函數(shù)的概念及其表示27種常見考點(diǎn)（老師版）

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）A．，，B．，，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖：C．，，f：D．，，f：【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義求解即可.【詳解】對(duì)于A，，一個(gè)可以對(duì)應(yīng)兩個(gè)，不屬于函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，集合中每一個(gè)在集合中都有唯一對(duì)應(yīng)的，符合函數(shù)的定義，故B正確；對(duì)于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中沒有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中沒有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故D錯(cuò)誤.故選：B2．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）已知是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合，那么集合A可能情況為（填一種滿足條件的即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由題意轉(zhuǎn)化為求集合的非空子集即可.【詳解】依題意，是集合A到集合B的函數(shù)，令，得，令，得，令，得，因此集合是集合的非空子集，所以集合A可能情況為.故答案為：3．（2024·山東·二模）如圖所示，是半圓的直徑，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿弧的路徑運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則下列圖象能大致地刻畫與之間的關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)在段運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，之間是線性關(guān)系，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（定值），即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在段運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨的增大而勻速增大，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（定值），點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大而減?。蔬x：C．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對(duì)稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對(duì)于D，當(dāng)圖形是正方形時(shí)，可以驗(yàn)證它滿足題意.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)，，但點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是隨的增大先減?。p到最小時(shí)即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對(duì)比圖象可知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對(duì)稱的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，一開始與的關(guān)系不是線性的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)圖象對(duì)稱，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)（即時(shí)），，點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，依然單調(diào)遞增，點(diǎn)在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，點(diǎn)在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，且已知與的圖象關(guān)于（其中）對(duì)稱，D正確.故選：D.考點(diǎn)2求函數(shù)值5．（2024高二下·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．?7 B． C． D．【答案】D【分析】直接代入計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.6．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，則.【答案】-2【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)的周期，利用周期性對(duì)所求函數(shù)值進(jìn)行化簡，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，，所以，則是周期函數(shù)，且一個(gè)周期是8.

本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)#：數(shù)學(xué)第六感所以.

故答案為：－2.7．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)，．(1)求，，，；(2)求．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）代入即可求解，（2）整體代入即可求解.【詳解】（1）．，∵，∴．∵，∴．（2）∵，∴．8．（2024高一上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線，則的值為（

