第76講、雙切線問題（學生版）

第76講雙切線問題知識梳理雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構(gòu)法.解題思路：①根據(jù)曲線外一點設(shè)出切線方程．②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．④寫出關(guān)于的韋達定理，并解題．必考題型全歸納題型一：定值問題例1．（2024·河南·高三競賽）已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點.（1）證明：直線AB恒過定點Q；（2）若點P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點，證明：.例2．（2024·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．

(1)求拋物線C的標準方程及其準線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．例3．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）已知坐標原點為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點為，為雙曲線的上焦點，且的面積為3．(1)求拋物線的方程；(2)已知點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．變式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.(1)若直線與只有一個公共點，求；(2)設(shè)為的準線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線，與軸分別交于，兩點.①證明：②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.變式2．（2024·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.題型二：斜率問題例4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是8+2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求直線EF的斜率.例5．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．（Ⅰ）若點為，求直線的方程；（Ⅱ）若點為圓上的點，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．例6．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，且的周長是．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，使得以為直徑圓過原點，若存在寫出直線方程；(3)設(shè)圓，過橢圓的上頂點作圓的兩條切線交橢圓于、兩點，當圓心在軸上移動且時，求的斜率的取值范圍．變式3．（2024·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學?？茧A段練習）已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點且與的準線相切．(1)求拋物線的方程；(2)點，點（與不重合）在直線上運動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為．求證：．變式4．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）已知是拋物線上一點，過作圓的兩條切線（切點為），交拋物線分別點且當時，.(1)求拋物線的方程;(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，說明理由.變式5．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.(1)若點M的坐標為，求的面積；(2)若點M的坐標為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點M的坐標為，過坐標原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.題型三：交點弦過定點問題例7．（2024·陜西寶雞·校考模擬預測）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為2的正方形（記為Q）．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點P在直線上，過點P作以原點為圓心短半軸長為半徑圓O的兩條切線，切點為M，N，求證：直線恒過定點．例8．（2024·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預測）已知拋物線C：的焦點為F，P(4,4)是C上的一點.(1)若直線PF交C于另外一點A，求；(2)若圓：，過P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點，證明：直線MN過定點.例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．變式6．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？既＃┮阎獟佄锞€，過拋物線的焦點F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B，．(1)求拋物線C的方程；(2)點M在拋物線的準線上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．變式7．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結(jié)論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．變式8．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學校考開學考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點（不同于），直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）已知點O為平面直角坐標系的坐標原點，點F是拋物線C：的焦點．(1)過點F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，求的面積；(2)若點T為直線上的動點，過點T作拋物線C的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過定點．變式10．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知的焦點為，且經(jīng)過的直線被圓截得的線段長度的最小值為4．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)坐標原點為，若過點作直線與拋物線相交于不同的兩點，，過點，作拋物線的切線分別與直線，相交于點，，請問直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出此定點坐標，若不是，請說明理由．變式11．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）如下圖所示，已知橢圓的上頂點為，離心率為，且橢圓經(jīng)過點.

(1)求橢圓的方程；(2)若過點作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（異于點），當變化時，試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.題型四：交點弦定值問題例10．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．例11．（2024·全國·高三專題練習）如圖，設(shè)拋物線方程為(p＞0)，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.（1）求直線AB與軸的交點坐標；（2）若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由.例12．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線，為焦點，若圓與拋物線交于兩點，且(1)求拋物線的方程；(2)若點為圓上任意一點，且過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別為.求證：恒為定值.變式12．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率等于，點是雙曲線在第一象限上的點，直線與軸的交點為，的周長等于，.(1)求的方程；(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作的兩條切線，對應(yīng)的切點為，.證明：直線與橢圓相切于點，且.題型五：交點弦最值問題例13．（2024·江西撫州·臨川一中?？寄M預測）橢圓：的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)是橢圓上的動點，過原點作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點，，求的最大值.例14．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的方程為，為其焦點，過不在拋物線上的一點作此拋物線的切線，為切點.且.（Ⅰ）求證：直線過定點；（Ⅱ）直線與曲線的一個交點為，求的最小值.例15．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.變式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓，是橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，是直線與橢圓的兩個交點.(1)求直線與直線的斜率之積；(2)求面積的最大值.變式14．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線C：的焦點為F，且F與圓M：上點的距離的最小值為3．(1)求p；(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求三角形PAB面積的最值．題型六：交點弦范圍問題例16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．（1）證明：；（2）求的取值范圍．例17．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）經(jīng)過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.（i）當直線的斜率都存在時，記直線的斜率分別為.求證：；（ii）求的取值范圍.例18．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知圓為坐標原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以