函數(shù)的概念及其表示27種常見考點（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)函數(shù)的概念及其表示27種常見考點考點1函數(shù)關(guān)系的判斷1．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）下列對應(yīng)關(guān)系中是A到B的函數(shù)的是（

）A．，，B．，，對應(yīng)關(guān)系如圖：C．，，f：D．，，f：【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義求解即可.【詳解】對于A，，一個可以對應(yīng)兩個，不屬于函數(shù)，故A錯誤；對于B，集合中每一個在集合中都有唯一對應(yīng)的，符合函數(shù)的定義，故B正確；對于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中沒有對應(yīng)的函數(shù)值，故C錯誤；對于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中沒有對應(yīng)的函數(shù)值，故D錯誤.故選：B2．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）已知是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合，那么集合A可能情況為（填一種滿足條件的即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由題意轉(zhuǎn)化為求集合的非空子集即可.【詳解】依題意，是集合A到集合B的函數(shù)，令，得，令，得，令，得，因此集合是集合的非空子集，所以集合A可能情況為.故答案為：3．（2024·山東·二模）如圖所示，是半圓的直徑，點從點出發(fā)，沿弧的路徑運動一周，設(shè)點到點的距離為，運動時間為，則下列圖象能大致地刻畫與之間的關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】點在段運動時和點在上運動時，，之間是線性關(guān)系，點在弧上運動時，（定值），即可結(jié)合選項求解.【詳解】當(dāng)點在段運動時，隨的增大而勻速增大，點在弧上運動時，（定值），點在上運動時，隨著的增大而減小．故選：C．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由點在第二條邊上運動時，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當(dāng)圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.【詳解】對于A，點在第一條邊上時，，但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減小（減到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對比圖象可知，A錯誤；對于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；對于C，一開始與的關(guān)系不是線性的，C錯誤；對于D，因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為，點在第一條邊上時（即時），，點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調(diào)遞增，點在第三條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，點在第四條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，且已知與的圖象關(guān)于（其中）對稱，D正確.故選：D.考點2求函數(shù)值5．（2024高二下·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．?7 B． C． D．【答案】D【分析】直接代入計算即可.【詳解】.故選：D.6．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，則.【答案】-2【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)的周期，利用周期性對所求函數(shù)值進行化簡，進而得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，，所以，則是周期函數(shù)，且一個周期是8.

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故答案為：－2.7．（24-25高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)，．(1)求，，，；(2)求．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）代入即可求解，（2）整體代入即可求解.【詳解】（1）．，∵，∴．∵，∴．（2）∵，∴．8．（2024高一上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)y=f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線，則的值為（