）x123230

A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】運(yùn)用圖象得到，再由對(duì)應(yīng)關(guān)系得到即可【詳解】由圖可知，所以.故選：D.考點(diǎn)3已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)9．（2024高二上·安徽六安·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法求出解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解?故選：D10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，代入結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，可得，解得．故選：C.11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則．【答案】/【分析】由已知，得，又，可得，則，即可求得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，則.故答案為：.12．（25-26高三上·上?！卧獪y試）已知函數(shù)，其中，且，則．【答案】－1【分析】將函數(shù)利用積的導(dǎo)數(shù)原則進(jìn)行求導(dǎo)，代值列出方程，解之即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，，則由，可解得．故答案為：.考點(diǎn)4區(qū)間13．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集運(yùn)算分析求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.14．（24-25高一上·全國·課堂例題）用區(qū)間表示下列集合：①；②；③.【答案】【分析】由區(qū)間的概念結(jié)合一元一次不等的解法即可求解.【詳解】，，.15．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（用區(qū)間表示）【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的定義得到，解不等式即可．【詳解】由，得．即.故答案為：．考點(diǎn)5具體函數(shù)的定義域16．（2024·河北·三模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡集合A，求定義域化簡集合B，然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，或，則,所以，故選：A.17．（2024高一上·河北唐山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)有意義得出不等式組，解之即得函數(shù)定義域.【詳解】由有意義，等價(jià)于，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.18．（2024·河南·三模）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函數(shù)有意義，即得關(guān)于的不等式組，解之即得函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，等價(jià)于，解得，，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.19．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是【答案】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)和對(duì)數(shù)有意義的條件即可求解.【詳解】函數(shù)有意義的條件是，解得且，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.考點(diǎn)6抽象函數(shù)的定義域20．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】借助函數(shù)定義域的定義計(jì)算即可得.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則有，令，解得.故答案為：.21．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)求的定義域.【詳解】由題意得，，解得函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選:A22．（2024高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)定義域的概念及復(fù)合函數(shù)定義域的求解方法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋砸购瘮?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.考點(diǎn)7實(shí)際問題中的定義域23．（2024·上海奉賢·二模）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、及的中點(diǎn)處．km，km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）且與A、等距的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，，．記鋪設(shè)管道的總長度為ykm．(1)設(shè)（弧度），將表示成的函數(shù)并求函數(shù)的定義域；(2)假設(shè)鋪設(shè)的污水管道總長度是km，請確定污水處理廠的位置．【答案】(1)(2)位置是在線段的中垂線上且離的距離是km【分析】（1）依據(jù)題給條件，先分別求得的表達(dá)式，進(jìn)而得到管道總長度y的表達(dá)式，再去求其定義域即可解決；（2）先解方程，求得，再去確定污水處理廠的位置.【詳解】（1）矩形中，km，km，，，則，則（2）令則又，即，則，則此時(shí)所以確定污水處理廠的位置是在線段的中垂線上且離的距離是km24．（2024高一上·江蘇鹽城·期中）為了增強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性，豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，某校計(jì)劃沿著圍墻（足夠長）劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場，規(guī)定的每條邊長均不超過20米.如圖所示，矩形為羊駝養(yǎng)殖區(qū)，且點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線，陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)（單位：米），養(yǎng)殖區(qū)域的面積為（單位：平方米）.(1)將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)為多長時(shí)，取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)，(2)當(dāng)為時(shí)，取得最大值，最大值為本號(hào)資料全部來源于微信#公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【分析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，并根據(jù)的每條邊長均不超過20米確定好的取值范圍.（2）對(duì)（1）中的結(jié)果，利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，，所?（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)為時(shí)，取得最大值，最大值為.25．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）年月日，王兵買了一輛手動(dòng)擋的家庭汽車，該種汽車燃料消耗量標(biāo)識(shí)是：市區(qū)工況：；市郊工況：；綜合工況：.王兵估計(jì)：他的汽車一年的行駛里程約為，汽油價(jià)格按平均價(jià)格元來計(jì)算，當(dāng)年行駛里程為時(shí)燃油費(fèi)為元.(1)判斷是否是關(guān)于的函數(shù)，如果是，求出函數(shù)的定義域和解析式；(2)王兵一年的燃油費(fèi)估計(jì)是多少？【答案】(1)是，定義域是，(2)元【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的概念可判斷出是關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合題意可得出該函數(shù)的解析式以及定義域；（2）將代入函數(shù)解析式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的概念可知，是關(guān)于的函數(shù)，因?yàn)橥醣钠囈荒甑男旭偫锍碳s為，故該函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)解析式為，其中.（2）解：當(dāng)時(shí)，（元），所以王兵一年的燃油費(fèi)估計(jì)是元.考點(diǎn)8已知函數(shù)的定義域求參數(shù)26．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若分式不論x取何值總有意義，則點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第象限．【答案】一【分析】先通過分式的分母恒不為零求出的范圍，根據(jù)的范圍可得點(diǎn)所在象限，進(jìn)而可得其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)所在象限.【詳解】分式不論x取何值總有意義，即方程無解所以，解得，所以，所以點(diǎn)在第四象限，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限.故答案為：一.27．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)中的取值范圍為R，則的取值范圍是．【答案】【分析】把函數(shù)中的x的取值范圍為R，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．然后對(duì)分類討論得答案．【詳解】由已知恒成立，當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，故答案為：．28．（24-25高一上·上?！卧獪y試）函數(shù)（且）的定義域?yàn)?，則．【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域列不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，兩邊平方?故答案為：29．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】時(shí)直接代入；時(shí)利用可得答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，顯然無解，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得．綜上可得．故選：D．考點(diǎn)9常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域30．（2024高二下·廣西玉林·期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)屬于時(shí)，求的值域（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋?故選：A31．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥壳髮?dǎo)得到，令得到的單調(diào)遞增區(qū)間，令得到的單調(diào)遞減區(qū)間，從而得到最大值和最小值，進(jìn)而得到在上的值域.【詳解】因?yàn)?，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，令得，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以的值域?yàn)?故答案為：.32．（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)給定的自變量值求出函數(shù)值即可.（2）利用二次根式的意義求出值域.（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域.（4）利用分式函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)的思想求出值域.【詳解】（1），且，則．所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，本?hào)資料全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感所以的值域?yàn)?（3）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)椋?3．（2024高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，x∈0,+∞(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求的范圍，再求的范圍；（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以原函?shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且圖象開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閤=0時(shí)，；x=1時(shí)，，所以.終上所述，原函數(shù)的值域?yàn)?考點(diǎn)10復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域34．（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，則，設(shè)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，所以函數(shù)的最大值為2.故選：D.35．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.【詳解】依題意，，顯然，則，于是，所以函數(shù)的值域是.故選：C36．（2024高一·全國·專題練習(xí)）求函數(shù)的值域【答案】【分析】先分離常數(shù)，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的值域?yàn)?37．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分離常數(shù)法可得解；（2）換元，令，，，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），顯然，所以，故函數(shù)的值域?yàn)椋海?）設(shè)，則，且，所以，，

