11．（2024·全國·高二期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．例12．（2024·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于4．(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)過作互相垂直的兩條直線、，與動點(diǎn)的軌跡交于、，與動點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．過作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形面積的最小值．變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例13．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F，半焦距c=2，點(diǎn)F到直線的距離為，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).例14．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．例15．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).變式11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn)?若不過定點(diǎn)，請說明原因；若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo).題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：焦點(diǎn)為，為上的動點(diǎn)，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，分別為線段和的中點(diǎn).直線是否恒過一個定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．變式12．（2024·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．(1)求拋物線C的方程；(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動圓P與直線相切，點(diǎn)在動圓上．(1)求圓心P的軌跡Q的方程；(2)過點(diǎn)F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN必過定點(diǎn)．變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且的面積為．(1)求拋物線C的方程．(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線是否過定點(diǎn)．若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請說明理由．變式15．（2024·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，．(1)求動點(diǎn)Q的軌跡的方程E；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)．變式16．（2024·福建福州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；(3)過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡C于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過一定點(diǎn).變式17．（2024·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)過作兩條斜率不為且互相垂直的直線分別交橢圓于、和、，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).變式18．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為，，且．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，分別為線段和的中點(diǎn)，求面積的最小值．題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題例19．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，若到橢圓右頂點(diǎn)距