）x123230

A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】運用圖象得到，再由對應(yīng)關(guān)系得到即可【詳解】由圖可知，所以.故選：D.考點3已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)9．（2024高二上·安徽六安·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法求出解析式，再代入計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故選：D10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，代入結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】因為，因為，可得，解得．故選：C.11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則．【答案】/【分析】由已知，得，又，可得，則，即可求得.【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，則.故答案為：.12．（25-26高三上·上?！卧獪y試）已知函數(shù)，其中，且，則．【答案】－1【分析】將函數(shù)利用積的導(dǎo)數(shù)原則進行求導(dǎo)，代值列出方程，解之即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，，則由，可解得．故答案為：.考點4區(qū)間13．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集運算分析求解.【詳解】因為，，所以.故選：B.14．（24-25高一上·全國·課堂例題）用區(qū)間表示下列集合：①；②；③.【答案】【分析】由區(qū)間的概念結(jié)合一元一次不等的解法即可求解.【詳解】，，.15．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為．（用區(qū)間表示）【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的定義得到，解不等式即可．【詳解】由，得．即.故答案為：．考點5具體函數(shù)的定義域16．（2024·河北·三模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡集合A，求定義域化簡集合B，然后進行補集和交集的運算即可.【詳解】因為，或，則,所以，故選：A.17．（2024高一上·河北唐山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)有意義得出不等式組，解之即得函數(shù)定義域.【詳解】由有意義，等價于，解得，即函數(shù)的定義域為.故選：D.18．（2024·河南·三模）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函數(shù)有意義，即得關(guān)于的不等式組，解之即得函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，等價于，解得，，故函數(shù)的定義域為.故選：A.19．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是【答案】【分析】根據(jù)分數(shù)和對數(shù)有意義的條件即可求解.【詳解】函數(shù)有意義的條件是，解得且，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.考點6抽象函數(shù)的定義域20．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】借助函數(shù)定義域的定義計算即可得.【詳解】由函數(shù)的定義域為，則有，令，解得.故答案為：.21．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)求的定義域.【詳解】由題意得，，解得函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域為.故選:A22．（2024高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)定義域的概念及復(fù)合函數(shù)定義域的求解方法運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A.考點7實際問題中的定義域23．（2024·上海奉賢·二模）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個頂點A、及的中點處．km，km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）且與A、等距的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，，．記鋪設(shè)管道的總長度為ykm．(1)設(shè)（弧度），將表示成的函數(shù)并求函數(shù)的定義域；(2)假設(shè)鋪設(shè)的污水管道總長度是km，請確定污水處理廠的位置．【答案】(1)(2)位置是在線段的中垂線上且離的距離是km【分析】（1）依據(jù)題給條件，先分別求得的表達式，進而得到管道總長度y的表達式，再去求其定義域即可解決；（2）先解方程，求得，再去確定污水處理廠的位置.【詳解】（1）矩形中，km，km，，，則，則（2）令則又，即，則，則此時所以確定污水處理廠的位置是在線段的中垂線上且離的距離是km24．（2024高一上·江蘇鹽城·期中）為了增強生物實驗課的趣味性，豐富生物實驗教學(xué)內(nèi)容，某校計劃沿著圍墻（足夠長）劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建一個羊駝養(yǎng)殖場，規(guī)定的每條邊長均不超過20米.如圖所示，矩形為羊駝養(yǎng)殖區(qū)，且點，，，四點共線，陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)（單位：米），養(yǎng)殖區(qū)域的面積為（單位：平方米）.(1)將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)為多長時，取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)，(2)當(dāng)為時，取得最大值，最大值為本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六感【分析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，并根據(jù)的每條邊長均不超過20米確定好的取值范圍.（2）對（1）中的結(jié)果，利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）因為，所以，，因為，，所以.（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)為時，取得最大值，最大值為.25．