結(jié)合函數(shù)的圖象可得原函數(shù)的值域?yàn)?考點(diǎn)11抽象函數(shù)的值域38．（2024高二下·上海寶山·期末）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)變?yōu)?，，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，時(shí)，，而時(shí)，，時(shí)，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：39．（2024高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)定義可以得到，，，，進(jìn)而求得各個(gè)函數(shù)值，然后判定，根據(jù)，可以得到，即得的值域，從而判定．【詳解】因?yàn)?，?，所以，，，，∴，①正確；，②錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故③正確；的定義域是R，因?yàn)?，所以，即，∴值域是，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．考點(diǎn)12復(fù)合函數(shù)的值域40．（2024·廣東·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過計(jì)算函數(shù)定義域求出集合，計(jì)算函數(shù)值域求出集合，最后通過交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由，有，即，所以；由令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有，所以，又因?yàn)?，所以，；所?故選：D41．（2024高一下·安徽合肥·期末）函數(shù)的最小值為．【答案】/【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與換元法得到，結(jié)合配方法即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.42．（2024高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.(1)時(shí)，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題意得，，，令，，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，故，故的值域?yàn)?；?）由（1）得，，對(duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無解，舍去；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，舍去；綜上所述，.考點(diǎn)13根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍43．（2024高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【答案】A【分析】借助的值域?yàn)镽可得要取遍所有的正數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論即可得.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)镽，則要取遍所有的正數(shù)．所以或，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是0,1.故選：A．44．（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先求解出時(shí)的值域，然后根據(jù)分類討論時(shí)的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，且，所以不滿足；當(dāng)且時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)，若要滿足的值域?yàn)?，只需要，解得；?dāng)且時(shí)，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以此時(shí)，此時(shí)顯然能滿足的值域?yàn)椋痪C上可知，的取值范圍是，故答案為：.45．（2024·全國·模擬預(yù)測）使函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)a的值為．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指數(shù)函數(shù)值域性質(zhì)求解【詳解】令，由題意得的值域?yàn)?，又的值域?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為?(答案不唯一)考點(diǎn)14根據(jù)函數(shù)的值域求定義域46．（2024高一上·河南開封·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的定義域可以是【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到范圍，寫出符合題意的定義域即可.【詳解】令，解得或，則的定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）.47．（2024·廣東廣州·三模）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的定義域可以是．(寫出一個(gè)符合條件的即可)【答案】（答案不唯一）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，再求出時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量，即可求解.【詳解】，令可得，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，由此可知定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）48．（2024高一上·江蘇連云港·期中）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”共有個(gè).【答案】【分析】求出使得函數(shù)的值域?yàn)榈亩x域的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】由，可得；由，可得；由，可得.所以，使得函數(shù)的值域?yàn)榈亩x域中至少含、中的一個(gè)，至少含、中的一個(gè)，至少含、中的一個(gè)，而、的放法種數(shù)等價(jià)于集合的非空子集個(gè)數(shù)，即、的放法種數(shù)為種，同理可知，、的放法種數(shù)為，、的放法種數(shù)為，因此，數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”共有個(gè).故答案為：.考點(diǎn)15已知函數(shù)類型求解析式49．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，，求.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，由條件得，解得，故.50．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知是二次函數(shù)，且，，則．【答案】【分析】由題意設(shè)，通過待定系數(shù)法得出關(guān)于的方程組即可求解.【詳解】因?yàn)?，是二次函?shù)，所以設(shè)，又因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：.51．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)型函數(shù)，滿足，，則．【答案】【分析】由，，代入函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，解出的值即可得.【詳解】指數(shù)型函數(shù)，有且，由，解得，所以.故答案為：.52．（2024高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，且.(1)求與的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)出函數(shù)解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式；（2）寫出函數(shù)?x【詳解】（1）設(shè)，，，則，解得，則，；（2）由（1）知，，令，，則，記，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或1時(shí)，，故?x在上的值域?yàn)?考點(diǎn)16已知f（g（x））求解析式53．（2024高二下·廣東深圳·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法可得答案.【詳解】令，則，所以，即.故選：B.54．（2024高二下·遼寧本溪·期末）已知函數(shù)滿足，則.【答案】【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.【詳解】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，故.故答案為：.55．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，求的解析式．【答案】【分析】可由配湊法等式右邊用表達(dá)或換元法令求解；【詳解】法一：把的右邊配成的表達(dá)式，即，然后整體換成，得：，故的解析式為：．法二：令，得代入得：，然后t換成x即，故的解析式為：考點(diǎn)17求抽象函數(shù)的解析式56．（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，寫出函數(shù)的一個(gè)解析式為.【答案】（答案不唯一）【分析】由為奇函數(shù)可得的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0中心對(duì)稱，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造符合題意.【詳解】由為偶函數(shù)，知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；由為奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0中心對(duì)稱，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，則是偶函數(shù)；為奇函數(shù)，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.57．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用賦值法求及，然后利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，得.令，得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，且，所以不等式的解集為.故選：A58．（2024高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】C【分析】首先利用賦值法求得的值，再賦值，求得的解析式，即可判斷C，再根據(jù)函數(shù)的解析式，賦值判斷BD.【詳解】對(duì)于A，令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；對(duì)于C，令，則有，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，即，則函數(shù)是減函數(shù)，故D正確；對(duì)于B，由，令，有，故B正確.故選：C考點(diǎn)18函數(shù)方程組法求解析式59．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的值為（