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）年月日，王兵買了一輛手動擋的家庭汽車，該種汽車燃料消耗量標(biāo)識是：市區(qū)工況：；市郊工況：；綜合工況：.王兵估計：他的汽車一年的行駛里程約為，汽油價格按平均價格元來計算，當(dāng)年行駛里程為時燃油費為元.(1)判斷是否是關(guān)于的函數(shù)，如果是，求出函數(shù)的定義域和解析式；(2)王兵一年的燃油費估計是多少？【答案】(1)是，定義域是，(2)元【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的概念可判斷出是關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合題意可得出該函數(shù)的解析式以及定義域；（2）將代入函數(shù)解析式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的概念可知，是關(guān)于的函數(shù)，因為王兵的汽車一年的行駛里程約為，故該函數(shù)的定義域為，函數(shù)解析式為，其中.（2）解：當(dāng)時，（元），所以王兵一年的燃油費估計是元.考點8已知函數(shù)的定義域求參數(shù)26．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若分式不論x取何值總有意義，則點關(guān)于x軸的對稱點在第象限．【答案】一【分析】先通過分式的分母恒不為零求出的范圍，根據(jù)的范圍可得點所在象限，進而可得其關(guān)于x軸的對稱點所在象限.【詳解】分式不論x取何值總有意義，即方程無解所以，解得，所以，所以點在第四象限，其關(guān)于x軸的對稱點在第一象限.故答案為：一.27．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）若函數(shù)中的取值范圍為R，則的取值范圍是．【答案】【分析】把函數(shù)中的x的取值范圍為R，轉(zhuǎn)化為對任意實數(shù)恒成立．然后對分類討論得答案．【詳解】由已知恒成立，當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，，，綜上所述，故答案為：．28．（24-25高一上·上?！卧獪y試）函數(shù)（且）的定義域為，則．【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域列不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)運算等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)時，，與已知矛盾.當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，所以，，兩邊平方得.故答案為：29．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】時直接代入；時利用可得答案．【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以關(guān)于的方程無實數(shù)解，當(dāng)時，顯然無解，符合題意；當(dāng)時，則，解得．綜上可得．故選：D．考點9常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域30．（2024高二下·廣西玉林·期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)屬于時，求的值域（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】在上單調(diào)遞增，所以的值域為：.故選：A31．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間的值域為．【答案】【分析】求導(dǎo)得到，令得到的單調(diào)遞增區(qū)間，令得到的單調(diào)遞減區(qū)間，從而得到最大值和最小值，進而得到在上的值域.【詳解】因為，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，令得，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以的值域為.故答案為：.32．（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)給定的自變量值求出函數(shù)值即可.（2）利用二次根式的意義求出值域.（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域.（4）利用分式函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)的思想求出值域.【詳解】（1），且，則．所以函數(shù)的值域為.（2）函數(shù)的定義域為，由，得，本號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)第六感所以的值域為.（3）函數(shù)圖象的對稱軸為，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為．（4）函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)的值域為．33．（2024高一·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，x∈0,+∞(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求的范圍，再求的范圍；（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以原函數(shù)的值域為.（2）因為的對稱軸為，且圖象開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為x=0時，；x=1時，，所以.終上所述，原函數(shù)的值域為.考點10復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域34．（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，則，設(shè)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，令，則，設(shè)，可得，當(dāng)時，有最大值為2，所以函數(shù)的最大值為2.故選：D.35．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.【詳解】依題意，，顯然，則，于是，所以函數(shù)的值域是.故選：C36．（2024高一·全國·專題練習(xí)）求函數(shù)的值域【答案】【分析】先分離常數(shù)，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故函數(shù)的值域為.37．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分離常數(shù)法可得解；（2）換元，令，，，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），顯然，所以，故函數(shù)的值域為：（2）設(shè)，則，且，所以，，