）本號(hào)資料全部來源#于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】將換成，得到即，聯(lián)立方程組求得的解析式，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，將換成，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：B.60．（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對(duì)于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用換元法或配湊法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法，令，然后結(jié)合已知條件化簡列方程組可求出，從而可求出；（3）將已知等式中的用替換，得到另一個(gè)式子，與已知等式聯(lián)立可求出.【詳解】（1）方法一

（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二

（配湊法）：．因?yàn)?，所以的解析式為．?）設(shè)，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關(guān)于與的方程組，解得．61．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求fx；（2）已知函數(shù)fx對(duì)于任意的x都有，求fx【答案】（1）；（2）【分析】應(yīng)用換元法及方程組法求解析式即可.【詳解】（1），令，則，∴．（2）在中，以代替x可得，聯(lián)立得消去可得．考點(diǎn)19求解析式中的參數(shù)值62．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)得到解析式，再判斷函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，由此求解不等式即可.【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞減，又，即函數(shù)是奇函數(shù)，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B63．（2024高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)證明：在上單調(diào)遞增.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由列出方程，代入計(jì)算，即可求得；（2）根據(jù)題意，由單調(diào)性的定義，帶入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）且，解得.所以函數(shù)的解析式為.（2）證明：，且，則因?yàn)?，所以，又，所以，則，則，即，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.考點(diǎn)20判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等64．（24-25高三上·山西晉中·階段練習(xí)）下列函數(shù)與是相等函數(shù)的是（

）A． B．C．（且） D．（且）【答案】D【分析】可得，且定義域?yàn)镽，根據(jù)函數(shù)相等逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，且定義域?yàn)镽，對(duì)于選項(xiàng)A：，可知兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以函數(shù)不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，且定義域?yàn)镽，所以兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)，故D正確；故選：D.65．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?而的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B,與的定義域均為，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故為相同函數(shù)，B正確，對(duì)于C，的定義域?yàn)?而的定義域?yàn)椋x域不相同，故不是相同函數(shù),C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的定義域?yàn)?，與的定義域?yàn)?定義域不相同，故不是相同函數(shù),D錯(cuò)誤，故選：B66．（2024高二下·海南?？凇て谀┫铝懈鹘M中的兩個(gè)函數(shù)為相同函數(shù)的是（

）本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第#六感A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判定方法逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)A，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，且兩函數(shù)的定義域均為，則兩個(gè)函數(shù)相同函數(shù)，故B正確；對(duì)C，，則兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，與，兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則完全不同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.67．（2024高一上·北京·期中）下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是.①，

②③

④【答案】①④【分析】通過判斷函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同來判斷是否是，從而得解.【詳解】對(duì)于①，，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域都為，且對(duì)應(yīng)關(guān)系也一樣，所以是同一個(gè)函數(shù)，故正確；對(duì)于②，因?yàn)榈膶?duì)應(yīng)關(guān)系不一樣，本號(hào)資#料全部來源于微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感所以不是同一個(gè)函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不一樣，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故正確．故答案為：①④.考點(diǎn)21函數(shù)的表示方法68．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)值圖如表所示，則等于（