結(jié)合函數(shù)的圖象可得原函數(shù)的值域為.考點11抽象函數(shù)的值域38．（2024高二下·上海寶山·期末）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域為，函數(shù)變?yōu)?，，由對勾函?shù)的性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，時，，而時，，時，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：39．（2024高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個數(shù)是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)定義可以得到，，，，進而求得各個函數(shù)值，然后判定，根據(jù)，可以得到，即得的值域，從而判定．【詳解】因為，，,，所以，，，，∴，①正確；，②錯誤；因為，，所以，故③正確；的定義域是R，因為，所以，即，∴值域是，故④錯誤．綜上，正確的命題個數(shù)為2個，故選：B．考點12復(fù)合函數(shù)的值域40．（2024·廣東·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過計算函數(shù)定義域求出集合，計算函數(shù)值域求出集合，最后通過交集運算即可求解.【詳解】由，有，即，所以；由令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有，所以，又因為，所以，；所以.故選：D41．（2024高一下·安徽合肥·期末）函數(shù)的最小值為．【答案】/【分析】利用對數(shù)的運算法則與換元法得到，結(jié)合配方法即可得解.【詳解】因為，令，則，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.42．（2024高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.(1)時，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對的取值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得.【詳解】（1）由題意得，，，令，，，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，故，故的值域為；（2）由（1）得，，對稱軸，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無解，舍去；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得，舍去；綜上所述，.考點13根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍43．（2024高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【答案】A【分析】借助的值域為R可得要取遍所有的正數(shù)，對進行分類討論即可得.【詳解】若函數(shù)的值域為R，則要取遍所有的正數(shù)．所以或，解得，即實數(shù)的取值范圍是0,1.故選：A．44．（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先求解出時的值域，然后根據(jù)分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，此時，當(dāng)且時，，此時，且，所以不滿足；當(dāng)且時，，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當(dāng)且時，因為均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.45．（2024·全國·模擬預(yù)測）使函數(shù)的值域為的一個a的值為．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指數(shù)函數(shù)值域性質(zhì)求解【詳解】令，由題意得的值域為，又的值域為，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：.(答案不唯一)考點14根據(jù)函數(shù)的值域求定義域46．（2024高一上·河南開封·期末）已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到范圍，寫出符合題意的定義域即可.【詳解】令，解得或，則的定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）.47．（2024·廣東廣州·三模）已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是．(寫出一個符合條件的即可)【答案】（答案不唯一）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，再求出時所對應(yīng)的自變量，即可求解.【詳解】，令可得，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，由此可知定義域可以是，故答案為：（答案不唯一）48．（2024高一上·江蘇連云港·期中）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”共有個.【答案】【分析】求出使得函數(shù)的值域為的定義域的個數(shù)，即可得解.【詳解】由，可得；由，可得；由，可得.所以，使得函數(shù)的值域為的定義域中至少含、中的一個，至少含、中的一個，至少含、中的一個，而、的放法種數(shù)等價于集合的非空子集個數(shù)，即、的放法種數(shù)為種，同理可知，、的放法種數(shù)為，、的放法種數(shù)為，因此，數(shù)解析式為，值域為的“同族函數(shù)”共有個.故答案為：.考點15已知函數(shù)類型求解析式49．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，，求.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，由條件得，解得，故.50．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知是二次函數(shù)，且，，則．【答案】【分析】由題意設(shè)，通過待定系數(shù)法得出關(guān)于的方程組即可求解.【詳解】因為，是二次函數(shù)，所以設(shè)，又因為，所以，所以，解得.故答案為：.51．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)型函數(shù)，滿足，，則．【答案】【分析】由，，代入函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，解出的值即可得.【詳解】指數(shù)型函數(shù)，有且，由，解得，所以.故答案為：.52．（2024高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，且.(1)求與的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)出函數(shù)解析式，代入點的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式；（2）寫出函數(shù)?x【詳解】（1）設(shè)，，，則，解得，則，；（2）由（1）知，，令，，則，記，當(dāng)時，，當(dāng)或1時，，故?x在上的值域為.考點16已知f（g（x））求解析式53．（2024高二下·廣東深圳·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法可得答案.【詳解】令，則，所以，即.故選：B.54．（2024高二下·遼寧本溪·期末）已知函數(shù)滿足，則.【答案】【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.【詳解】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，故.故答案為：.55．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，求的解析式．【答案】【分析】可由配湊法等式右邊用表達或換元法令求解；【詳解】法一：把的右邊配成的表達式，即，然后整體換成，得：，故的解析式為：．法二：令，得代入得：，然后t換成x即，故的解析式為：考點17求抽象函數(shù)的解析式56．（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，寫出函數(shù)的一個解析式為.【答案】（答案不唯一）【分析】由為奇函數(shù)可得的圖象關(guān)于點1,0中心對稱，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造符合題意.【詳解】由為偶函數(shù)，知的圖象關(guān)于軸對稱；由為奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點1,0中心對稱，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，則是偶函數(shù)；為奇函數(shù)，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.57．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用賦值法求及，然后利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，得.令，得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為是增函數(shù)，且，所以不等式的解集為.故選：A58．（2024高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】C【分析】首先利用賦值法求得的值，再賦值，求得的解析式，即可判斷C，再根據(jù)函數(shù)的解析式，賦值判斷BD.【詳解】對于A，令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；對于C，令，則有，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，有，即，則函數(shù)是減函數(shù)，故D正確；對于B，由，令，有，故B正確.故選：C考點18函數(shù)方程組法求解析式59．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的值為（