）函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【詳解】由表可知，，所以故選：D．69．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間（分鐘）與相應(yīng)話費(fèi)（元）之間的函數(shù)圖像如圖所示，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】由圖知，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)為，則，得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)為，則，解得，所以，綜上與之間的函數(shù)關(guān)系式為.故答案為：70．（2024·上海黃浦·一模）某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽略不計(jì)，長度可變）把這四個(gè)展館連在一起，其中百米，百米，且.(1)試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.【答案】(1)答案見解析(2)18.39百米【分析】（1）若設(shè)百米，運(yùn)用勾股定理表示、，進(jìn)而寫出y與x的關(guān)系式；若設(shè)，運(yùn)用三角函數(shù)表示、、，進(jìn)而寫出y與x的關(guān)系式；（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點(diǎn)M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因?yàn)?，所?若設(shè)，則，，，則，解得，又因?yàn)?，所以，所以?（2）設(shè)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長度約為18.39百米.71．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，邊長為1的正方形，其中邊在軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若正方形沿軸正向滾動(dòng)，先以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在軸上時(shí)，再以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，當(dāng)正方形的某個(gè)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，則以該頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)形成的曲線為y=fx，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)的周期性即可求解．【詳解】由題意可知，是周期為的函數(shù)，所以.由題意可得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在軸上，所以f3=0，本號(hào)資#料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)*學(xué)第六感所以.故選：A.考點(diǎn)22求分段函數(shù)值72．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)則等于（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合定義域求值即可.【詳解】.故選：A.73．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足，則的值為.【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，由，得到當(dāng)時(shí)，成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化，再由分段函數(shù)代入相應(yīng)解析式求得.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)，即時(shí)，②，所以當(dāng)時(shí)，將②代入①式化簡可得，故當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，..故答案為：.74．（24-25高三上·四川南充·開學(xué)考試）若函數(shù)，則.【答案】/【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)先計(jì)算的值，繼而計(jì)算的值，即得答案.【詳解】由題意可得，故，則.故答案為：考點(diǎn)23已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量75．（2024·北京大興·三模）已知，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以或，解得?故答案為：或76．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】將的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【詳解】，即，則.故選：.77．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，則.【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，代入求值.【詳解】函數(shù)，有，則，解得.故答案為：278．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，則（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】由題意可得出在和上為增函數(shù)，則，由可得出，即可得求出的值.【詳解】易得在和上為增函數(shù)，，所以，由得，解得或（舍去），則，故選：D.考點(diǎn)24解分段函數(shù)不等式79．（2024·江西南昌·二模）已知，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在條件下化簡不等式求其解可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，可得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.80．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.81．（2024高二下·陜西西安·期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且連續(xù)不斷，可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.82．（2024高一上·安徽宿州·期中）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論、，結(jié)合函數(shù)解析式列不等式求參數(shù)a的范圍即可.【詳解】由，若，則，即，解得，所以若，則，即，解得，所以，綜上，不等式的解為.故選：D考點(diǎn)25分段函數(shù)的定義域83．（2024高一上·山西太原·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)分段函數(shù)的定義域的理解可得.【詳解】由，得函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.84．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)求，，的值；(2)求函數(shù)的定義域、值域．【答案】(1)，，.(2)定義域?yàn)?，值域?yàn)椤痉治觥浚?）根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值；（2）作出分段函數(shù)的圖象，由圖象判斷函數(shù)的定義域、值域．【詳解】（1）由函數(shù)，，，.（2）作出圖象如圖所示．

利用數(shù)形結(jié)合易知的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?5．（2024高一上·四川宜賓·期中）已知(1)求，的值；(2)求滿足的實(shí)數(shù)a的值；(3)求的定義域和值域．【答案】(1)，(2)(3)定義域?yàn)?，值域?yàn)椤痉治觥扛鶕?jù)自變量所屬范圍，求分段函數(shù)求函數(shù)值；根據(jù)函數(shù)值，求自變量值；確定分段函數(shù)的定義域值域.【詳解】（1），.（2）由或，解得.（3）

的定義域?yàn)?，值域?yàn)榭键c(diǎn)26分段函數(shù)的值域或最值86．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】由題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出三個(gè)函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高