）本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】將換成，得到即，聯(lián)立方程組求得的解析式，進而求得的值.【詳解】由，將換成，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：B.60．（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用換元法或配湊法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法，令，然后結(jié)合已知條件化簡列方程組可求出，從而可求出；（3）將已知等式中的用替換，得到另一個式子，與已知等式聯(lián)立可求出.【詳解】（1）方法一

（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二

（配湊法）：．因為，所以的解析式為．（2）設(shè)，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關(guān)于與的方程組，解得．61．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求fx；（2）已知函數(shù)fx對于任意的x都有，求fx【答案】（1）；（2）【分析】應(yīng)用換元法及方程組法求解析式即可.【詳解】（1），令，則，∴．（2）在中，以代替x可得，聯(lián)立得消去可得．考點19求解析式中的參數(shù)值62．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點得到解析式，再判斷函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，由此求解不等式即可.【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞減，又，即函數(shù)是奇函數(shù)，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B63．（2024高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)證明：在上單調(diào)遞增.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由列出方程，代入計算，即可求得；（2）根據(jù)題意，由單調(diào)性的定義，帶入計算，即可證明.【詳解】（1）且，解得.所以函數(shù)的解析式為.（2）證明：，且，則因為，所以，又，所以，則，則，即，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.考點20判斷兩個函數(shù)是否相等64．（24-25高三上·山西晉中·階段練習(xí)）下列函數(shù)與是相等函數(shù)的是（

）A． B．C．（且） D．（且）【答案】D【分析】可得，且定義域為R，根據(jù)函數(shù)相等逐項分析判斷.【詳解】因為，且定義域為R，對于選項A：，可知兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以函數(shù)不相等，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，可知兩個函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故B錯誤；對于選項C：的定義域為，可知兩個函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)不相等，故C錯誤；對于選項D：，且定義域為R，所以兩個函數(shù)是相等函數(shù)，故D正確；故選：D.65．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】B【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域以及對應(yīng)關(guān)系是否相同，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，的定義域為,而的定義域為，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，A錯誤，對于B,與的定義域均為，且對應(yīng)關(guān)系相同，故為相同函數(shù)，B正確，對于C，的定義域為,而的定義域為，定義域不相同，故不是相同函數(shù),C錯誤，對于D，的定義域為，與的定義域為,定義域不相同，故不是相同函數(shù),D錯誤，故選：B66．（2024高二下·海南?？凇て谀┫铝懈鹘M中的兩個函數(shù)為相同函數(shù)的是（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第#六感A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判定方法逐項分析即可.【詳解】對A，的定義域為，的定義域為，則兩個函數(shù)不是相同函數(shù)，故A錯誤；對B，，且兩函數(shù)的定義域均為，則兩個函數(shù)相同函數(shù)，故B正確；對C，，則兩個函數(shù)不是相同函數(shù)，故C錯誤；對D，與，兩函數(shù)對應(yīng)法則完全不同，故兩函數(shù)不是相同函數(shù)，故D錯誤.故選：B.67．（2024高一上·北京·期中）下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是.①，

②③

④【答案】①④【分析】通過判斷函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系是否相同來判斷是否是，從而得解.【詳解】對于①，，因為兩個函數(shù)的定義域都為，且對應(yīng)關(guān)系也一樣，所以是同一個函數(shù)，故正確；對于②，因為的對應(yīng)關(guān)系不一樣，本號資#料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學(xué)第六感所以不是同一個函數(shù)，故錯誤；對于③，的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不一樣，故錯誤；對于④，所以兩個函數(shù)的定義域均為R，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)，故正確．故答案為：①④.考點21函數(shù)的表示方法68．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的對應(yīng)值圖如表所示，則等于（

）函數(shù)的對應(yīng)值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【詳解】由表可知，，所以故選：D．69．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間（分鐘）與相應(yīng)話費（元）之間的函數(shù)圖像如圖所示，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】由圖知，當(dāng)時，設(shè)函數(shù)為，則，得，所以，當(dāng)時，設(shè)函數(shù)為，則，解得，所以，綜上與之間的函數(shù)關(guān)系式為.故答案為：70．（2024·上海黃浦·一模）某展覽會有四個展館，分別位于矩形ABCD的四個頂點A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實線所示的步道（寬度忽略不計，長度可變）把這四個展館連在一起，其中百米，百米，且.(1)試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.【答案】(1)答案見解析(2)18.39百米【分析】（1）若設(shè)百米，運用勾股定理表示、，進而寫出y與x的關(guān)系式；若設(shè)，運用三角函數(shù)表示、、，進而寫出y與x的關(guān)系式；（2）運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因為，所以.若設(shè)，則，，，則，解得，又因為，所以，所以）.（2）設(shè)，，令，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得極小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得極小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長度約為18.39百米.71．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，邊長為1的正方形，其中邊在軸上，點與坐標(biāo)原點重合，若正方形沿軸正向滾動，先以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在軸上時，再以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，當(dāng)正方形的某個頂點落在軸上時，則以該頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)頂點滾動時形成的曲線為y=fx，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)的周期性即可求解．【詳解】由題意可知，是周期為的函數(shù)，所以.由題意可得，當(dāng)時，點恰好在軸上，所以f3=0，本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)*學(xué)第六感所以.故選：A.考點22求分段函數(shù)值72．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)則等于（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合定義域求值即可.【詳解】.故選：A.73．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足，則的值為.【答案】【分析】當(dāng)時，由，得到當(dāng)時，成立，進而轉(zhuǎn)化，再由分段函數(shù)代入相應(yīng)解析式求得.【詳解】由題意知，當(dāng)時，①，當(dāng)，即時，②，所以當(dāng)時，將②代入①式化簡可得，故當(dāng)，且時，即時，..故答案為：.74．（24-25高三上·四川南充·開學(xué)考試）若函數(shù)，則.【答案】/【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)先計算的值，繼而計算的值，即得答案.【詳解】由題意可得，故，則.故答案為：考點23已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量75．（2024·北京大興·三模）已知，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因為且，所以或，解得或.故答案為：或76．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】將的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【詳解】，即，則.故選：.77．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，則.【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，代入求值.【詳解】函數(shù)，有，則，解得.故答案為：278．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，則（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】由題意可得出在和上為增函數(shù)，則，由可得出，即可得求出的值.【詳解】易得在和上為增函數(shù)，，所以，由得，解得或（舍去），則，故選：D.考點24解分段函數(shù)不等式79．（2024·江西南昌·二模）已知，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在條件下化簡不等式求其解可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，不等式可化為，所以，可得；當(dāng)時，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.80．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，得，當(dāng)時，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.81．（2024高二下·陜西西安·期中）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且連續(xù)不斷，可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.82．（2024高一上·安徽宿州·期中）已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論、，結(jié)合函數(shù)解析式列不等式求參數(shù)a的范圍即可.【詳解】由，若，則，即，解得，所以若，則，即，解得，所以，綜上，不等式的解為.故選：D考點25分段函數(shù)的定義域83．（2024高一上·山西太原·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對分段函數(shù)的定義域的理解可得.【詳解】由，得函數(shù)的定義域為.故選：C.84．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)求，，的值；(2)求函數(shù)的定義域、值域．【答案】(1)，，.(2)定義域為，值域為【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值；（2）作出分段函數(shù)的圖象，由圖象判斷函數(shù)的定義域、值域．【詳解】（1）由函數(shù)，，，.（2）作出圖象如圖所示．

利用數(shù)形結(jié)合易知的定義域為，值域為．85．（2024高一上·四川宜賓·期中）已知(1)求，的值；(2)求滿足的實數(shù)a的值；(3)求的定義域和值域．【答案】(1)，(2)(3)定義域為，值域為【分析】根據(jù)自變量所屬范圍，求分段函數(shù)求函數(shù)值；根據(jù)函數(shù)值，求自變量值；確定分段函數(shù)的定義域值域.【詳解】（1），.（2）由或，解得.（3）

的定義域為，值域為考點26分段函數(shù)的值域或最值86．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）記實數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】由題意在同一個坐標(biāo)系中，分別作出三個函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高